Задачи М731—М735; Ф743—Ф747

27

Задачи

M731—M735; Ф743—Ф747

M731. Двое играют в такую игру: первый называет натуральное число от 2 до 9; второй умножает это число на произвольное натуральное число от 2 до 9; затем первый умножает результат на любое натуральное число от 2 до 9 и т. д.; выигравает тот, у кого впервые получится произведение большей a) тысячи, 6) миллиона. Кто выигравает при правильной игре — начинающий или его партнер?

В. Болтянский

M732. a) В треугольник ABC описаны два различных прямоугольника так, что на основании AC лежат по две вершины каждой прямоугольника (а на сторонах AB и BC — по одному). Перimetр каждой из прямоугольников равен 10. Найдите площадь треугольника ABC и докажите, что перimetр любого вписанного в треугольник ABC прямоугольника, две вершины которого лежат на [AC], тоже равен 10.

6. • В четырехугольник ABCD описаны два прямоугольника с параллельными сторонами (так, что на каждой из сторон AB, BC, CD, DA лежит по одному вершине каждой прямоугольника). Перimetр каждой из прямоугольников равен 10. Найдите площадь четырехугольника ABCD и докажите, что для любой точки на любой из сторон четырехугольника ABCD можно построить вписанный прямоугольник с вершиной в этой точке, стороны которого параллельны сторонам данных прямоугольников и перimetр которого также равен 10

Малхази Бергашвили
(ученик 10 класса ФМШ им. Комарова г. Тбилиси)

M733. a) При каких натуральных m число 31^m — 1 делится на 2^m? 6) * Докажите, что для любого нечетного a и натурального m существует бесконечно много натуральных k таких, что a^k — 1 делится на 2^m. b) * Докажите, что для любого нечетного a существует лишь конечное число натуральных m таких, что a^m — 1 делится на 2^m.

В. Прасолов

28

М734. Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ пересекает описанную вокруг него окружность в точке $K$. Доказите, что длина проекции отрезка $AK$ на прямую $AB$ (или $AC$) равна получме длин сторон $AB$ и $AC$.

Р. Мазов

М735. a) Докажите, что круг диаметра 1 нельзя покрыть несколькими бумажными полосками, суммарная ширина которых меньше 1 (рис. 1).
б) Наозем слоем толщины $h$ часть пространства, заключенного между параллельными плоскостями, нахождения на расстоянии $h$ друг от друга. Докажите, что шар диаметра 1 нельзя покрыть несколькими слоями, суммарная толщина которых меньше 1.

Ф743. С какой минимальной скоростью можно перебросить камень через стену высотой $H$ и толщиной $l$, если бросать его с высоты $h$?

О. Савченко

Ф744. Космический аппарат представляет собой жесткую тонкостенную сферу радиуса $R=2$ м, направленную газом. Внутри аппарата находится шар радиуса $r=R/2$, направленный тем же газом, что и вес аппарат, но при большем давлении. Шар касается внутренней поверхности аппарата. В результате повреждения шар лопнул. Найти, во сколько раз изменилось давление внутри аппарата, если оказалось, что вес аппарат при этом сместился на расстояние $a=0,5$ м. Массой оболочек пренебречь; температуру считать неизменной.

А. Буздин

Ф745. Теплоизолированный сосуд разделен на две части теплопроводным поршнем, который может перемешаться в сосуд без трения. Влевой части сосуда содержится 1 моль идеального одноатомного газа, в правой — вакуум. Поршень содержен с правой стенкой сосуда пружиной (рис. 2), длина которой в свободном состоянии равна длине сосуда. Пренебрегая теплокостюмо сосуда, поршня и пружины, определять теплокосты системы.

Б. Клячин

Ф746. Электрическая батарея, использующая β-радиоактивность, представляет собой металлическую сферу, внутри которого помещен изолированный от нее кусочек радиоактивного вещества (рис. 3). Ежесекундно распадаются $v$ атомов. Считая, что энергия электронов, образующих при распаде, равноверятно распределена от минимального значения $W_{\min}$ до максимального $W_{\max}$, определять ЭДС батареи. Какой наиболее ток может давать такая батарея? До каких сопротивлений нагрузки батарею можно считать генератором тока?

Н. Воробьев

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.