Bài toán độc giả của chúng tôi

58

Bài toán
độc giả của chúng tôi

1. Chứng minh rằng nếu $1 \leq x \leq 5$ thì phương trình $x^n + y^n = z^n$ không có lời giải ở dạng số tự nhiên.

V. Duntsev

2. Phân tích nhân tử của đa thức $x^8 + 4x^2 + 4$.

E. Turkewitz

3. Gọi $S(n)$ là tổng các chữ số trong ký hiệu kép của số tự nhiên $n$. Chứng minh rằng trong các cặp $(m; n)$ gồm các số tự nhiên phân biệt $m$ và $n$ có tồn tại một tập hợp vô hạn sao cho $\frac{m}{S(m)} = \frac{n}{S(n)}$. Giải bài toán tương tự cho hệ thập phân.

L. Khanin

4. Trong một tam giác, tổng bình phương của độ dài các cạnh là $m^2$ và tổng lũy ​​thừa bậc bốn của chúng là $n^4$. Tìm diện tích của tam giác này.

N. Trifonov

5. a) Chứng minh rằng với mỗi $n \geq 3$ trong mặt phẳng có $n$ đường tròn có tâm khác nhau sao cho đoạn thẳng nối tâm của hai đường tròn cắt ít nhất một đường tròn với tâm khác.

6. Chứng minh rằng tồn tại một $m$ sao cho không thể sắp xếp các đường tròn $m$ trên mặt phẳng sao cho tâm sáng của hai đường tròn cắt nhau với các đường tròn $m-2$ còn lại.

7. Một vòng dẫn mỏng quay với vận tốc góc $\omega$ quanh một trục đi qua tâm của vòng và nằm trong mặt phẳng của nó (Hình 3): Khối lượng của vòng là $m$, bán kính của nó là $r$. Xác định động năng của vòng.

E. Đồ khốn nạn

8.** Cho $p \neq 2$ là số nguyên tố. Xét tất cả các số tự nhiên nhỏ hơn $p$. Chúng ta hãy biểu thị bằng $S_1, S_2, S_3, \dots, S_{p-2}$ tổng các tích được tạo thành từ các số này, lấy lần lượt từng số một, hai lần, ba lần, v.v., tức là $S_1 = 1 + 2 + 3 + \dots + (p-1)$, $S_2 = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + \dots + (p-2) \cdot (p-1)$, $S_3 = 1 \cdot 2 \cdot 3 + 1 \cdot 2 \cdot 4 + \dots + (p-3) \cdot (p-2) \cdot (p-1)$, $S_{p-2} = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (p-2) + 1 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (p-2) \times (p-1) + \dots + 2 \cdot 3 \cdot \dots \times (p-2) \cdot (p-1)$.

a) Chứng minh rằng tất cả các tổng này đều chia hết cho $p$. Gợi ý. Sử dụng câu lệnh sau: nếu một đa thức có hệ số nguyên bậc nhỏ hơn $p$ chia hết cho $p$ tại tất cả các điểm nguyên thì tất cả các hệ số của nó đều chia hết cho $p$.

6. Chứng minh rằng tổng $S_3, S_5, S_7, \dots, S_{p-2}$ chia hết cho $p^2$.

bài toán này dành cho những người phải giải quyết các hệ số sinh học (ví dụ, xem bài viết của N. Vasilyev và A. Zelevinsky ở số 1).

I. Weinstein

Các biên tập viên của tạp chí «Kvant» với nỗi đau buồn sâu sắc thông báo với độc giả về cái chết không đúng lúc của một thành viên ban biên tập, được cấp cho chủ quyền, nhà khoa học và nhà tổ chức khoa học, phó chủ tịch Viện Hàn lâm Khoa học SSR Ucraina, giám đốc Viện Điều khiển học, viện sĩ Viktor Mikhailovich Glishkov, sau đó vào ngày 30 tháng 1 năm 1982.