Cấu trúc liên kết và... địa hình

10

M. Shubin

Cấu trúc liên kết và…
địa hình

Cấu trúc liên kết—không giống như địa hình—không liên quan cụ thể đến bản đồ địa hình. Khoa học này nghiên cứu, như người ta thường tin, những tính chất sâu sắc nhất của các hình hình học. Những đặc tính như vậy (chúng được gọi là cấu trúc liên kết) có thể giống nhau ở những người hoàn toàn khác nhau về bề ngoài.

những con số tương tự - M. Gardner từng viết rằng “cấu trúc liên kết thường được gọi là nhà toán học không thể phân biệt tách cà phê với bánh mì tròn”. Đôi khi các đặc tính và đại lượng tôpô thu được dưới dạng kết hợp của các đại lượng và đặc tính hình học rất đơn giản. Đây chính xác là cách định lý Euler về polytopes* đưa vấn đề vào quan điểm. Bây giờ chúng ta sẽ làm quen với một ví dụ khác cùng loại - một lý thuyết từ “lý thuyết Morse**). Đây là nơi lời giải sẽ xuất hiện.

Trên bản đồ địa lý, địa hình thường được thể hiện bằng cách sử dụng mức đường nối các điểm đại diện cho các điểm trên bề mặt trái đất nằm trên một địa hình nhất định.

*) Ví dụ, hãy xem chương về cấu trúc liên kết trong cuốn sách của P. Courant và G. Robbins “Toán học là gì?” (M., “Prosveshcheniye”, 1967), cũng như Định lý 2 dưới đây.

**) Harold Marston Morse (1892-1977) là một nhà toán học xuất sắc người Mỹ, người đã tạo ra một lý thuyết mà sau này được gọi là lý thuyết và đại diện cho một trong những phần quan trọng của cấu trúc liên kết hiện đại.

Hình 1.
Hình 2. Ví dụ về bề mặt.

11

độ cao so với mực nước biển (Hình 1). Mô hình toán học của một khu vực giới hạn trên bề mặt trái đất đóng vai trò là bề mặt hình học trong không gian, được xác định bởi phương trình có dạng $z=f(x,y)$. Một số ví dụ về bề mặt được hiển thị trong Hình 2. Trên mỗi bề mặt, các tập hợp điểm nằm ở một độ cao nhất định $z=const$ được vẽ và các đường mức là hình chiếu của các tập hợp này lên mặt phẳng $Oxy$. Do đó, đường mức là một tập hợp các điểm $(x,y)$ thỏa mãn phương trình $f(x,y)=const$, trong đó hằng số ở phía bên phải xác định khoảng cách giữa các đường mức, sao cho các đường mức dường như được đánh số bằng một hằng số như vậy. Trong Hình 2, chúng tôi đã đặt các họ mức dòng tương ứng dưới mỗi bề mặt.

Chúng ta sẽ chủ yếu quan tâm đến hành vi của lời giải lời giải gần các điểm đặc trưng của nó - đỉnh, lưu vực và đèo, cũng như gần điểm dốc của nó.

Đỉnh. Hành vi đặc trưng của mức rebluff tuyến tính gần đỉnh được thể hiện trong Hình 3. Có vẻ như đỉnh có thể được định nghĩa đơn giản là điểm cao nhất của một khu vực địa hình nhất định xung quanh nó. Tuy nhiên, lân cận của những điểm như vậy có thể có các thành phố có cấu trúc phức tạp hơn trong Hình 3. Ví dụ, người ta có thể tưởng tượng rằng dù lân cận của một điểm như vậy có nhỏ đến đâu thì bằng cách nào đó vẫn có những điểm khác có cùng đặc tính, nhưng nằm bên dưới điểm này (Hình 4). Muốn loại trừ trường hợp như vậy (và các trường hợp tương tự), chúng ta sẽ gọi một điểm là đỉnh nếu đó là điểm cao nhất của một số khu vực địa hình xung quanh nó và trong vùng lân cận của nó, mức tuyến tính được sắp xếp như trong Hình 3, nghĩa là chúng là các đường cong khép kín không tự giao nhau, bao phủ khoảng cách của điểm và $z_0>z_1>z_2>...$.

Chậu (Hình 5) là “đỉnh đảo ngược”, tức là điểm

Рис. 3.
Рис. 5.
Рис. 7.
Рис. 6.

sẽ trở thành một đỉnh nếu dấu của hàm cách xa thay đổi. Vì vậy, chúng ta gọi lưu vực là một điểm mà tại đó mức tuyến tính được sắp xếp như trong Hình 5, với $z_0<z_1<z_2<...$.

Vượt qua. Đường chuyền có thể được mô tả như một điểm gần đó việc tái lừa đảo được xây dựng giống như một cái yên ngựa (Hình 6). Gần một đường đèo, mức tuyến tính được đặt như sau: tại điểm vượt qua có hai hướng mà lý tưởng nhất là một trong số đó là hướng về phía trước hoặc

12

quay lại, chúng tôi sẽ đi lên, nhưng tôi sẽ đi theo hướng khác - đi xuống. Hơn nữa: các hướng loại thứ nhất sẽ lấp đầy hai góc thẳng đứng, và các hướng loại thứ hai sẽ lấp đầy hai góc thẳng đứng khác, sao cho các đường thẳng chia chúng bởi hai cặp góc thẳng đứng này phải tiếp xúc với đường thẳng đi qua điểm yên ngựa. Vì vậy, chúng ta sẽ gọi một điểm là một điểm nằm trong vùng lân cận mà mức tuyến tính được sắp xếp theo mô tả vừa đưa ra.

Điểm nghiêng (Hình 7). Đốt theo nghĩa bóng, điểm nghiêng là một điểm trên mép mà nếu đặt một quả bóng vào đó thì nó sẽ xuất hiện, còn một quả bóng được đặt cẩn thận vào điểm đó là một đỉnh, một bể hoặc một đường chuyền thì nó sẽ xuất hiện (mặc dù trong trường hợp một đỉnh hoặc một đường chuyền thì trạng thái cân bằng của nó sẽ không ổn định). Chúng ta hãy sử dụng điểm nghiêng để xác định điểm của cạnh nằm gần mức phi tuyến tính, như trong Hình 7, và … <z₂< <z₁< <z₁< <z₂< …

Chính xác hơn, họ tuyến tính phải sao cho có thể thu được từ họ các đường thẳng song song bằng cái gọi là phép đồng cấu, nghĩa là phép biến đổi một-một và liên tục lẫn nhau của một phần bản đồ.

Lưu ý rằng trên bản đồ điểm dốc thường lớn. Ví dụ, tất cả các đỉnh, lưu vực và đèo đều bị cô lập và bao quanh bởi các điểm dốc.

Tất nhiên, ngoài các đỉnh, lưu vực, đèo và điểm nghiêng, còn có các loại điểm khác. Ví dụ: trên bản đồ địa lý có các cao nguyên - toàn bộ khu vực có chiều cao điểm không đổi. Chiều cao tối đa không đổi có thể nằm trên toàn bộ một dòng, chẳng hạn như trong Hình 2, c. Ngoài ra còn có nhiều điểm “xảo quyệt” hơn, chẳng hạn như “yên khỉ” (Hình 2, 2) và các điểm tích lũy đỉnh (Hình 4). Tuy nhiên, tất cả các điểm không phải là điểm dốc, trừ các đỉnh, lưu vực và đèo đều có thể xác lập được để khắc phục hiện tượng trào ngược địa hình; chúng biến mất hoặc được thay thế bằng một số đỉnh, lưu vực, đèo*). Vì vậy, ngoài điểm dốc, chúng ta sẽ chỉ xét đến ba loại điểm này.

Bây giờ chúng ta có thể xây dựng định lý chính của mình, đây là một trong những định lý Morse đơn giản nhất.

Định lý 1. Cho một hòn đảo trên biển có một cạnh sao cho tất cả các điểm của đảo đều là điểm nghiêng, hoặc đỉnh, hoặc lưu vực, hoặc đèo, và tất cả các điểm ven biển của đảo đều là điểm nghiêng. Gọi B là số đỉnh của cạnh này, K là số đáy, P là số đường đi. Sau đó

B+K−Π=1.

Chứng minh 1) Hãy gọi đỉnh cao nhất của chúng ta

*) Thực tế này (trong một công thức chặt chẽ hơn) là một trong những định lý Morse; chúng tôi sẽ không cần nó.

13

các hòn đảo là Everest (nếu có một số đỉnh như vậy ở cùng độ cao, chúng tôi gọi bất kỳ đỉnh nào trong số đó là Everest), và lưu vực sâu nhất được gọi là Thung lũng Marshan. Có thể thay đổi địa hình đảo mà không làm thay đổi các số B, K, Π và không vi phạm các điều kiện của định lý sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn:

a) tất cả các đỉnh có cùng độ cao (bằng độ cao của Everest);
b) tất cả các lưu vực đều ở mực nước biển;
b) tất cả các đường chuyền đều có độ cao khác nhau.

Cách dễ nhất là thỏa mãn các điều kiện a) - đối với điều này, chỉ cần “xây dựng” tất cả các đỉnh lên ngang mức Everest là đủ (Hình 8).

Hãy đào tất cả các lưu vực xuống độ sâu của Marshan Vladina - chúng ta sẽ cần điều này để đảm bảo điều kiện 6 sau này). Thật không dễ dàng để thực hiện những điều kiện này - nếu người ta cố gắng “đổ đầy” nồi hơi

Hình 8.

Hình 9. Nâng điểm yên lên: phần màu xanh của bề mặt (chúng tôi coi là cứng) hơi uốn cong lên trên và phần màu hồng (bạn có thể tưởng tượng nó được làm bằng một màng cao su mỏng) hơi kéo dài ra khỏi ranh giới cố định bên ngoài.

Bây giờ, bạn có thể vấp phải một tấm vé. Tuy nhiên, có một lối thoát đơn giản: “làm cạn biển”. Cụ thể, chúng ta có thể giả định rằng dưới nước, bờ đảo chìm theo hình tròn đến độ sâu vượt quá độ sâu của Marshan Vladina. Sau đó bạn chỉ cần “khô” đều đến độ sâu này.

Để đảm bảo điều kiện c) cần giảm bớt một phần, nâng cao hoặc hạ thấp vùng lân cận của một đèo nhất định, không xác định các đỉnh, lưu vực, đèo khác và không tạo thêm các đỉnh, lưu vực, đèo mới. Điều này có thể được thực hiện, ví dụ, bằng cách nâng toàn bộ phần của hình nổi, nằm bên trong một vòng tròn có bán kính nhỏ ε với tâm ở một điểm yên ngựa nhất định (Hình 9, a), mà không chạm vào các điểm nằm bên ngoài vòng tròn có bán kính 2ε (có cùng tâm) và phân phối hình nổi giữa các vùng lân cận bán kính ε và 2ε như được hiển thị trong Hình 9, b.

Vì vậy, chúng ta sẽ giả định rằng địa hình đảo của chúng ta thỏa mãn điều kiện a) – c).

2. Bây giờ chúng ta sẽ sắp xếp một “lũ lụt toàn cầu”. Hãy để nó làm ngập dần hòn đảo, nâng mực nước đều khắp mọi nơi (trong các lưu vực và trên biển) từ mực nước biển đến độ cao Everest. Đồng thời, trầm tích trên đảo trong các lưu vực tạo thành các hồ nội địa, sau này có thể hình thành thành các đảo nhỏ hơn. Chúng tôi sẽ theo dõi số lượng hồ và đảo thay đổi như thế nào khi lũ lụt tiến triển. Chúng ta sẽ không coi biển là hồ.

Khi bắt đầu lũ, hồ K hình thành ở đáy lưu vực. Khi trận lũ kết thúc, tất cả các hồ đều hòa vào biển và chỉ có đỉnh của tất cả các ngọn núi là nổi lên trên mặt nước (đó là lý do chúng được xây dựng!), vì vậy số lượng hồ và đảo được cho trong bảng sau:

| | Hồ | Quần đảo |
| :— | :— | :— |
| Sự khởi đầu của lũ lụt | K | 1 |
| Trước khi lũ lụt hoàn toàn | 0 | B |

3. Hãy xem khi nào số lượng hồ và đảo thay đổi trong quá trình

14

lũ lụt Rõ ràng là nếu nước chỉ lấp đầy các điểm nghiêng thì những con số này không thay đổi. Hãy xem điều gì sẽ xảy ra khi nước bao phủ một số đèo (Hình 10). Có hai khả năng:

a) Nước của cùng một hồ hợp nhất; khi đó số lượng hồ không thay đổi mà có một hòn đảo mới sáng lên (Hình 11);

6. hai hồ khác nhau hợp nhất (Hình 12); thì số hồ giảm đi 1 nhưng số đảo không thay đổi.

Vì vậy, với mỗi lần nước bao phủ, đèo sẽ giảm đi 1 số hồ hoặc tăng thêm 1 số đảo. Nhưng tổng cộng số lượng hồ giảm đi K, và số lượng đảo tăng lên B-1, do đó K+(B-1)=Π, tức là B+K−Π=1, đây là điều cần phải chứng minh.

Kết quả. Hãy để tất cả các điểm trên địa cầu là các điểm nghiêng, đỉnh, cửa sập và đường đi. Khi đó B+K−Π=2.

Bằng chứng. Chúng ta sẽ giả định rằng đáy của vực sâu nhất chứa đầy nước (điều này có thể đạt được bằng cách rút hết nước biển và đại dương và chỉ để lại nước ở đáy Marina Platinum). Khi đó mọi thứ khác có thể được coi là một hòn đảo, và nước ở đáy lưu vực này là biển. Nhưng toàn bộ Trái đất có cùng số đỉnh và đèo như hòn đảo này và thêm một lưu vực nữa. Vẫn còn sử dụng Định lý 1 và hệ quả tất yếu đã được chứng minh.

Một ví dụ về lời giải mà hệ quả này được áp dụng là bất kỳ khối đa diện nào trong đó người ta có thể tìm thấy một điểm O sao cho tất cả các đường vuông góc rơi từ điểm đó trên các mặt đều sẽ nằm trên các mặt đó (chứ không phải trên phần mở rộng của chúng).

Sau đó, nếu chúng ta gọi chiều cao của phần nổi tại một điểm nhất định của khối đa diện là khoảng cách từ nó đến điểm O, thì các đáy của các hình vuông góc thả từ O trên cạnh (và chỉ chúng) sẽ là các đáy, các đỉnh của phần lồi sẽ nằm ở các đỉnh của khối đa diện, và các đường đi sẽ nằm ở đáy của các hình vuông góc được thả từ điểm O đến các cạnh (kiểm tra nó!). Từ đó suy ra rằng đối với các khối đa diện như vậy, điều sau đây là đúng:

Định lý 2 (Định lý Euler về khối đa diện). Gọi Γ, B và P là số mặt, số đỉnh và số cạnh của một khối đa diện lồi. Sau đó

$$\Gamma + B - P = 2.$$

Như chúng ta sẽ thấy dưới đây, định lý này trên thực tế đúng với mọi khối đa diện lồi - không có điều kiện bổ sung nêu trước nó. Có thể dễ dàng suy ra từ định lý sau.

Định lý 3 (Định lý bản đồ Euler). Cho phía dưới là bản đồ bách khoa của đảo, được giới hạn bởi một đường cong khép kín và thỏa mãn các điều kiện sau:

a) số lượng quốc gia lớn hơn hoặc bằng 2;

b) mỗi nước được bao bọc bởi một đường cong khép kín không có giao lộ;

b) không có nước nào nằm trong nước kia (như Monaco, Batikana hay San Marino).

Gọi C là số quốc gia, B là số đỉnh (điểm mà biên giới hoặc