Viện Vật lý và Công nghệ Moscow

55

Hội thảo lối vào

Dưới đây là tài liệu được xuất bản từ kỳ thi tuyển sinh đại học năm 1982.

Viện Vật lý và Công nghệ Moscow

Matematika
Bài thi viết

Tùy chọn 1

1. Giải bất đẳng thức
   $$81^x + 3^{2x+1} > 54.$$
2. Trong hình thang $ABCD\ BAD = 90^\circ, ADC = 30^\circ$. Đường tròn có tâm nằm trên đoạn AD tiếp xúc với các đường thẳng AB, BC và CD. Tìm diện tích hình thang nếu biết bán kính hình tròn là R.
3. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} tg y - tg x = 1 + tg x \cdot tg y \\ \cos 2y + \sqrt{3} \cos 2x = -1. \end{cases}$$
4. Từ điểm $M(1; 1)$ vẽ các tiếp tuyến của hai nhánh của hyperbol $y = \frac{k}{x}$ ($k < 0$), tiếp xúc với các nhánh này tại các điểm A và B và tam giác MAB đều. Tìm hệ số k và diện tích tam giác MAB.
5. Trong một hình lục giác đều, lấy $SABCDEF$ (S là đỉnh), độ dài cạnh đáy bằng 2. Các đỉnh K và M của hình thoi KLMFF lần lượt nằm trên các cạnh AB, SD và $|KM| = 3$, đoạn KL cắt cạnh SB. Tìm thể tích của chất ban đầu.

Tùy chọn 2

1. Giải phương trình
   $$\log_3 x - \frac{2}{1 + \log_2 7} = \frac{6}{3 + \log_3 x}.$$
2. Giải phương trình
   $$\frac{\cos 3x}{\sin 3x - 2 \sin x} = tg x.$$
3. Tam giác cân $ABC$ ($\hat{C} = 90^\circ$) và tam giác $DEF$ được sắp xếp sao cho điểm D nằm trên cạnh AB và điểm E nằm trên phần kéo dài của cạnh AB vượt quá điểm A. Đoạn KL là đường trung bình trong các tam giác tổng quát, diện tích tứ giác $DKLB$ là $\frac{5}{8}$ diện tích tam giác $ABC$. Tìm $DEF$.
4. Tìm diện tích của hình xác định trên mặt phẳng tọa độ của hệ bất phương trình

$$\begin{cases} x^2 + y^2 \geq 10 \\ 3x^2 - 4x - 32 \leq 0 \\ (3x - 2y)(3y - x + 10) \geq 0. \end{cases}$$

5. Theo đúng cách $ABCA_1B_1C_1$ độ dài cạnh bên là 3. Điểm M là trung điểm của cạnh AC, điểm N nằm trên cạnh $B_1C_1$, và điểm P thuộc mặt $AA_1B_1B$ và cách mặt phẳng ABC một khoảng 1. Biết rằng các đường thẳng PM và PN với mặt phẳng tạo thành một góc 30° $AA_1B_1B$ và đường thẳng PN - với mặt phẳng $BB_1C_1C$. Tìm thể tích của chất ban đầu.

Tùy chọn 3

1. Giải phương trình
   $$\sqrt{\frac{x+5}{2x+1}} - \sqrt{5x-3} = 0.$$
2. Giải bất đẳng thức
   $$\log_2 - x \left( \frac{3-x}{4-x} \right) < 1.$$
3. Hình vuông $ABCD$ và hình tròn được sắp xếp sao cho hình tròn tiếp xúc với đường thẳng AC tại điểm C và tâm của hình tròn nằm cùng phía với đường thẳng AC và điểm D. Các tiếp tuyến của đường tròn vẽ từ điểm D tạo thành một góc 120°. Tìm tỉ số giữa diện tích và diện tích hình tròn giới hạn bởi một chu vi cho trước.
4. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} 3 \cos(4x-2y) = \sqrt{2} \cos(2x-2y) \\ \sqrt{2} \sin(x+y) = 3 \sin(y-x). \end{cases}$$
5. Các hình cầu có tâm lần lượt tại các điểm $O_1$ và $O_2$ của bán kính 3 và 1, chạm vào nhau. Qua một điểm M, cách $O_2$ một khoảng bằng 3, vẽ hai đường thẳng, mỗi đường thẳng tiếp xúc với cả hai hình cầu và các điểm tiếp tuyến nằm trên các đường thẳng về một phía của điểm M. Tìm góc giữa các tiếp tuyến nếu biết rằng một trong hai đường thẳng đó tạo thành một góc 45° với đường thẳng $O_1O_2$.

Vật lý
Bài thi viết
Tùy chọn 1

1. Chó C chạy với tốc độ không đổi $v_0$ dọc theo đoạn đường AB tạo một góc $\alpha = 60^\circ$ với dây căng ngang MN (Hình 1). Một sợi dây treo nhẹ, nằm ngang có chiều dài l được buộc vào máy đánh giá con chó. Sợi dây được nối với một cực K có khối lượng m, vật này trượt dọc theo dây không có ma sát. Tìm lực căng của sợi dây tại thời điểm vòng và con chó ở những khoảng cách bằng nhau tính từ giao điểm T của đường đi và sợi dây.
2. Một mol khí lý tưởng được nung nóng ở áp suất không đổi, sau đó ở một thể tích không đổi, nó được chuyển sang trạng thái có nhiệt độ bằng nhiệt độ ban đầu $T_0 = 300$ K. Kết quả là lượng Q = 5000 J đã được chuyển vào khí. Thể tích chiếm của khí thay đổi bao nhiêu lần?

59

đường dẫn $l=5$ cm và dừng lại. Điểm di chuyển được bao xa trong giây thứ ba của chuyển động này?

2. Vật được đặt trên một mặt phẳng nghiêng tạo một góc $\alpha=30^\circ$ với đường chân trời. Vật sẽ chuyển động với gia tốc bằng bao nhiêu nếu hệ số ma sát của vật trên mặt phẳng là $\mu=0,03$?

3. Trong một cỗ xe chuyển động theo phương ngang với gia tốc không đổi $a=3$ m/s$^2$, một vật nặng $m=2$ kg được treo trên một sợi dây. Xác định lực căng của dây và góc lệch của nó so với phương thẳng đứng. Tải không chuyển động so với ô tô.

4. Một vận động viên trượt băng có khối lượng $M=60$ kg, đứng trên băng, ném một quả bóng có khối lượng $m=0,3$ kg theo phương ngang với tốc độ $v=40$ m/s. Người trượt ván sẽ lăn lùi bao xa nếu hệ số ma sát của giày trượt trên mặt băng là $\mu=0,04$?

5. Phải đặt một vật nặng bao nhiêu trên mặt băng phẳng để nó chìm hoàn toàn trong nước? Diện tích của tảng băng là $S=1$ m$^2$, độ dày của nó là $d=20$ cm, mật độ của băng là $\rho_\ell=0,9$ g/cm$^3$.

6. Mạch ngoài của tế bào điện được tạo thành từ ba điện trở (xem hình). Tìm điện trở của mạch này nếu điện trở của các điện trở là $R_1=R_2=R_3=R=1$ Ohm.

Рисунок

7. Hai đèn được định mức cho cùng một điện áp có mức công suất lần lượt là $P_1=60$ W và $P_2=100$ W. Bóng đèn nào và bao nhiêu lần sẽ giải phóng công suất lớn hơn khi cả hai bóng đèn mắc nối tiếp vào mạng có điện áp danh định?

8. Một vật nên được đặt ở khoảng cách bao nhiêu so với đường tán xạ có công suất quang $D=-5$ ditr sao cho ảnh tối thiểu của nó nhỏ hơn chính vật đó $n=4$ lần?

9. Phạm vi có kích thước $8\times 8$ cm. Xác định khoảng cách hình dạng của vật thể của thiết bị chiếu nếu thu được ảnh có kích thước $2,5\times 2,5$ m trên màn, nằm cách vật đó $l=4,5$ m.

10. Công năng của các electron rời khỏi natri là $A=2,27$ eV. Tìm ranh giới quang màu đỏ cho natri. Hằng số Planck $h=6,62\cdot 10^{-34}$ J s.

Ấn phẩm được chuẩn bị bởi A. M. Berezman, O. Yu. Ovchinnikov, S. V. Pchelintsev

Đáp số, gợi ý, lời giải

Dòng sông uốn khúc

Chúng ta hãy tìm hình dạng bề mặt của chất lỏng quay trong thủy tinh với vận tốc góc $\omega$. Hãy nhìn vào Hình 1 (xem trang 18). Nếu kích thước tuyến tính của khối được chọn là $\Delta r$ thì khối lượng của nó bằng

$$\Delta m=\varrho \cdot \Delta s \cdot \Delta r.$$

Sử dụng biểu thức này cho $\Delta m$, từ phương trình (1) và (2) (xem trang 18), chúng ta thu được:

$$\Delta h=(\omega^2/g)r \cdot \Delta r.$$

Do đó, tiếp tuyến của góc $\alpha$ tiếp tuyến với đường cong vẽ mặt cắt ngang của bề mặt tự do của chất lỏng trong Hình 1 tăng tỷ lệ với khoảng cách từ tâm:

$$tg \alpha=\Delta h/\Delta r=(\omega^2/g)r.$$

Nếu chiều cao của mực chất lỏng trên trục quay là $h_0$ thì để tìm được nó ở khoảng cách $r$, bạn cần cộng vào $h_0$ giá trị trung bình $tg\alpha$ nhân với $r$. Giá trị trung bình của một đại lượng thay đổi theo quy luật tuyến tính có thể dễ dàng tìm được bằng cách lấy kết quả thu được.

$$h(r)=h_0+\frac{\omega^2 r}{2g} r.$$

Như bạn có thể thấy, sự phụ thuộc $h(r)$ là hình vuông và đồ thị của nó được biểu thị bằng một parabol. (Tất nhiên, những người quen thuộc với phép tính tích phân sẽ hiểu rằng chúng ta đã tính tích phân theo cách này.)

Điều gây tò mò là tính parabol của hình dạng của một chất lỏng quay đã được sử dụng trong thực tế để tạo ra một chiếc telecopole. Nhà vật lý nổi tiếng người Mỹ Robert Wood đã chế tạo một chiếc telecopole với gương parabol bằng cách đặt một bình chứa thủy ngân dưới đáy giếng quay.

Viện Vật lý và Công nghệ Moscow

Toán học

Tùy chọn 1

1. $$\frac{1}{2}\log_3 6; +\infty$$

2. $$\frac{6-\sqrt{3}}{2}R^2.$$ Gợi ý. Đường tròn này chạm đường $AB$ tại điểm $A$.

3. $x=-\frac{5}{12}\pi+\pi k, y=-\frac{\pi}{6}+\pi l(k, l\in Z).$ Gợi ý. Phương trình đầu tiên của hệ tương đương với phương trình

$$\frac{tg y-tg x}{1+tg x \cdot tg y}=1,$$

nếu $x$ và $y$ không phải là số

60

lần lượt có dạng $\frac{\pi}{2} + \pi m$ tương đương với phương trình
$$tg(y - x) = 1.$$
4. $k = -\frac{1}{2}, S_{\Delta MAB} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$. Gợi ý.
Điểm $A$ và $B$ đối xứng với đường tương đối $y = x$. Để xác định $k$, hãy sử dụng đẳng thức $|AB| = |AM|$.
5. $6\sqrt{3}$. Lời giải. Chúng ta hãy vẽ qua điểm $S$ một đường thẳng song song với $(FM)$; Chúng ta hãy biểu thị điểm giao nhau của đường này bằng $(ABC)$. đến $P$ (Hình 1). Từ $S \in (FSD)$ và $(FM) \subset (FSD)$

theo sau là $(SP) \subset (FSD)$. Vì $P \in (FSD)$ và $P \in (ABC)$, $P \in (FD)$. Vì đoạn $KL$ cắt cạnh $SB$, $(KL) \subset (ASB)$. Từ $(SP) \parallel (KL)$ và $S \in (ASB)$ nó theo sau $(SP) \subset (ASB)$. Vì $P \in (ASB)$ và $P \in (ABC)$, $P \in (AB)$. Vì vậy, $(AB) \cap (FD) = P$. Vì $FAD = FAP$ và $AFD = 90^\circ$, $|PF| = |FD|$. Theo định lý Thales $|SM| = |MD|$.

Hãy đặt $|SA| = b$, $|AK| = x$. Từ $\triangle AFD$ $|FD| = 2\sqrt{3}$. Từ $\triangle FSD$ $|FM|^2 = \frac{b^2}{4} + 6$. Từ $\triangle AFK$ $|FK|^2 = x^2 + 2x + 4$. Vì vậy, $\frac{b^2}{4} + 6 = x^2 + 2x + 4$.

Gọi $M_1$ là hình chiếu trực giao của điểm $M$ lên $(ABC)$, $M_2$ là hình chiếu của điểm $M_1$ lên $(AB)$, $O$ là đáy của độ cao của các đường thẳng. $|KM|^2 = |KM_2|^2 + |M_2M_1|^2 + |M_1M|^2 = (|AM_2| - |AK|)^2 + \left(\frac{3}{4}|BD|\right)^2 + \left(\frac{1}{2}|SO|\right)^2 = \left(\frac{3}{4} \cdot 2 - x\right)^2 + \left(\frac{3}{4}\sqrt{16 - 4}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\sqrt{b^2 - 4}\right)^2 = x^2 - 3x + 8 + \frac{b^2}{4}$. Vì vậy, $x^2 - 3x + 8 + \frac{b^2}{4} = 9$.

Từ phương trình (1), (2) chúng ta tìm thấy $b = \sqrt{13}$, $x = \frac{3}{2}$ (nghĩa là $M_2 = K$). Vì vậy, $|SO| = 3$, $V = \frac{1}{3} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 3 = 6\sqrt{3}$.

Tùy chọn 2

1. {9}.
2. $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} k (k \in Z)$. Gợi ý. Liệt kê $tg x$ ở vế trái của phương trình và đưa các phân số về mẫu số chung.
3. arctg $\frac{1}{4}$. Gợi ý. $(KL) \parallel (AB)$.
4. $27\frac{11}{27} - 5\pi$. Gợi ý. Dòng $3y - x + 10 = 0$ chạm vào vòng tròn $x^2 + y^2 = 10$.
5. $\frac{3\sqrt{3}}{2}$. Lời giải. Gọi $M_1$ là hình chiếu của điểm $M$ lên $(ABB_1)$, $N_1$ là hình chiếu của $N$ lên $(ABB_1)$, $P_1$ là hình chiếu của $P$ lên $(BCC_1)$ (Hình 2). Chúng ta hãy vẽ một mặt phẳng song song với $(ABC)$ qua điểm $P$; Chúng ta hãy biểu thị các điểm giao nhau của nó với các cạnh bên tương ứng của các đường bằng $A_2$, $B_2$, $C_2$. Vì các mặt bên của một đường thẳng đều vuông góc với các mặt phẳng đáy của nó nên $M_1 \in [AB]$, $N_1 \in [A_1B_1]$, $P_1 \in [B_2C_2]$. TỪ tam giác vuông $PNN_1$ ($NPN_1 = 30^\circ$) $|NN_1| = \frac{1}{2} |PN|$. TỪ tam giác vuông $BNN_1$ $|B_NN_1| = \frac{1}{2} |PN|$. Tương tự, từ các tam giác $PNP_1$ và $PB_2P_1$ $|B_2P| = \frac{|PN|}{\sqrt{3}}$. Chúng ta hãy biểu thị bằng $N_2$ hình chiếu của điểm $N$ lên $(B_2C_2)$. Sau đó $|B_2N_2| = |B_1N| = |B_2P|$; có nghĩa là $|PN_2| = |B_2P|$. TỪ tam giác vuông $PNN_2$ sử dụng định lý Pythora, chúng ta tìm thấy ($|NN_2| = 2$) $|PN| = \sqrt{6}$, từ đó $|B_2P| = \sqrt{2}$. TỪ $\triangle ABC|MM_1| = \frac{\sqrt{3}}{4} |AB|$, $|AM_1| = \frac{1}{4} |AB|$, $|BM_1| = \frac{3}{4} |AB|$. TỪ tam giác vuông $PMM_1$ ($MPM_1 = 30^\circ$) $|PM_1| = \frac{3}{4} |AB|$. TỪ tam giác vuông $PB_2BM_1$ ta tìm được ($|BB_2| = 1$) $|AB| = \sqrt{2}$. Rồi những cái tên. Vì $|B_2P| = |B_1N| = |AB|$, chúng tôi nhận được $P = A_2$ và $N = C_1$. Trong Hình 2 - không phải vậy, vì chúng tôi đã vẽ nó nên chúng tôi chưa biết điều này.

Tùy chọn 3

1. {1}.

61

2. $-\infty; 1 \cup \left[ \frac{5-\sqrt{5}}{2}; 2 \right]$.

3. $\frac{4+\sqrt{15}}{3\pi}$. Gợi ý. Từ $\triangle DOE$ ($O$ là tâm của đường tròn, $E$ là điểm tiếp tuyến bất kỳ được chỉ ra trong điều kiện tiếp tuyến), biểu thị $|DO|$ theo bán kính của đường tròn $R$, áp dụng định lý cosine cho $\triangle DOC$.

4. $x = \pm \left( \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \arccos \frac{\sqrt{2}}{4} \right) + \pi k, \quad y = \mp \frac{3}{2} \arccos \frac{\sqrt{2}}{4} + \pi l(k, l \in \mathbb{Z})$. Gợi ý.

Bằng cách nhân vế trái và vế phải của phương trình tương ứng, biến tích thu được thành tổng các sin. Đừng quên rằng với phương pháp này, việc xác minh lời giải là cần thiết!

5. $2\arctg \frac{1}{3}$. Lời giải. Để đường thẳng đầu tiên chạm vào các hình cầu tại các điểm $A$ và $B$, và đường thẳng thứ hai - tại các điểm $C$ và $D$, $O_1'$ và $O_2'$—tâm của các phần của hình cầu theo mặt phẳng $AMC$ (Hình 3).

Hình 3.

Vì $(O_2D) \perp (MD), \quad |DM| = \sqrt{|O_2M|^2 - |DO_2|^2} = 2\sqrt{2}$. Bằng cách nhân vô hướng cả hai vế của đẳng thức $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CO_1} + \overrightarrow{O_1O_2} + \overrightarrow{O_2D}$ với vectơ $\overrightarrow{CD}$, chúng ta thu được $|CD|^2 = |CD| \cdot |O_1O_2| \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$, vì $\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{CO_1} = \overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{O_2D} = 0$. Do đó $|CD| = 2\sqrt{2}$. Hãy đặt $A\hat{M}O_1' = a$. Chúng tôi có $|DO_2'| = 2\sqrt{2} \text{tg} \alpha$. $|CO_1'| = 4\sqrt{2} \text{tg} \alpha$, $|O_1'O_2'| = \frac{2\sqrt{2}}{\cos \alpha}$. Tiếp theo, $|O_1'O_1'| = \sqrt{|O_1C|^2 - |CO_1'|^2} = \sqrt{9 - 32 \text{tg}^2 \alpha}$, $|O_2'O_2'| = \sqrt{|O_2D|^2 - |DO_2'|^2} = \sqrt{1 - 8 \text{tg}^2 \alpha}$. Các đoạn $O_1O_2$ và $O_1'O_2'$ không được giao nhau (Hình 4, 6). Chưa biết vị trí của chúng trong trường hợp này là gì, chúng ta có thể lập phương trình $16 = |O_1O_2|^2 = (|O_1O_1'| \pm |O_2O_2'|)^2 + |O_1'O_2'|^2 =$

Hình 4.

$= (\sqrt{9 - 32} \text{tg}^2 \alpha \pm \sqrt{1 - 8} \text{tg}^2 \alpha)^2 + \frac{8}{\cos^2 \alpha}$, từ đó $\text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{9}$ tọa lạc. Kiểm tra cho thấy phải có dấu + bên trong dấu ngoặc.

Vật lý

Tùy chọn 1

1. Xét một vòng $K$ trượt dọc theo một sợi dây (Hình 5). Có hai lực tác dụng lên nó: lực căng của dây $\vec{T}$ và phản lực của dây $\vec{F}$, hướng vuông góc với dây (vì không có ma sát). Dưới tác dụng của các vòng này, nó trượt dọc theo dây với gia tốc. Nếu chúng ta xác định từ các thông điệp động học gia tốc của vòng tại một thời điểm nhất định trong các điều kiện thì có thể tìm thấy độ căng mong muốn của cáp.

Chúng ta hãy giới thiệu một hệ tọa độ xiên bằng cách hướng trục $X$ và $Y$, như trong Hình 5. Tại bất kỳ thời điểm nào, khoảng cách giữa

Hình 5.

chiếc nhẫn và con chó bằng chiều dài của sợi cáp $l$, còn tọa độ $x$ của chiếc nhẫn và $y$ của con chó có liên hệ với $l$ theo định lý cosine:

$l^2 = x^2 + y^2 - 2xy \cos 120^\circ = x^2 + y^2 + xy$.

Chúng ta hãy phân biệt đẳng thức này hai lần theo thời gian:

$2(x')^2 + 2xx'' + 2(y')^2 + 2yy'' + 2x'y' + xy'' + yx'' = 0$.

Vì con chó chạy với tốc độ không đổi $v_0$ nên tại bất kỳ thời điểm nào $y' = v_0$ và $y'' = 0$. Vì cáp không phản ứng nên hình chiếu tốc độ của vòng và con chó theo hướng của cáp $KC$ là như nhau và tại một thời điểm nhất định, mô-đun của các vận tốc này cũng giống nhau: $v = v_0$, $x' = -v_0$ (dấu “trừ” liên quan đến việc chọn hướng dương của trục $X$). tọa độ $x$ và $y$ có thể liên hệ với chiều dài cáp $l$ bằng định lý sin:

$x = y = l \text{tg} 30^\circ$.

Do đó, gia tốc của vòng tại thời điểm đang xét bằng

$x'' = -\frac{2v_0^2}{2x + y} = -\frac{2v_0^2}{3l \sin 30^\circ} = \frac{4mv_0^2}{3l}$.

63

Bạn cũng có thể chỉ cần bình phương cả hai vế của phương trình $\sqrt{x+2}-1=\sqrt{x-a}+2$, nhưng sau đó kiểm tra.

2. $\frac{9}{2}$; $\triangle ABC$ được ánh xạ lên chính nó trong cùng một ánh xạ và trong trường hợp đường thẳng tương đối đối xứng $y=x$.

Gợi ý. Đối với các chuyển vị cần thiết của mặt phẳng, đỉnh $C$ và tập hợp $\{A, B\}$ được ánh xạ lên chính chúng. (Để biết thêm chi tiết, xem «Kvant», 1979, Số 7, trang 60.)

3. $x_1=\pi k, x_2=\frac{5}{6}\pi+2\pi l(k, l\in\mathbb{Z})$. Gợi ý. Phương trình này tương đương với hệ
   $$\begin{cases} 2\sin x=3\mathrm{tg}^2 x \\ \mathrm{tg} x\leqslant0. \end{cases}$$

4. a) $\max f(x)=f(1)=5, \min f(x)=f(0)=1;$
   [0; 2] [0; 2]

6. $\min f(x)=f(3)=1, \max f(x) не существует.$
   [2; 4] [2; 4]

Gợi ý. Phạm vi giá trị của hàm $f$ trên $]2; 4[$ là khoảng [1; 5].

5. $\left\{\frac{1}{3-a}\right\}$ tại $a\geqslant4$ và tại $a\leqslant-3, \left\{-\frac{7}{a+3}\right\}$ tại $3\leqslant a<4, \left\{\frac{1}{3-a}, -\frac{7}{a+3}\right\}$ tại $-3<a<3$.

Gợi ý. Vẽ đồ thị của hàm số $y=|3x+3|$ và xoay đường thẳng $y=ax+4$ vào điểm tròn (0; 4).

Tùy chọn 2

1. $\{(a; 3-a^2)\}$ tại $a>3$ và tại $2<a<3, \{(1-a; 2+2a-a^2)\}$ tại $-2<a<-1$ và tại $a<-2, \emptyset$ tại $a=3, -1\leqslant a\leqslant2$ và $a=-2$.

Gợi ý. Hệ thống này tương đương với hệ thống
$$\begin{cases} (x-2)^2=2x^2-4x+y+1 \\ x+y-3=a-a^2 \\ x-2>0 \\ x-2\neq1. \end{cases}$$

2. $\sqrt{3}, (\sqrt{3}-1; 2)$ hoặc $(-\sqrt{3}-1; 2)$; $\triangle ABC$ ánh xạ lên chính nó trong cùng một ánh xạ, độ cao tương đối đối xứng trục và các góc quay quanh tâm của tam giác trên $\pm60^\circ$. Gợi ý. Đối với các chuyển vị cần thiết của mặt phẳng, tập hợp $\{A, B, C\}$ được ánh xạ lên chính nó.

3. $x_1=2\pi k, x_2=-\frac{\pi}{4}+\pi l, x_3=\frac{\pi}{4}+2\pi m$ $(k, l,m\in\mathbb{Z})$. Gợi ý. Phương trình này tương đương với hệ
   $$\begin{cases} (\sin x+\cos x)^2=1+\mathrm{tg} x \\ \sin x+\cos x\geqslant0. \end{cases}$$

4. a) $\max f(x)=f(0)=1, \min f(x)=f(1)=0;$
   [0; 2] [0; 2]

6. $\max f(x)=f(3)=4, \min f(x)=f(2)=1$. Gợi ý. Vẽ đồ thị của hàm $f$.

5. $\emptyset$ tại $a>\frac{9}{4}, \left\{\frac{2}{3}\right\}$ tại $a=\frac{9}{4}, \left\{\frac{3\pm\sqrt{9-4a}}{2a}\right\}$ tại $\frac{9}{28}<a<\frac{9}{4}$ và tại $a\leqslant-4, \left\{-\frac{14}{3}, \frac{3\pm\sqrt{9-4a}}{2a}\right\}$ tại $a=\frac{9}{28}, \left\{-\frac{3\pm\sqrt{9-28a}}{2a}, \frac{3\pm\sqrt{9-4a}}{2a}\right\}$ tại $0<a<\frac{9}{28}, \left\{-\frac{7}{3}, \frac{1}{3}\right\}$ tại $a=0, \left\{\frac{-3+\sqrt{9-28a}}{2a}, \frac{-3+\sqrt{9-28a}}{2a}\right\}$ tại $-4\leqslant a<0$. Gợi ý. Vẽ đồ thị của hàm $y=|3x+3|$ và xem xét nhóm đường cong $y=ax^2+4$, thay đổi $a$ từ $+\infty$ đến $-\infty$ (tất cả các đường cong này đều đi qua điểm (0; 4)).

Vật lý

1. $t=2\sqrt{v^2+la}/a\approx47,6$ tr.

2. $v_a=e/\sqrt{10am_p}\approx3,7\cdot10^3$ m/c.

$v_p=4e/\sqrt{10am_p}\approx1,5\cdot10^4$ m/c.

3. $F=\frac{\pi\operatorname{gh}^2(3R-h\mathrm{tg}\alpha)}{3\cos\alpha}\approx29,2$ N.

4. $l=\sqrt{2h(v_0^2-2c\Delta t)/g}\approx286$ m.

5. $x=\frac{V_0}{S}\frac{\Delta T}{2T_0+\Delta T}=1$ xem

6. $T=\frac{mg\sin^2\alpha\cdot\mathrm{tg}\alpha}{\varepsilon}\approx3,5\cdot10^{-4}$ N.

trạng thái cân bằng thờ ơ.

7. $Q_1=C_1\left(\frac{\mathcal{E}_1-\mathcal{E}_2}{R+\mathcal{E}_1r}\right)=10^{-5}$ Cl;

$Q_2=C_2\frac{\mathcal{E}_2R}{R+r}\approx2,4\cdot10^{-5}$Cl.

8. $\mathcal{E}=\frac{\Delta I/\Delta t}{4\pi^2\operatorname{v}^2C}\approx0,25$ V.

9. $\beta=\pi/2$-arcsin $(n\cos 2\alpha)\approx48,6^\circ$.

Gợi ý. Ở mặt thứ nhất, nó trải qua sự phản xạ toàn phần tốt hơn.

10. $v=\sqrt{\frac{2}{m}\left(\frac{hc}{\lambda}-E\right)}\approx2\cdot10^6$ m/c.

Học viện sư phạm quốc gia Moscow được đặt theo tên. V. I. Lênin

Matematika

Bài thi viết

Tùy chọn 1

2. $x=\arctg(1\pm\sqrt{2})+\pi k(k\in\mathbb{Z})$.

3. $]-\infty; 0[ \cup] \frac{4}{19}; +\infty[$.

4. $3\sqrt{3}a^2$.

5. $[-2\frac{1}{4}; -2]$.

Tùy chọn 2

1. $(x-1)\cos x-(x+1)\sin x$.

2. $x_1=\frac{\pi}{4}+\pi k, x_2=\frac{\pi}{2}+2\pi l(k, l\in\mathbb{Z})$.

3. $\frac{a^3}{6}\cdot\frac{\sqrt{\cos 2a}}{\sin a}$.

4. 5. Gợi ý. Tìm $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}$.

5. {3}.

Tùy chọn 3.

1. $\ln x+1$

2. $\emptyset$.

3. $x=(-1)^{k+1}\frac{\pi}{6}+\pi k(k\in\mathbb{Z})$.

4. {5}.

5. $\pi d^2\cdot\frac{1+\sin\alpha}{\sin\alpha\cdot\cos^2\alpha}$.

64

Vật lý

1. $l' = 5l = 25$ xem
2. $a = g(\sin \alpha - \mu \cos \alpha) \approx 4,6$ m/s$^2$.
3. $F_H = m\sqrt{g^2 + a^2} \approx 20,5$ N; $\alpha = \arctg(a/g) \approx 17^\circ$.
4. $l = \frac{m^2v^2}{2\mu gM^2} \approx 0,05$ m.
5. $m = Sd(\rho_B - \rho_1) = 20$ kg (ở đây $\rho_B = 10^3$ kg/m$^3$ là mật độ của nước).
6. $R_{06\mu} = \frac{(R_1 + R_2)R_3}{R_1 + R_2 + R_3} = \frac{2}{3}R = \frac{2}{3}O_m \approx 0,7$ Ôm.
7. Công suất lớn hơn sẽ được giải phóng trên đèn đầu tiên, với $P_1'/P_2' = P_2/P_1 = 5/3$.
8. $d = \frac{1-n}{D} = 0,6$ m.
9. $F = \frac{lh}{H + h} \approx 0,14$ m (ở đây $h = 8$ cm và $H = 2,5$ m).
10. $\lambda_m = \frac{hc}{A} \approx 5,5 \cdot 10^{-7}$ m.

Lượng tử dành cho học sinh nhỏ tuổi
(xem «Kvant», 1982, số 12)

1. Để một số chia hết cho 36 thì số đó phải chia hết cho 4 và 9. Để một số chia hết cho 4 thì số tạo thành bởi hai chữ số cuối của nó phải chia hết cho 4. Do đó, chữ số cuối cùng có thể là 0, hoặc 4 hoặc 8. Để một số chia hết cho 9 thì tổng các chữ số của nó phải chia hết cho 9. Từ đây chúng ta thu được chữ số được thay bằng dấu hoa thị thứ hai, trong trường hợp thứ nhất là 9, trường hợp thứ hai là 5 và trường hợp thứ ba là 1. Như vậy, các số 52920, 52524 và 52128 thỏa mãn điều kiện.

2. Khăn ăn màu vàng được đặt trước, khăn ăn màu nâu được đặt ngang bằng với khăn ăn màu trắng.

3. Bài toán dựa trên những cái tên giống nhau cho các đơn vị thời gian và góc. Về “giây”, nó giới thiệu một đơn vị thời gian, “phút” – một đơn vị góc.

4. Đối với số 43 và 63. Hãy lập một phương trình biểu thị điều kiện bài toán: $10x + y = x^2 + y^3$. Hãy biến đổi nó: $x(10-x) = (y-1)(y+1)$. Biểu thức bên phải là tích của ba số liên tiếp và do đó $x(10-x)$ chia hết cho 2 và 3. Điều này ngụ ý rằng $x$ là số chẵn. Ngoài ra, $x$ hoặc $10-x$ phải chia hết cho 3. Điều này có thể xảy ra trong hai trường hợp: $x=6$ và $x=4$. Trong cả hai trường hợp $y=3$. Chúng tôi nhận được hai lời giải: $43=16+27$ và $63=36+27$.

5. 33 số, số ở giữa là số chẵn, số còn lại là số lẻ.

Trang cờ vua
(xem «Kvant», 1982, số 10)

Nhiệm vụ 19. 1. Nf3 Nf6 2. Ke5 d6 3. Nc6 Kfd7 4. N:b8 N:b8.

Nhiệm vụ 20. Trong ba nước đi, vị trí rất đơn giản: 1. e4 e6 2. Cb5 c6 3. C:c6 dc (hoặc 2. Cc4 c6 3. C:e6 de). Khó hơn nhiều để có được nó trong bốn nước đi. Mục tiêu đạt được bằng một thủ đoạn rất xảo quyệt và hơn thế nữa là một thao tác duy nhất: 1. e4 e6 2. Bb5 Kre7!! 3. C:d7 c6! 4. Ce8! Kp:e8.

Điều thú vị là bài toán này đã được đề xuất cho lời giải trong nhiều cuộc đua lớn, nhưng chỉ Mikhail Tal mới có thể nhanh chóng giải quyết được nó bằng một khoản tiền.

Tổng biên tập - Viện sĩ I. K. Kioin

Phó Tổng biên tập thứ nhất - Viện sĩ A. N. Kolmogorov

Phó tổng biên tập: M. N. Danilcheva, V. A. Leshkovtsev, Yu. P. Solovev

Tuyển tập biên tập: L. G. Aslamazov, M. I. Bashmkov, V. E. Belonchkin, V. G. Boltyansky, A. A. Borovoy, Yu. M. Brook, V. V. Vavilov, N. B. Vasiliev, S. M. Voronin, B. V. Gnedenko, V. L. Gutenkhacher, N. P. Dolbilin, V. N. Dubrovsky, A. N. Zemlykov, A. R. Zilberman, S. M. Kozel, S. S. Krotov, L. D. Kudryavtsev, A. A. Mikhailov, E. M. Nikshin, S. P. Novikov, M. K. Potapov, V. G. Razumovsky, N. A. Rodina, N. H. Rozov, A. P. Savin, Ya. A. Smorodinsky, A. B. Sosinsky, V. M. Uroev, V. A. Fabrikant

Ban biên tập: A. M. Baldin, S. T. Belyaev, V. B. Bukhovtsev, E. P. Velikhov, I. Ya. Verchenko, B. V. Vozdvijensky, G. V. Dorofeev, N. A. Ermolaeva, A. P. Ershov, Yu. V. Ivanov, L. V. Kantorovich, P. L. Kapitsa, V. A. Kirillin, G. L. Kotkin, R. N. Kuzmin, A. A. Logunov, V. V. Mozhaev, V. A. Orlov, N. A. Patrikeeva, A. V. Peryshkin, R. Z. Sagdeev, S. L. Sobolev, A. L. Stasenko, I. K. Surin, E. L. Surkov, L. D. Faddeev, V. V. Firsov, G. N. Ykovlev

Số đã được phát hành:
M. B. Dubakh, E. V. Nazarov, A. M. Ponomareva, M. P. Sidorov, I. E. Smirnova, E. K. Tenchurina, P. I. Chernusky

Trưởng ban biên tập L. V. Chernova

Biên tập viên nghệ thuật T. M. Makarova

Người hiệu đính A. L. Ipatova

103006, Mátxcơva, K-6, st. Gorki, 32/1,
«Kvant», điện thoại. 251-82-42

Đã gửi để sưu tập 17/11/82 Đã ký in 31/12/82
in offset
Giấy 70×108 1/16. Vật lý. lò 4
Lò nướng có điều kiện l. 5.6 Biên tập học thuật. tôi. 6,74 T-21000
Giá 40 kopecks. Đặt hàng 2876 Phát hành 170528 bản.

Huân chương Cờ đỏ Lao động
Nhà máy in Chekhov
VO “Soyuzpoligraprom”
Ủy ban Nhà nước Liên Xô
về xuất bản, in ấn và kinh doanh sách
Chekhov, khu vực Moscow

Trang cờ vua

Tư vấn: vô địch cờ vua thế giới, kiện tướng quốc tế A. Karpov. Trang này được điều hành bởi E. Gik, Thạc sĩ Thể thao Cờ vua Liên Xô, Ứng viên Khoa học Kỹ thuật.