Đại học quốc gia Moscow được đặt theo tên. M. V. Lomonosova

54

Đại học quốc gia Moscow
họ. M. V. Lomonosova

Toán học
Bài thi viết
Tùy chọn 1
(Khoa Cơ và Toán)

1. Giải phương trình
   $$\log_2(x^2-3) - \log_2(6x-10) + 1 = 0.$$
2. Một tứ giác lồi $ABCD$ được ngoại tiếp xung quanh một đường tròn có tâm tại điểm $O$, với $|AO| = |OC| = 1, |BO| = |OD| = 2$. Tìm chu vi của tứ giác $ABCD$.
3. Giải phương trình
   $$\sqrt{5 \sin x + \cos 2x} + 2 \cos x = 0.$$
4. Tìm tất cả các giá trị của $x$ mà biểu thức
   $$\sqrt{3x^4-2-x^8} \cdot \sin(\pi(2x+16x^2))$$
   có ý nghĩa và không biến mất.
5. Cho một cặp hình tam giác $ABCD$ có đỉnh $D$, có các mặt $ABD$ và $ACD$ là tam giác vuông, cạnh $AD$ vuông góc với đường trung tuyến của đáy $AK$ và $|AD| = |AK|$. Phần của paramid bởi một mặt phẳng không đi qua trung điểm của các cạnh $AD$ và $BC$ là hình thang cân bằng $EFGH$ có đáy $EF$ và $GH$, và điểm $E$ chia đôi cạnh $BD$ và điểm $G$ nằm trên cạnh $AC$ và $|AG| = 3|GC|$. Tìm tỉ số giữa mặt phẳng hình thang $EFGH$ với mặt phẳng mặt $BCD$.

Tùy chọn 2
(Khoa Cơ và Toán)

1. Giải phương trình
   $$\log_x(2x^2-3x-4) = 2.$$
2. Trong một hình thang $ABCD$ nội tiếp đường tròn bán kính $r = 2$, đường chéo $AC$ là góc Bissert $BAD$, và chiều dài đáy $AD$ gấp đôi chiều dài đáy $BC$. Tìm mặt phẳng của hình thang này.
3. Giải phương trình
   $$\sqrt{2 \sin x \cdot \sin 2x} = \sqrt{5 \cos x + 4 \sin 2x}.$$
4. Tìm tất cả các giá trị của $x$ mà biểu thức

$$\sqrt{4x^4-3-x^8} \cdot (1-\cos(2\pi(2x+21x^2)))$$

có ý nghĩa và không biến mất.
5. Trong tứ giác paramid $ABCDE$, đáy $ABCD$ là hình bình hành và các mặt $ADE$ và $BCE$ là các tam giác vuông. Cạnh $BC$ vuông góc với đường trung tuyến $EP$ của các mặt $CDE$ và $|BC| = |EP|$. Tiết diện của paramid theo mặt phẳng là hình thang cân bằng $GKHL$, các đỉnh của nó $G, K, H, L$ lần lượt nằm trên các cạnh $AE, BE, CE, DE$, với $|GE| = 3|GA|$ và $|CH| = |EH|$. Tìm tỷ lệ diện tích của hình thang $GKHL$ với diện tích của khuôn mặt $ABE$.

Tùy chọn 3
(Khoa Toán tính toán và Điều khiển học)

1. Số nào lớn hơn: $\sqrt{8}$ hoặc $2^{2\log_2 5 + \log_2 \frac{9}{2}}$?
2. Tìm tất cả $x$ mà hàm $y = 6 \cos^2 x + 6 \sin x - 2$ nhận giá trị cao nhất trên $R$.
3. Giải bất đẳng thức
   $$\frac{\sqrt{2-x} + 4x-3}{x} \geq 2.$$
4. Nhà máy có một số máy ép giống hệt nhau để dập các bộ phận và nhà máy sản xuất 6.480 bộ phận mỗi ngày. Sau khi tái thiết, tất cả các máy ép đã được thay thế bằng những máy ép tùy ý hơn nhưng cũng giống hệt nhau và số lượng của chúng tăng thêm ba. Nhà máy bắt đầu sản xuất 11.200 bộ phận mỗi ngày. Lúc đầu có bao nhiêu máy ép?
5. Với mọi $a$, hãy giải phương trình
   $$|x+3| - a|x-1| = 4$$
   và xác định xem $a$ nào có chính xác hai lời giải.
6. Một đường tròn có tâm tại điểm $O$ được ngoại tiếp quanh tam giác $ABC$. Tiếp tuyến của đường tròn tại điểm $C$ cắt đường phân giác của góc $B$ của tam giác tại điểm $K$, và góc $BKC$ bằng nửa hiệu giữa góc $A$ và góc $C$ của tam giác. Tổng độ dài các cạnh $AC$ và $AB$ là $2+\sqrt{3}$, tổng khoảng cách từ điểm $O$ đến các cạnh $AC$ và $AB$ là 2. Tìm bán kính của hình tròn.

Tùy chọn 4
(Khoa Vật lý)

1. Giải phương trình
   $$\frac{1}{2} \cos \frac{x}{2} + \sqrt{2} \cos \frac{x}{4} = 0.$$
2. Với những giá trị nào của $a$ lời giải thì phương trình
   $$10x-15a=13-5ax+2a$$
   nhiều hơn 2?
3. Được biết, $\log_b a = \sqrt{3}$. Tính toán
   $$\log \left(\frac{\sqrt{a}}{b}\right)\left(\frac{3\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right).$$
4. Giải bất đẳng thức
   $$5^x-3^{x+1} > 2(5^{x-1}-3^{x-2}).$$

55

5. Trên cạnh bên SA của tam giác đều paramid SABC có đỉnh S, lấy điểm D, qua đó vẽ một phần của paramid, cắt các đường trung bình của các mặt SAC và SAB tại các điểm M và N. Biết rằng các đường thẳng DM và DN tạo thành các góc có độ lớn β với mặt phẳng đáy của paramid và độ lớn của các góc DMS và DNS bằng $\alpha\left(\alpha<\frac{\pi}{2}\right)$. Tìm góc MDN.

6. Một đường thẳng đi qua tâm của đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của một tam giác thì vuông góc với một trong các đường phân giác của nó. Biết rằng tỉ số giữa khoảng cách giữa tâm của đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp với bán kính của đường tròn ngoại tiếp bằng h. Tìm các góc của tam giác.

Tùy chọn 5
(Khoa Hóa học)

1. Giải phương trình
   $$\sqrt{3} \sin 2x - \cos 2x = \sqrt{3}.$$

2. Giải bất đẳng thức
   $$\log_2 \frac{x}{x-1} \leq -1.$$

3. Giải bất đẳng thức $f(g(x)) < g(f(x))$, trong đó $f(x) = 2^x - 1$, $g(x) = 2x + 1$.

4. Hình nón nằm trên mặt phẳng ngang P, tiếp xúc với mặt bên của nó. Diện tích đáy hình nón là $S_1$, diện tích xung quanh là $S_2$. Điểm cao nhất của hình nón là bao nhiêu (trên P)?

5. Với giá trị nào của tham số p thì phương trình
   $$(x-p)^2[p(x-p)^2-p-1] = -1$$ có nhiều nghiệm dương hơn nghiệm âm không?

Tùy chọn 6
(Khoa Sinh học)

1. Giải bất đẳng thức
   $$\log_1\left(1+x-\sqrt{x^2-4}\right) \leq 0.$$

2. Giải phương trình
   $$\sin^2 x + \cos^2 3x = 1.$$

3. Một hình lập phương nội tiếp trong SABCD tứ giác đều. Các đỉnh của một trong các mặt của khối lập phương nằm trên đáy của paramid ABCD. Các đỉnh của mặt đối diện của khối lập phương nằm trên các cạnh bên của paramid. Người ta biết rằng $|SA| = |AB| = a$, tức là độ dài cạnh bên của paramid bằng a và bằng độ dài cạnh đáy của nó. Khối lượng của một khối là gì?

4. Tìm phương trình của các tiếp tuyến đó với đồ thị của hàm $y = \frac{x^3+1}{x}$, cùng với các trục tọa độ giới hạn tam giác có diện tích $\frac{1}{2}$.

5. Các điểm P và Q nằm trên cạnh BC của tam giác ABC sao cho $|BP|:|PQ|:|QC| = 1:2:3$. Điểm R chia cạnh AC của tam giác này sao cho $|AR|:|RC| = 1:2$. Tỉ số diện tích của tứ giác PQST với diện tích của tam giác ABC là bao nhiêu, trong đó S và T lần lượt là giao điểm của đường thẳng BR với đường thẳng AQ và AP?

Tùy chọn 7
(khoa khoa học đất)

1. Một đoàn tàu cao tốc đi từ điểm A đến điểm B. Cùng lúc đó, một đoàn tàu chở hàng từ B đến A chạy về phía anh và gặp xe cứu thương $\frac{2}{3}$ giờ sau khi khởi hành. Khoảng cách giữa hai điểm A và B là 80 km, các tư thế chuyển động với vận tốc không đổi. Tàu nhanh đã di chuyển với tốc độ bao nhiêu nếu nó đi được 40 km trong $\frac{3}{8}$ giờ nhiều hơn thời gian tàu chở hàng đi được 5 km?

2. Giải phương trình
   $$\sqrt{2-3 \cos 2x} = \sqrt{\sin x}.$$

3. Tìm giá trị lớn nhất của hàm $f(x) = |x^3+6x^2+9x+1|$ trên đoạn $[-3; 1]$.

4. Một đường tròn bán kính 3 nội tiếp tam giác đều ABC (trong đó $|AB| = |BC|$). Đường thẳng p tiếp xúc với đường tròn này và song song với đường thẳng AC nhưng không trùng với đường thẳng AC. Khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng p là 3. Tìm khoảng cách giữa các điểm mà đường tròn tiếp xúc với các cạnh AB và BC.

5. Độ dài đường cao SO của cạnh đáy tam giác đều SABC bằng 1 và độ dài cạnh của đáy ABC bằng $2\sqrt{6}$. Điểm M và N là trung điểm của đoạn AC và AB. Tính bán kính của một hình cầu nội tiếp SAMN paramidus (nghĩa là tiếp xúc với tất cả các mặt bên và đáy).

Tùy chọn 8
(khoa địa lý)

1. Giải phương trình
   $$\sqrt{2x^2+8x+7} -x = 2.$$

2. Với những giá trị nào của x thì hàm số tùy ý y = 3-2 sin $\left(2x-\frac{\pi}{8}\right)$ bằng $2\sqrt{2}$?

3. Cho tam giác ABC, độ dài đường cao BD là 6 cm, độ dài đường trung tuyến CE là 5 cm, khoảng cách từ giao điểm BD với CE đến cạnh AC là 1 cm. Tìm $|AB|$.

4. Tìm tất cả các cặp (x; y) số thực thỏa mãn hệ bất đẳng thức
   $$\begin{cases} \log_2-x(2-y) > 0 \\ \log_4-y(2-x) > 0. \end{cases}$$

5. Cho hình vuông ABCDA’B’C’D’ song song bên phải, độ dài cạnh AB là 4 cm, độ dài cạnh AD là 6 cm, độ dài cạnh AA’ là 8 cm. Điểm K nằm trên cạnh AA’ cách đỉnh A 4 cm. Khoảng cách từ điểm L của cạnh DD’ đến đỉnh D là 2 cm. Điểm M nằm trên đoạn B’C’, độ dài MC gấp đôi độ dài B’M. Tìm diện tích đoạn thẳng song song bằng mặt phẳng đi qua các điểm K, L, M.

Tùy chọn 9
(khoa địa vật lý của khoa địa chất và chuyên ngành “sách kinh tế” và “quy hoạch kinh tế quốc dân” của khoa kinh tế)

1. Xác định cái nào lớn hơn: $\sqrt{1-2 \sin \frac{3\pi}{2}}$ hoặc $\sqrt{5 \text{ctg} \frac{\pi}{4}}$.

56

2. Tìm tất cả các bất đẳng thức lời giải
   $$\frac{2x+5}{|x+1|} \geq 1.$$

3. Tìm tất cả các phương trình lời giải
   $$9 \cdot \frac{1}{x} + 5 \cdot \frac{1}{x^2} = 4 \cdot \frac{1}{x^2}.$$

4. Tìm tất cả các phương trình lời giải
   $$\frac{\sin 4x}{\cos 6x} = 1.$$

5. Xây dựng tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ có tọa độ thỏa mãn phương trình
   $$y = 4 - \left| y - \frac{6}{x} \right| - 2 \left| \frac{3}{x} - 1 \right|$$
   và trong số các điểm của tập hợp này, hãy tìm mọi thứ trong đó tọa độ $y$ có giá trị cao nhất.

6. Độ dài nhỏ hơn đáy của hình thang có cạnh bằng tổng độ dài các cạnh của nó. Tìm số nguyên nhỏ nhất có thể $k$ sao cho tổng diện tích toàn phần của hình thu được khi quay hình thang quanh một đáy biến thiên bằng $k$ lần diện tích hình thang.

Tùy chọn 10
(khoa địa chất và khoa địa chất và chuyên ngành “kinh tế chính trị” của khoa kinh tế)

1. Xác định cái nào lớn hơn
   $$\sqrt{\text{ctg} \frac{\pi}{4} - 2 \sin \frac{3\pi}{2}} \leq \sqrt[3]{5}.$$

2. Tìm tất cả các phương trình lời giải
   $$\sqrt{x+3} - \sqrt{2x-1} = \sqrt{3x-2}.$$

3. Tìm tất cả các bất đẳng thức lời giải
   $$\log_3[(x+2)(x+4)] + \log_{\frac{1}{3}}(x+2) < \frac{1}{2} \log_{\sqrt{3}}7.$$

4. Tìm tất cả các phương trình lời giải
   $$\sin \left(\frac{4}{3} \pi \cdot \sin x\right) = \frac{1}{2}.$$

5. Một đường tròn nội tiếp một hình tam giác và tiếp xúc với các cạnh $AB$, $BC$, $AC$ của tam giác $ABC$ tương ứng tại các điểm $M$, $D$, $N$. Xác định độ dài của đoạn $MD$ nếu biết độ dài của đoạn $NA$ là 2, độ dài của đoạn $NC$ là 3 và góc $BCA$ là $\frac{\pi}{3}$.

6. Tìm tất cả lời giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} 8 \cos x \cdot \cos y \cdot \cos (x-y) + 1 = 0 \\ x+y=z \end{cases}.$$
   Tùy chọn 11
   (Khoa Tâm lý học)

7. Giải bất đẳng thức
   $$\frac{2x-3}{4-x} > \frac{1}{x}.$$

8. Tìm tọa độ giao điểm của các tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y=\cos xx$ tại các điểm có hoành độ $x=\frac{1}{6}$ và $x=\frac{7}{6}$.

9. Giải phương trình
   $$2 \sin x - \sqrt[4]{3} = (\sqrt{2} - \sqrt[4]{12}) \sqrt{\sin x}.$$

10. Trong hình thoi $ABCD$, trong đó $B \cdot A = 60^\circ$, vuông góc với cạnh $AD$, khôi phục từ điểm giữa của $AD$, cắt đường chéo $AC$ tại $M$ và vuông góc với cạnh $CD$, khôi phục từ điểm giữa $CD$, cắt đường chéo $AC$ tại điểm $N$. Tìm tỉ số diện tích của hình tam giác $MND$ và hình thoi $ABCD$.

11. Mã dành cho người đi bộ xuất phát từ điểm $A$ đến điểm $B$, đồng thời một người điều khiển xe máy đi ra từ điểm $B$ đến điểm $A$. Trên đường gặp một người đi bộ, người lái xe lập tức quay đầu lại, đưa người đi bộ đến điểm $B$, rồi lại đi ngay đến điểm $A$, đến đó mà không bị gián đoạn. Kết quả là, người lái xe đã dành thời gian trên đường đến điểm $A$ nhiều hơn hai lần rưỡi so với khi anh ta đi từ điểm $B$ đến điểm $A$ mà không đón người đi bộ. Người đi bộ sẽ đến điểm $B$ chậm hơn bao nhiêu lần nếu anh ta đi hết con đường từ $A$ đến $B$?

12. Giải phương trình
    $$\log_2 \sqrt[2+{\sqrt{3}}]{x^2-2x-2} = \log_2+{\sqrt{3}}(x^2-2x-3).$$
    Tùy chọn 12
    (Khoa Ngôn ngữ học cấu trúc và ứng dụng, Khoa Ngữ văn)

13. Giải phương trình
    $$2 + \cos 2x = -5 \sin x.$$

14. Tìm tất cả các số $x$ thỏa mãn điều kiện:
    $$\log_{\frac{1}{3}} \sqrt{x+6} \leq \log_{\frac{1}{3}}(x+4) \text{ и } x + \frac{1}{2} - \text{целое число}.$$

15. Hai tiếp tuyến được vẽ trên đồ thị của hàm $y=6x+x^2$. Tiếp tuyến đầu tiên được vẽ tại điểm có hoành độ $x_0=-2$, tiếp tuyến thứ hai - tại điểm tối thiểu của hàm này. Tìm mặt phẳng của tam giác tạo bởi trục tọa độ với hai tiếp tuyến này.

16. Trong hình bình hành $ABCD$, độ dài các cạnh $AB$ bằng 1 và bằng độ dài đường chéo $BD$. Độ dài của các đường chéo có liên quan là $1:\sqrt{3}$. Tìm mặt phẳng của phần đường tròn ngoại tiếp tam giác $BDC$ không thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác $\Delta ADC$.

17. Với giá trị nào của tham số $y$ thì số cặp số nguyên $(z; x)$ thỏa mãn bất đẳng thức $\gamma^3|x| \leq \sqrt{2}(\gamma^2-z^2)$ là nhỏ nhất?

Физика
Задачи устного экзамена
Физический факультет
1. Длинный неевесомый жесткий стержень может свободно врашаться в вертикальной плоскости вокруг точки $O$ (рис. 1). На стержне на расстоянии $l_1$ и $l_2$ от точки $O$ закрыленные небольшие по размерам grузы массой $m_1$ и $m_2$ соответственно. Стержень отклонили от вертикали на угол $α$ и отпустили. Каково будет натяжение стержня в точке $A$, находящейся между grузами, в момент прохождения стержнем положения равновесия?
2. Две пружины вставлены в закрепленную горизонтальную трубку и разделены подвижным поршнем (рис. 2). Первая пружина имеет жесткость $k_1$ и упирается вторым коном

58

погруженной в воду оказывается половина шарика. Определите, в каком отношении делится длина палочки точкой опоры. Плотность алюминия $\rho_a = 2,7 \cdot 10^3$ кг/м$^3$, плотность воды $\rho_b = 10^3$ кг/м$^3$.

2. Вертикальный цилиндр с тяжелым поршнем наполнен азотом, масса которого $M = 0,1$ кг. После увеличения температуры азота на $\Delta T = 100$ К поршень поднялся на высоту $h = 0,1$ м. Над поршнем все время сохраняется нормальное атмосферное давление $p_0$. Площадь поршня $S = 0,02$ м$^2$. Определите массу поршня. Молярная масса азота $\mu = 28$ кг/кмоль. Газовая постоянная $R = 8,3 \cdot 10^3$ Дж/(кмоль·К); $p_0 = 10^5$ Па.

3. Электрон влетает в области пространства с однородным электростатическим полем с направлением $E = 6 \cdot 10^4$ В/м перpendикулярно линяем направленности. Определите величины и направление индукции магнитного поля, которое надо создать в этой области для того, чтобы электрон пролетел ее, не испытывая отклонения. Энергия электрона $W = 1,6 \times 10^{-16}$ Дж, масса электрона $m = 9 \cdot 10^{-31}$ кг.

4. В блоке оптического стекла с показателем преломления $n = \sqrt{3}$ сделана наполненая воздухом полость в виде равносторонней призмы ABC (рис. 10). Точный источник света $S$ находится в стекле и симметричен вершине $B$ относительно плоскости AC. Угол расхождения лучей, падающих на признам, $\alpha = 60^\circ$. Чему равен угол β расхождения лучей, прошедших через признам?

Химический факультет и факультет почвоведения

1. Катушка с нитками лежит на наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом (рис. 11). Свободный конец нитки закреплен у верхнего конца наклонной плоскости так, что нить паралельна наклонной плоскости. Радиус катушки $R$, радиус намотки ниток $r$. При каком минимальном коэффициенте трения $\mu_{\min}$ катушки о плоскосте будет в равновесии?

2. В закрытом сосуде относительная влажность воздуха была $r = 30\%$. Затем в сосуде ввели каплю воды массы $m = 0,1$ г, которая полностью испарилась, после чего водной пар стал насыщенным. Определите объем сосуда. Плотность насыщенного пара при данной температуре $\rho_h = 17,3 \cdot 10^{-3}$ кг/м$^3$.

3. При одинаковых конденсатора, соединенных как показано на рисунке 12, подключены к точкам $A$, $B$ и $C$, потенциальы которых, соответственно, $\varphi_A = 100$ В, $\varphi_B = 60$ В и $\varphi_C = 50$ В. Определите потенциаль точки $D$.

4. На концах отрезка трубы диаметром $D = 3$ см и длиной $l = 12$ см вставлены две coinciding lines одинакового с тройой диаметра. С одной стороны на трубу падает широкий пучок паралельных лучей, а с другой стороны свет выходит также паралельным пучком диаметром $d = 1$ см. Определите фокусные расстояния линии.

Географический и геологический факультеты

1. Пуля, летящая горизонтальное со скоростью $v_0 = 510$ м/с, попадает в ящик, лежащий на горизонтальной поверхности на расстоянии $d = 0,5$ м от стены дома, и, пробив ящик, вылетает в том же направлении со скоростью $v = 10$ м/с. Ящик начинает двигаться по направлению к стене. Ударится ли ящик о стену дома? Козефиент трения между ящиком и поверхностью $\mu = 0,1$, масса ящика $M = 10$ кг, масса пуля $m = 10$ г, ускорение свободного падения $g = 10$ м/с$^2$.

2. Пузырек воздуха поднимается со знаний цилиндрического сосуда, наполненного жидкостью, на поверхности лилия, на поверхности лилия. При этом объем пузырека увеличивается в 1,5 раза. Определите плотность жидкости. Атмосферное давление у поверхности жидкости $p_0 = 10^5$ Pa. Высота жидкости в сосуде $h = 5,1$ м. Термературу считать постоянной, ускорение свободного падения $g = 10$ м/с$^2$.

3. Лампочка накаливания мощностью $P = 180$ Вт используется для обогрева акварияма, содержащого $V = 10^{-3}$ м$^3$ воды. За τ=2 мин вода нагревается на ΔT=3 K. Какая часть расходемой лампочной энергии теряется в виде лучистой энергии? Удельная тепломкость воды $c = 4,19 \cdot 10^3$ Дж/(кг·К).

4. В день весеннего равновесия солнечный луч, проходя через маленькую глубину, находится на момент в момент восхода и захода Солнца, равно $l = 2$ м. Толщиной льда пребывания.

Публикация подготовили
С. А. Ашманов, А. Н. Боолюбов,
О. П. Виноградов, И. Н. Мельников,
А. Н. Соколихин, Е. В. Талааева,
Л. А. Черникова

59

Обратные тригонометрические функции

2. а) $\frac{\pi}{4}$. Указание $\alpha + \beta + \gamma + \delta = (\alpha + \beta) + (\gamma + \delta)$. 6) $2\pi - 4$. в) $\frac{9}{14}\pi$.

3. а) См. рис. 1. Указание e. агссos (cos x) — четверная функция. 6) См. рис. 2.

Рис. 1.

Рис. 2.

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Matematika
Вариант 1

1. {2}. Указание. Данное уравнение равно сисете

$$\begin{cases} \log_2 \frac{2(x^2 - 3)}{6x - 10} = 0 \\ 6x - 10 > 0. \end{cases}$$

2. $4\sqrt{5}$. Указание e. Если $K, L, M, N$ — точки касания, соответствующего, стороны $DA, AB, BC, CD$ с окружностью, то треугольники $AOK, AOL, COM$ и $CON$ конструктивны; аналогично, конгрузить треугольники $DOK, DON, BOL$ и $BOM$. Выведите отсюда, что $AOD = AOB = COD = COB$.

3. $x = \frac{5}{6}\pi + 2\pi k$ ($k \in \mathbb{Z}$). Указание. Данное уравнение равно сисете

$$\begin{cases} 5\sin x + \cos 2x = 4\cos^2 x \\ \cos x \leq 0. \end{cases}$$

4. Все точки интеграла $] -\sqrt{2}; -1$ [за исключением точки $\frac{-1-\sqrt{1+16k}}{16}$ ($15 \leq k \leq 20$) и все точки интеграла $] 1; \sqrt{2}$ [за исключением точки $\frac{-1+\sqrt{1+16k}}{16}$ ($19 \leq k \leq 25$). Указание. Неравенство

$$-\sqrt{2} < \frac{-1-\sqrt{1+16k}}{16} < -1$$

равnocильно неравенству

$$14 < k < 16\sqrt{2} - 2\sqrt{2}$$

Грубая оценка ($1 < \sqrt[4]{2} < \sqrt{2}$; $1,4 < \sqrt{2} < 1,5$) показывает, что

$$19,6 < 16\sqrt{2} - 2\sqrt{2} < 22$$

Двухкратным возведением в квадрат проверяется, что на самом деле

$$20 < 16\sqrt{2} - 2\sqrt{2} < 21$$

Аналогично, неравенство

$$1 < \frac{-1+\sqrt{1+16k}}{16} < \sqrt[4]{2}$$

равnocильно неравенству

$$18 < k < 16\sqrt{2} + 2\sqrt{2}$$

Грубая оценка ($1,1 < \sqrt[4]{2} < \sqrt{2} < 1,5$) показывает, что

$$19,8 < 16\sqrt{2} + 2\sqrt{2} < 27$$

Двухкратным возведением в квадрат проверяется, что на самом деле

$$25 < 16\sqrt{2} + 2\sqrt{2} < 26$$

5. $\frac{5\sqrt{10}}{32}$. Решение. 1) Докажем, что $(AD) \perp (ABC)$. Допустим противное. Тогда, вывиду $DAK = \frac{\pi}{2}$, $DAB \neq \frac{\pi}{2}$ и $DAC \neq \frac{\pi}{2}$. Но по условию треугольники $ABD$ и $ACD$ — прямогольные. Значит, во-первых, $ADB = \frac{\pi}{2}$ или $ABD = \frac{\pi}{2}$ и во-вторых, $ADC = \frac{\pi}{2}$ или $ACD = \frac{\pi}{2}$. Если $ADB = \frac{\pi}{2}$ и $ADC = \frac{\pi}{2}$, то $(AD) \perp (BCD)$; значит, $ADK = \frac{\pi}{2}$ и в треугольнике $ADK$ получился два прямых угла. Если $ABD = \frac{\pi}{2}$ и $ACD = \frac{\pi}{2}$, то $(AD) > |AB|$ и $(AD) > |AC|$; значит, $(AD) > |AK| = |AD|$. Если $ADB = \frac{\pi}{2}$ и $ADC = \frac{\pi}{2}$, то, вывиду $(KE) \parallel (CD)$, $(AD) \perp (KE)$; так как $(AD) \perp (AK)$, $(AD) \perp (AKE)$; значит, $DAE = \frac{\pi}{2}$, но $AED > > ABD = \frac{\pi}{2}$ и в прямогольном треугольнике $DAE$ получился типой угол. Случай $ADB = = ACD = \frac{\pi}{2}$ приводится к противению. 2) Докажем, что $F \in [CD]$, $H \in [AB]$. Точка $F$ лежит на одном из ребер $CD$, $AB$, $AD$, $BC$. Если $F \in [AB]$, то, вывиду того, что никакие три из четырех точек $E$, $F$, $G$, $H$ не могут принадлежать одной границе (начие плоскость сечения совпала бы с плоскостью этой грани), $H \in [CD]$; так как, по условию, $(EF) \parallel (HG)$, по теореме о линни пересечения плоскостей, проведенных через параллельные прямые (теорема 4 из «Геометрии 9—10»), $(HG) \parallel (AD)$; из $(AD) \perp (ABC)$ следует $(HG) \perp (ABC)$; значит, $(HG) \perp (GF)$; поскольку трапеция $EFGH$ — равноведняная, $EHG = = HGF = \frac{\pi}{2}$, но тогда $EFGH$ — прямогольный

60

Рис. 3.

Рис. 4.

ник, что противоречит определению трапеции. Если $F \in [AD]$, то $H \in [BC]$; так как $(EF) \parallel (HG)$, $(EF) \parallel (AB)$; значит, $|AF| = |FD|$, что противоречит условия. Случай $F \in [BC]$ приводится к противоречию аналогично. 3) Итак, $F \in [CD]$, $H \in [AB]$ (рис. 3). Значит, $(EF) \parallel (BC)$ и $(GH) \parallel (BC)$. Поэтому $|DF| = |FC|$ и $|AH| = 3|HB|$. Из $\triangle ACD$ $|FG| = \sqrt{|CG|^2 + |AD|^2}$ (рис. 4). Аналогично, из $\triangle ADB$ $|EH| = \sqrt{|HB|^2 + |AD|^2}$. Поскольку, по условиям, $|FG| = |EH|$, получаем $|CG| = |HB|$. Значит, $|AC| = |AB|$, откуда $|DC| = |DB|$. 4) Поскольку треугольники $CAB$ и $CDB$ — равноведенные, их медианы $AK$, $DK$ являются высотами. Значит, $(BC) \perp (AKD)$. Поэтому $(FE) \perp (AKD)$ и $(GH) \perp (AKD)$. Следовательно, $(FE) \perp (MN)$ (см. рис. 3) и $(GH) \perp (MN)$. Таким образом, $[MN]$ — высота трапеции EFGH. 5) Положим $|AD| = |AK| = h$. Из $\triangle AKD$, выду $|AN| = 3|NK|$, легко найти $|MN| = \frac{h\sqrt{5}}{4}$. Поскольку $|GH| = \frac{3}{4}|BC|$ и $|FE| = \frac{1}{2}|BC|$, площадь трапеции $S_1 = \frac{5\sqrt{5}}{32}h|BC|$. Из $|DK| = h\sqrt{2}$ площадь $S_2 = S_{\triangle BCD} = \frac{\sqrt{2}}{2}h|BC|$. Отсюда $\frac{S_1}{S_2} = \frac{5\sqrt{10}}{32}$.

Вариант 2
1. {4}.
2. $3\sqrt{3}$.
3. $x_1 = \frac{\pi}{2} + \pi k, x_2 = -\frac{\pi}{6} + 2\pi l$ ($k, l \in \mathbb{Z}$).
4. Все точки интеграла $] -\sqrt{3}; -1$ [за исключением точек $\frac{-1-\sqrt{1+21k}}{21}$ ($20 \leq k \leq 33$) и все точки интеграла $] 1; \sqrt{3}$ [за исключением точек $\frac{-1+\sqrt{1+21k}}{21}$ ($24 \leq k \leq 39$).

5. $\frac{5\sqrt{5}}{16}$. Указание. Докажите, что $ABCD$ — прямогольник, углы $ECB$ и $EDA$ — прямые и $(GK) \parallel (LH)$.

Вариант 3
1. $\sqrt{8}$.
2. $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$ ($k \in \mathbb{Z}$).
3. $] -\infty; 0$ [ $\cup$ [1; 2].
4. 5. Указание. Задча равносливна следующей: найти такое $n \in \mathbb{N}$, что $\frac{6480}{n} \in \mathbb{N}$, $\frac{11200}{n+3} \in \mathbb{N}$ и $\frac{6480}{n} < \frac{11200}{n+3}$. Числа $n$ и $n+3$ одновременно делятся (или не делятся) на 3.
5. {1} при $|a| > 1$, [1; +∞ [ при $a = 1$, [-3; 1] при $a = -1$, $\{1, \frac{a+7}{a-1}\}$ при $|a| < 1$. Указание. Расмотрите три случая: $x < -3$, $-3 \leq x < 1$ и $x \geq 1$. Можно также нарисовать график функции $y = |x+3| - 4$ и рассмотреть семейство кривых $y = a|x-1|$, изменяя $a$ от 1 до +∞ и до -∞.
6. $\frac{1}{2} \sqrt{34-15\sqrt{3}}$. Решение. Пусть $BAC = \alpha$, $ABC = \beta$, $BCA = \gamma$, $BKC = \delta$, $[OM] \perp [AC]$ ($M \in [AC]$), $OAM = \varphi$, $[ON] \perp [AB]$ ($N \in [AB]$). 1) Доказем, что $[BK]$ не пересекается с $[AC]$. Предполагает противное, получаем $ACK = \beta$ (задча 1179 из «Геометрии 6-8»). Из $\triangle BKC \delta + (\beta + \gamma) + \frac{\beta}{2} = 180^\circ$. Отсюда и из равенств $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$, $\delta = \frac{1}{2} (3\alpha - \gamma)$ получаем $\gamma = 90^\circ$. Значит, $O \in [AB]$. Тогда по условиям $|OM| = 2$. Отсюда $|BC| = 4$. Следовательно, $|AB| + |AC| = 2 + \sqrt{3} < 4 = |BC|$ — противоречие с неравенством треугольника. 2) $BCK = \alpha$ (та же задача 1179), $CBK = 180^\circ - \frac{\beta}{2}$. Из $\triangle BKC \alpha + \left(180^\circ - \frac{\beta}{2}\right) + \delta = 180^\circ$. Отсюда и из тех же двух равенств $\alpha = 30^\circ$. Из $\alpha + \left(180^\circ - \frac{\beta}{2}\right) + \delta = 180^\circ$ следует $\frac{\beta}{2} > \alpha$. Значит, $\beta > 60^\circ$ и $\gamma < 90^\circ$. 3) Доказем, что $\beta > 90^\circ$. Предполагает противное, получаем, что $O$ лежит внутри $\triangle ABC$ (при $\beta < 90^\circ$; выду $\alpha = 30^\circ$ и $\gamma < 90^\circ$, $\triangle ABC$ — остругольный) или на $[AC]$ (при $\beta = 90^\circ$). Тогда $OAN = 30^\circ - \varphi$. Из условия
$$\begin{cases} 2R \cdot \cos \varphi + 2R \cdot \cos (30^\circ - \varphi) = 2 + \sqrt{3} \\ R \cdot \sin \varphi + R \cdot \sin (30^\circ - \varphi) = 2 \end{cases}$$

Отсюда $tg 15^\circ = \frac{4}{2 + \sqrt{3}} > 1$ — противоречие.
4) Следовательно, $O$ лежит в $\triangle ABC$, причем $O$ и $B$ лежат по разные стороны от $(AC)$. В этом случае $OAN = 30^\circ + \varphi$. Из условия
$$\begin{cases} 2R \cdot \cos \varphi + 2R \cdot \cos (30^\circ + \varphi) = 2 + \sqrt{3} \\ R \cdot \sin \varphi + R \cdot \sin (30^\circ + \varphi) = 2 \end{cases}$$

Отсюда $R^2 \cdot \cos^2 15^\circ = \left(\frac{2 + \sqrt{3}}{4}\right)^2 + 1$. Вычис-

61

лив $\cos^2 15^\circ = \frac{1 + \cos 30^\circ}{2}$, находим $R$.

Вариант 4
1. $x = \pm 4 \arccos \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 8\pi k \quad (k \in \mathbb{Z})$.
2. $] -\infty; -2[\cup] 1; +\infty[$.
3. $\frac{2\sqrt{3}-3}{3\sqrt{3}-6} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
4. $] 3; +\infty[$.
5. $2 \arcsin \left[\frac{1}{2} \left(\sin \alpha + \sqrt{3} \left(\cos^2 \alpha - \sin^2 \beta\right)\right)\right]$.

Указание. Проведите через $(BC)$ плоскость $\pi$, параллельную плоскости сечения. Пусть $(SA) \cap \pi = D'$. Тогда $CD'B = MDN$.

6. $2 \arcsin \left(\frac{1}{2} \sqrt{1-h^2}\right), \quad \pi - \arccos h - \arcsin \left(\frac{1}{2} \sqrt{1-h^2}\right), \quad \arccos h + \arcsin \left(\frac{1}{2} \sqrt{1-h^2}\right) - 2 \arcsin \left(\frac{1}{2} \sqrt{1-h^2}\right)$.

Решение. Пусть $ABC$ — данные треугольник, $O$ — центр описанной окружности, $R$ — ее радиус, $S$ — центр вписанной окружности, $(OS) \perp (AS), E$ — точка пересечения $(AS)$ с описанной окружностью, $D = (OE) \cap (BC)$. Опустим из $S$ перpendикularя на $(OE), (BC)$ и $(AB)$; основания этих perpendикularров обозначим, соответственно, через $F, K$ и $L$. Положим $|OS| = l$. $EOS = AOS$, так как $|OS|$ — высота в равноведренном треугольнике $AOE$.

Позному $\triangle FOS \sim \triangle SOA$. Отсюда $\frac{|OF|}{|OS|} = \frac{|OS|}{|OA|}, |OF| = \frac{l^2}{R}$. 2) Так как $(AE)$ — биссертиса угла $BAC$, $E$ — середина дуги $BEC$. Значит, $(OE) \perp (BC). \widehat{COE} = \widehat{BAC}$, плоскoby $\angle COE$ изменяется другой $CE$, а $\angle BAC$ изменяется поливной дуги $BEC$. Следовательно, $|OD| = |OC| \cdot \cos \widehat{COE} = R \cdot \cos \widehat{BAC}$. 3) Из $\triangle OAS |AS| = \sqrt{R^2 - l^2}$. Позному $|FD| = |SK| = |SL| = |AS| \cdot \sin \frac{\widehat{BAC}}{2} = \sqrt{R^2 - l^2} \cdot \sin \frac{\widehat{BAC}}{2}$.

4) Из $|OD| = |OF| + |FD|$ получаем уравнение $R \cdot \cos \widehat{BAC} = \frac{l^2}{R} + \sqrt{R^2 - l^2} \cdot \sin \frac{\widehat{BAC}}{2}$ или $\left(\frac{l}{R} = h\right)$
$\cos \widehat{BAC} = h^2 + \sqrt{1 - h^2} \cdot \sin \frac{\widehat{BAC}}{2}$.

Решив его, находим $\sin \frac{\widehat{BAC}}{2} = \frac{1}{2} \sqrt{1 - h^2}, \widehat{BAC} = 2 \arcsin \left(\frac{1}{2} \sqrt{1 - h^2}\right)$. 5) Из $\triangle AOS$ cos $\widehat{AOS} = \frac{l}{R} = h, \widehat{AOS} = \arccos h$. Если точка $O$ лежит вне $\triangle ABC$, то $\widehat{AOC} = \widehat{AOS} + \widehat{SOE} + \widehat{EOC} = 2\widehat{AOS} + \widehat{BAC}$ и $\widehat{AOC} = 2\pi - 2\widehat{ABC}$, откуда $\widehat{ABC} = \pi - \widehat{AOS} - \frac{1}{2} \widehat{BAC}$. Если точка $O$ лежит внутри $\triangle ABC$, то $\widehat{AOC} = 2\pi - 2\widehat{ABC}$.

Рис. 5.
прямую, параллельную $(BC)$ (рис. 5). Из подобия треугольников $NAR$ и $QSB$
$\frac{|NR|}{|QC|} = \frac{|AR|}{|AC|} = \frac{1}{3}$.
Следовательно,
$\frac{S_{SBQ}}{S_{RBC}} = \frac{|SB| \cdot |BQ|}{|RB| \cdot |BC|} = \frac{3}{8}$.
Аналогично, из подобия $\triangle ALR \sim \triangle APC, \triangle LRT \sim \triangle PTB$ получаем
$\frac{S_{TBP}}{S_{RBC}} = \frac{1}{16}$.
Значит, $S_{PQST} = S_{SBQ} - S_{TBP} = \frac{3}{8} S_{RBC} - \frac{1}{16} S_{RBC} = \frac{5}{16} S_{RBC} = \frac{5}{16} S_{ABC}$.

63

Рис. 7.

откуда $x = 1 \pm \sqrt{11 + 4\sqrt{3}}$.
Вариант 12
1. $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$ ($k \in \mathbb{Z}$).
2. $\left\{-3 \frac{1}{2}, -2 \frac{1}{2}\right\}$.
3. $\frac{25}{4}$.
4. $\frac{\sqrt{3}}{6} - \frac{\pi}{18}$. Указание. Докажите, что $|AC| = \sqrt{3}$ и $ABCD$ — ромб.
5. $]\frac{\sqrt{2}}{2}; 1 [\cup]\sqrt{2}; 2[$. Решение. При $\gamma \leq 0$ решением данного неравенства является любая пара $z = 0$, $x = n \in \mathbb{Z}$ — целочисленных решений бесконечного много. Пусть далее $\gamma > 0$. Данное неравенство равносильно неравенству
$$|x| \leq -\frac{\sqrt{2}}{\gamma^3} z^2 + \frac{\sqrt{2}}{\gamma}$$
или
$$\frac{\sqrt{2}}{\gamma^3} z^2 - \frac{\sqrt{2}}{\gamma} \leq x \leq -\frac{\sqrt{2}}{\gamma^3} z^2 + \frac{\sqrt{2}}{\gamma}$$
Таким образом, нам надо оценить число точек с целочисленными координатами между парами $x = -\frac{\sqrt{2}}{\gamma^3} z^2 + \frac{\sqrt{2}}{\gamma}$ и $x = \frac{\sqrt{2}}{\gamma^3} z^2 - \frac{\sqrt{2}}{\gamma}$.

$-\frac{\sqrt{2}}{\gamma}$. Если $0 < \gamma \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$, то $\frac{\sqrt{2}}{\gamma} \geq 2$ — на основе ordинант (оси $x$) имеется не меньше 5 исключых точек (рис. 7, а). Если $\frac{\sqrt{2}}{2} < \gamma < 1$, то $1 < \frac{\sqrt{2}}{\gamma} < 2$ — между параболами (а именно — на основе ordинант) имеетсяровно 3 исключые точек (рис. 7, б). Если $1 \leq \gamma \leq \sqrt{2}$, то $\frac{\sqrt{2}}{\gamma} \geq 1$ — между параболами имеетсяровно 5 исключых точек (рис. 7, в). Если $\sqrt{2} < \gamma < 2$, то $\frac{\sqrt{2}}{\gamma} < 1$ — между параболами (а именно — на основе абсцисс) имеетсяровно 3 исключые точек (рис. 7, е). Наконец, при $\gamma \geq 2$ на основе абсцисс имеетсяровно 5 исключых точек (рис. 7, д).

Физика
Физическая факультет
1. $T = m_2 g \left( 1 + \frac{4 (m_1 l_1 + m_2 l_2) l_2 \sin^2 (\alpha/2)}{m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2} \right)$.
2. $A = \frac{k_2 (k_1 + k_2) l^2}{2k_1}$.
3. $h = \frac{k (L - l)^2}{2g (M + m)}$.
4. $p = \left( \frac{p_1 V_1}{T_1} + \frac{p_2 V_2}{T_2} \right) \frac{T}{V_1 + V_2}$.
5. $m_B = \left( 1 - \frac{r}{100\%} \right) \frac{p_H \mu V}{RT} = 0,46$ кг, где $\mu = 18 \cdot 10^{-3}$ кг/моль — молярная масса воды.
6. $U = U_0 \frac{d}{d - 2d_2 - d_1 + 2d_2/\epsilon}$.
7. $Q = \frac{C_1 C_2^2 \delta^2}{2 (C_1 + C_2)^2} \frac{R_1}{R_1 + R_2} = 0,04$ Дж.
8. $x = 2L \frac{R_{BC}}{R_{AB} + R_{BC}} = 5 \cdot 10^3$ м = 5 км.
9. $l \approx \frac{h}{4\alpha (n - 1)}$.
10. $R = dn_2/(2n_1) = 4$ см.

Механико-mатематический факультет
и факультет вычислительной математики
и киберnetики
1. $\frac{y}{x} = 1 + \frac{4\pi R^3 (2\varrho_a - \varrho_b)}{3M} \approx 1,5$.
2. $m = \frac{MR \Delta T}{\mu hg} - \frac{p_0 S}{g} \approx 2,8 \cdot 10^3$ кг.
3. $B = E \sqrt{\frac{m}{2W}} \approx 3,2 \cdot 10^{-3}$ Тл; линни магнитной индукции перпендикулярны линяям направности электрического поля и скорости электрона.
4. $\beta = 120^\circ$.

64

Химический факультет и факультет почеведения

1. $\mu_{\min} = \frac{r \, \text{tg} \, \alpha}{R + r}$.

2. $V = \frac{m}{\varrho_H (1 - r/100\%)} \approx 8,3 \cdot 10^{-3} \, \text{m}^3 \approx 8,3 \text{л}$.

3. $\varphi_D = (\varphi_A + \varphi_B + \varphi_C)/3 = 70 \text{В}$.

4. $F_1 = \frac{Dl}{D + d} = 9 \text{см}; \quad F_2 = \frac{dl}{D + d} = 3 \text{см}$.

Географический и геологический факультеты

1. Яшик о стену не ударится, так как пројденый им путь
   $l = m^2 (v_0 - v)^2 / (2 \mu g M^2) = 0,125 \text{м}$
   менше расстояния $d = 0,5 \text{м}$ до стены.

2. $\varrho = \frac{0,5 p_0}{g h} \approx 10^3 \text{кг/m}^3$.

3. $\eta = 1 - \frac{\varrho V c \Delta T}{P \tau} \approx 0,4$ (здесь $\varrho = 10^3 \text{кг/m}^3$ — плотность воды).

4. $n = \sqrt{(2h/l)^2 + 1} = 1,33$.

Шахматная страница
(см. «Квант» № 1)

Задание 1 (С. Лимбах). 1. Фе4! (но не 1. Фd1+? Лг1 2. Фd5+ e4!) 1... b1Ф
2. Ф:b1+ Лг1 3. Фb7+ e4 4. Ф:e4+ Лг2
5. Фb1+ Лг1 6. Фb7+ Лг2 7. Фе4! Чисто геометрический мотив — дважды пројдя по треугольнику e4—b1—b7—e4, ферзь вынуждает короля покинут свое убежище. 7... Kpg1
8. Фе1×.

Задание 2 (Г. Ринк, 1905 г.). 1. Kg4 Кph1
2. a7 g1Ф 3. a8Ф+ Фg2 4. Фh8+ Kpg1
5. Фd4+ Kph1 6. Фd1+ Фg1 7. Фd5+ Фg2
8. Фh5+ Kpg1 9. Фc5+ Kph1 10. Ф:c1+ Фg1
11. Фc6+ Фg2 12. Фh6+ Kpg1 13. Фc1+ Фf1
14. Фc5+ Kph1 15. Фh5+ Kpg2 16. Ke3+ и белые выигрывают.

«Квант» для младших школьников
(см. «Квант» № 3)

1. Боря живет в квартире 206.
2. Надо взять две нитки № 40 (а не № 10!) и сложить вместе.
3. Весь показут больший вес. Действительно, давление воздуха в шарике больше атмосферного, поэтому добавление порции воздуха в шарик увеличит объем шарика на величины меньше того объема, который эта порция воздуха занимала в атмосфере; следовательно, увеличение вытalkивающей силы меньше, чем увеличение силы тяжести.
4. На месте знака «?» следует поставить представление числа 16 в троичной системе числения, то есть 121. Действительно, в последовательности записаны представления числа 16 сначала в 16-prичной системе числения, потом в 15-prичной, 14-prичной и т. д. Заметим, что вместе заключителого знака «?» в формулировке задачи можно было бы поставить запись числа 16 в «одноричной» системе числения: 1111111111111111.

5. Не могут. Если бы отрезки AM и BK при пересечении делились бы пополам, то точки A, B, M и K были бы вершинами параллельграмма, то есть стороны AC и BC треугольника ABC были параллельны, что невозможно.

Главный редактор — академик И. К. Кикоин

Первый заместитель главного редактора — академик А. Н. Колмогоров

Заместители главного редактора: М. Н. Данильчева, В. А. Лешковцев, Ю. П. Солловев

Редакционная коллекция: Л. Г. Асламазов, М. И. Башмаков, В. Е. Белонучкин, В. Г. Болтянский, А. А. Боровой, Ю. М. Брук, В. В. Вавилов, Н. Б. Васильев, С. М. Воронин, Б. В. Гнеденко, В. Л. Гутенмахер, Н. П. Долбилин, В. Н. Дубровский, А. Н. Земляков, А. Р. Зильберман, С. М. Козел, С. С. Кротов, Л. Д. Кудрявцев, А. А. Михайлов, Е. М. Никшин, С. П. Новиков, М. К. Поголов, В. В. Можаев, В. А. Орлов, Н. А. Патрикева, А. В. Перышкин, Р. З. Сагдеев, С. Л. Соболев, А. Л. Стасенko, И. К. Сурин, Е. Л. Сурков, Л. Д. Фаддеев, В. В. Фирсов, Г. Н. Яковлев

Номер оформили:
Л. В. Денисенко, М. Б. Дубах, А. К. Малкин, Э. В. Назаров, И. Е. Смирнова, Е. К. Тенчурина.
Фото: Т. П. Волосок, А. С. Маклеев, А. Пушкаев (TACC), А. Сенцов (TACC), В. П. Шевченко

Главный художник Э. А. Смирнов
Заведующая редакцией Л. В. Чернова
Художственный редактор Т. М. Макарова
Корректор О. М. Кривенко
103006, Москва, К-6, ул. Горького, 32/1.
«Квант», тел. 250-33-54

Сдано в набор 16.2.83. Подписано в печать 16.3.83. Печать оформления Бумага 70×108 1/16. Физ. печ. л. 4 Усл. печ. л. 5,6 Уч.-изд. л. 6,90 Т-06945 Цена 40 коп. Заказ 355 Тираж 172 343 экз.



Шахматная страница

Консультирует — чемппон мира по шахматам, международный гроссейстер А. Карпов. Ведет страничку мастер спорта СССР по шахматам, кандидат технических наук Е. Гик.