Trên các điểm nguyên của đường cong có dạng x^n + y^n = c^n

58

dãy số 0 và số 1 ở trên).

Richard Mises đã cố gắng đưa khái niệm ngẫu nhiên của mình vào nền tảng của lý thuyết xác suất, nhưng gặp phải những khó khăn logic xám xịt. Nhà toán học Liên Xô A. Ya đã đưa ra lời chỉ trích thuyết phục về cách tiếp cận của ông. Khinchin, và sự biện minh thỏa đáng cho lý thuyết xác suất đã được A. N. Kolmogorov đưa ra vào năm 1933 bằng một con đường khác - phương pháp tiên đề.

Tuy nhiên, hướng nghiên cứu do Mises tạo ra, dành riêng cho việc phân chia trình tự

thành “ngẫu nhiên” và “không ngẫu nhiên” hóa ra lại có kết quả. Vào đầu những năm bảy mươi, A. N. Kolmogorov, sử dụng những ý tưởng của lý thuyết thuật toán, đã đưa ra một định nghĩa thuyết phục về những khái niệm này.

Richard Mises sinh ra cách đây 100 năm ở Lviv. Sau khi tốt nghiệp Đại học Vienna, ông trở thành giáo sư tại Đại học Strasbourg và Berlin. Từ năm 1933, Mises làm giáo sư tại Đại học Istanbul và từ năm 1939 tại Harvard (Mỹ). Mises qua đời năm 1953.

A. H. Thần

Trên các điểm nguyên của đường cong có dạng

$$x^n + y^n = c^n$$

Nếu $c$ là số nguyên thì đường tròn

$$x^2 + y^2 = c^2$$

(1) nhất thiết phải đi qua các điểm có tọa độ nguyên, ví dụ đi qua các điểm $(0, \pm c)$ và $(\pm c, 0)$, nằm trên trục tọa độ. Đường tròn (1) cũng có thể đi qua các điểm nguyên không nằm trên trục tọa độ, ví dụ tại $c = 5$ - đi qua các điểm $(3, 4), (4, 3)$ *).

Có thể một đường cong

$$x^n + y^n = c^n$$

(2) (trong đó $n \geqslant 3, c > 0$) đi qua điểm nguyên $(x, y)$ cho $x > 0$ và $y > 0$? Nói chung, đáp số không xác định được trong câu hỏi này, nhưng chúng ta sẽ chứng minh khẳng định sau:

Đối với bất kỳ số nguyên dương $c$ nào, người ta có thể chỉ định một số $N$, bắt đầu từ đó (tức là tại $n \geqslant N$) đường cong (2) không đi qua các điểm nguyên,

*) Nếu đường tròn (1) đi qua điểm nguyên $(x_0, y_0)$ thì bộ ba số $(x_0, y_0, c)$ được gọi là nuphagorean. Bạn có thể đọc về đường mòn Pythagore trong «Kvant», 1981, số 4, tr. 39 và 1979, không. 4, tr. 38.

không nằm trên trục tọa độ.

Tại sao lại như vậy? Nghiên cứu đồ thị của đường cong (2) tại $n = 1, 2, 3, 4, \dots$ dẫn đến ý tưởng rằng đối với một $n$ đủ lớn, đường cong này được ép vào đường đứt nét $ABC$, các liên kết của chúng đi dọc theo các đường thẳng $AB$ và $BC$, được cho tương ứng bởi các phương trình $y = c$ và $x = c$, trong đó $c$ là một số nguyên (Hình 1). Nhưng bên trong “hành lang đỏ” có chiều rộng 1, được giới hạn bởi đường đứt nét $ABC$, các trục tọa độ và đường đứt nét $A_1B_1C_1$ (xem Hình 1), không còn điểm nguyên nào nữa và đường cong của chúng ta nằm hoàn toàn trong hành lang này với $n$ đủ lớn.

Dựa trên những thông điệp trực quan này, giờ đây chúng tôi trình bày một bằng chứng chặt chẽ cho tuyên bố đã được xây dựng.

Đặt số nguyên đã cho $c > 0$; đường cong (2) cắt các trục tọa độ tại các điểm $(c, 0), (0, c)$. Giao điểm của nó $T$ với bisertric của hình vuông đầu tiên có hoành độ $x = \frac{c}{\sqrt{2}}$. Để đường cong nằm hoàn toàn bên trong “hành lang đỏ” (Hình 2), chỉ cần yêu cầu $c - 1 < \frac{c}{\sqrt{2}}$ là đủ.

Và bất đẳng thức cuối cùng sẽ được thỏa mãn nếu ta chọn

$$n > \frac{\ln 2}{\ln c - \ln(c - 1)},$$

điều này luôn có thể được thực hiện, vì phần quyền của sự bất bình đẳng là không đổi. Không có điểm nguyên nào trong “hành lang”. Điều này có nghĩa là đường cong của chúng ta không đi qua các điểm nguyên không nằm trên trục tọa độ, đó là điều bắt buộc.

A. G. Manevich