Bài toán M811—M815; F823—F827

43

Bài toán

M811—M815; F823—F827

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó không phải là tiêu chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình giảng dạy ở trường. Các dấu hoa thị bài toán khó nhất sẽ bị loại bỏ. Sau khi hình thành bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả các nhiệm vụ này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán từ số này có thể được gửi chậm nhất là ngày 30 tháng 9 năm 1983 đến địa chỉ: 103006, Moscow, K-6, st. Gorky, 32/1, «Kvant». Trong cột “Tới”, viết: “Nhiệm vụ «Kvant» Số 7-83” và các số bài toán, lời giải mà bạn đang gửi, ví dụ: “M811, M812” hoặc “F823”. Lời giải bài toán từ các số khác nhau của tạp chí hoặc trong các chủ đề khác nhau (toán học và vật lý) được phân bổ trong các phong bì khác nhau. Bao gồm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn trên đó (bạn sẽ nhận được kết quả kiểm tra lời giải trong phong bì này). Điều kiện của mỗi bài toán ban đầu được đề xuất xuất bản được ghi trong một phong bì riêng gồm hai bản sao cùng với lời giải của bạn cho bài toán này (trên vị trí phong bì: “Bài toán «Kvant», bài toán mới trong vật lý” hoặc “…bài toán mới trong toán học”).

Ở đầu mỗi chữ cái hãy cho biết mã số trường và lớp bạn đang theo học.

M811. Gọi $h_a, h_b, h_c$ là các đường cao, $m_a, m_b, m_c$ là đường trung tuyến của tam giác nhọn (được vẽ sang các cạnh $a, b, c$), $r$ và $R$ là bán kính của đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp. Chứng minh rằng

$$\frac{m_a}{h_a} + \frac{m_b}{h_b} + \frac{m_c}{h_c} \leq 1 + \frac{R}{r}.$$

D. M. Milosevic

M812. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{3\sqrt{2}} + \frac{1}{4\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{(n+1)\sqrt{n}} < 2.$$

S. I. Mayzus

M813. Cho các đoạn $OA, OB$ và $OC$ có cùng độ dài (điểm $B$ nằm trong góc $AOC$). Các vòng tròn được xây dựng trên chúng như trên đường kính. Chứng minh rằng diện tích của một tam giác cong giới hạn bởi hai đường tròn này và không chứa điểm $O$ (xem Hình 1, trang 44) bằng một nửa diện tích (của tam giác xiên $ABC$).

V. V. Prasolov

M814. Chúng ta hãy lưu ý rằng các số trong chuỗi tự nhiên có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của hai bình phương của các số tự nhiên. Ví dụ, trung bình của các số xuất hiện trong bộ ba số liên tiếp

$$72 = 6^2 + 6^2, 73 = 8^2 + 3^2, 74 = 7^2 + 5^2.$$

a) Giải thích tại sao các số liên tiếp không thể xuất hiện.

Chứng minh rằng trung bình cộng của các số có vô số 6) cặp, c*) bộ ba số liên tiếp.

L. D. Kurlyandchik

M815*. Có $4k$ điểm được đặt trên vòng tròn, được đánh số theo thứ tự ngẫu nhiên với các số 1, 2, …, $4k$.

a) Chứng minh rằng các điểm này có thể nối $2k$ bằng các đoạn rời nhau theo từng cặp sao cho hiệu số ở hai đầu mỗi đoạn không vượt quá $3k-1$.