Leonard Euler

17

Leonard Euler

(nhân kỷ niệm 200 năm ngày mất của ông)

Ứng viên
khoa học vật lý và toán học
S. G. GINDIKIN

Di sản vĩ đại

Di sản khoa học của Euler gây ấn tượng ở những khía cạnh hoàn toàn không bị thách thức. Trong suốt cuộc đời của ông, 530 cuốn sách và bài báo của ông đã được xuất bản. Những năm cuối đời, các ấn phẩm học thuật không thể theo kịp dòng chảy sản xuất khoa học của nhà khoa học mù, ông đã tinh nghịch hứa với Bá tước V.N. Orlov rằng tác phẩm của ông sẽ tràn ngập “Bình luận” của Học viện trong 20 năm sau khi ông qua đời. Đánh giá này tỏ ra “lạc quan”: Viện hàn lâm đã xuất bản các tác phẩm của Euler trong 47 năm. Số lượng tác phẩm lên tới 771, nhưng thư mục do Enster biên soạn năm 1910 có 886 đầu sách, chia thành các đề mục: triết học, toán học, cơ học, thiên văn học, vật lý, địa lý, nông nghiệp. Từ năm 1910, Hiệp hội Khoa học Tự nhiên Thụy Sĩ đã xuất bản một bộ sưu tập các tác phẩm của Euler, được phân phối theo hình thức đăng ký quốc tế: theo ước tính sơ bộ, nó sẽ lên tới 75 tập lớn. Đến đầu những năm 80, 72 tập đã được xuất bản. Tám

Kết thúc. Sự khởi đầu là trong số trước.

2 «Kvant» № 11

các tập sách bổ sung sẽ bao gồm các thư từ khoa học của Euler.

Tập sách này không chỉ phản ánh tốc độ làm việc đáng kinh ngạc của Euler mà còn phản ánh thói quen in ấn một cách có hệ thống các văn bản khoa học, bao gồm cả những văn bản được chuẩn bị theo cách tương đối đặc biệt. Một loạt các chủ đề không chỉ phản ánh nhiều mối quan tâm và khả năng nhanh chóng tiếp cận khoa học sâu hơn mà còn phản ánh nhiều trách nhiệm học thuật ở cả St. Petersburg và Berlin. Một số ấn phẩm có tính chất là bản sao ngắn. Euler dễ dàng tham gia vào các mối quan hệ khoa học, đưa ra nhiều cuộc tư vấn khác nhau và sẵn sàng suy nghĩ về các vấn đề ngẫu nhiên, riêng lẻ được báo cáo bởi các phóng viên của ông. Có vẻ như nhà khoa học này đã sống rải rác, luôn thể hiện sự chú ý của mình, nhưng đây chỉ là cái nhìn đầu tiên. Nghe các câu hỏi và bài toán là mảnh đất màu mỡ cho những suy ngẫm có kế hoạch tốt. Euler biết cách ngăn chặn suy nghĩ của mình kịp thời nếu không nhìn thấy cơ hội thực tế để tiến về phía trước. Anh ấy biết cách tổ chức cuộc sống của mình để nhiều người

18

Các vấn đề thời sự bằng số không ảnh hưởng nhiều đến phương hướng công việc chính của ông.

Nghịch lý thay, có thể nói không quá cường điệu rằng Euler hầu như chỉ làm việc trong lĩnh vực toán học trong suốt cuộc đời mình. Trong các lĩnh vực khoa học khác (ví dụ, cơ học hoặc thiên văn học), nó sớm gắn liền với việc sử dụng các phương pháp toán học. Quan điểm triết học của ông, trong bối cảnh toàn bộ cuộc đời ông, là những khám phá tự nhiên phải đạt được thông qua quá trình xử lý lý thuyết (phần lớn là toán học) của một số ít các nguyên tắc chung, chắc chắn. Trong luận văn Thụy Sĩ của mình, Euler 19 tuổi viết: “Tôi không thấy cần thiết phải xác nhận lý thuyết mới này bằng thực nghiệm, bởi vì nó hoàn toàn bắt nguồn từ những nguyên lý cơ học đáng tin cậy và không thể bác bỏ nhất, và do đó, đơn giản là không thể nảy sinh nghi ngờ liệu nó có đúng hay không và liệu nó có chỗ đứng trong thực tế hay không”. Tiếp theo, Euler cố gắng rút ra các định luật Newton từ những nguyên tắc tổng quát hơn, và trong cơ học thiên thể, ông cố gắng không thu được các công thức thực nghiệm từ việc xử lý các kết quả quan sát, mà rút ra kết luận trực tiếp từ định luật vạn vật hấp dẫn. Theo quy định, ông chuyển từ lý thuyết sang thực hành. Mặc dù Euler suốt đời gắn liền với thực nghiệm nhưng đây không phải là điểm mạnh của ông. Viện sĩ S.I. Vavilov đã viết: “… Thiên tài của Euler về cơ bản là một thiên tài toán học… ông ấy hiểu biết rất kém về thí nghiệm (mặc dù ông ấy đã tự mình thử nghiệm) …”; ở chỗ khác: “Thiên tài toán học Euler thiếu trực giác vật lý của Newton và Huygen để đoán lời giải trong trường hợp không có công thức toán học chính xác bài toán hoặc các phương pháp cho nó lời giải.”

Không thể đề cập đến tất cả các khía cạnh trong hoạt động nhiều mặt của Ayer, chúng ta sẽ chỉ đi sâu vào các công trình số học của ông, trong đó những đặc điểm đặc trưng của ngành khoa học bận rộn của ông không được tiết lộ.

Trang trại tập sự

Những ấn phẩm đầu tiên của Euler về số học (lý thuyết số) có từ năm 1732, năm thứ năm ông ở St. Petersburg. Euler có hai tư tưởng vĩ đại về số học: Diophantus người Hy Lạp (thế kỷ thứ 3) và người Pháp P. Fermat (1601-1665). Euler bắt đầu bằng việc đề xuất và đưa ra bằng chứng cho những khẳng định của Fermat. Những cân nhắc của ông có tính hệ thống đến mức dường như đây là những sự chuẩn bị cho cuốn sách giáo khoa đầu tiên về số học cao cấp (không phải do ông viết).

Một bài báo năm 1732 xem xét câu hỏi về tính chia hết của “số Fermat” (nghĩa là các số có dạng $F_n = 2^{2n} + 1$, trong đó $n \in \mathbb{N}$) và “số Mersenne” (nghĩa là các số có dạng $M_p = 2^p - 1$, trong đó $p$ là số nguyên tố). Vô số câu hỏi liên quan đến những con số như vậy mà việc liệt kê trực tiếp không thể tiếp cận được ngay cả đối với một nhà tính toán điêu luyện như Euler.

Euler đã chứng minh rằng ước của các số $F_n$ và $M_p$ chỉ có thể có trọng số. Cái nhìn đặc biệt. Cụ thể, các ước của số $F_n$ có ​​dạng $k \cdot 2^{n+2} + 1$; Nhờ điều này, Euler phát hiện ra rằng $F_5$ chia hết cho $641 = 5 \cdot 2^7 + 1$, bác bỏ khẳng định của Fermat rằng mọi số $F_n$ đều là số nguyên tố. Ước của số $M_p$ phải là cả $2pk - 1$ và $8l \pm 1$. Nhờ điều này, Euler đã chứng minh được tính nguyên tố của số $M_{32} = 2147483647$. Kể từ đó, không có số nguyên tố Fermat nào được phát hiện và các kỷ lục trong thế giới về số nguyên tố Mersenne không ngừng được cải thiện (kỷ lục năm 1983 đạt được là $p = 86243$). Về số Mersenne, Euler cũng lấp đầy khoảng trống mà Euclid để lại. Euclid biết rằng nếu $M_p$ là số nguyên tố thì $M_p \times (M_p + 1)/2$ là số hoàn hảo (nghĩa là một số bằng tổng các ước của chính nó). Euler đã chứng minh rằng mọi số hoàn hảo chẵn đều có thể được biểu diễn dưới dạng này (vẫn chưa biết liệu số hoàn hảo lẻ có tồn tại hay không).

Euler quan tâm đến việc liệu có đa thức $P(n)$ lấy giá trị nguyên tố cho tất cả $n \in \mathbb{N}$ hay không. Anh ấy trở nên tiêu cực

20

nếu biểu diễn của $n$ dưới dạng tổng các bình phương tồn tại và là duy nhất thì $n$ là số nguyên tố. Ông chỉ ra rằng tính chất này đôi khi có thể được sử dụng để chứng minh tính nguyên tố của $n$: ví dụ: số 1.000.009 là hợp số vì cùng với biểu diễn $1000^2+3^2$ còn có biểu diễn $235^2+972^2$.

Euler quan tâm đến tính đơn giản của các số cho phép biểu diễn duy nhất dưới dạng $x^2+2y^2, x^2+3y^2$ và nói chung là $x^2+Dy^2$ (D là một số nguyên cố định). Anh ấy chứng minh tính đơn giản của chúng cho $D \leq 10$, nhưng với $D=11$ anh ấy phát hiện ra một hợp số thừa nhận một cách biểu diễn duy nhất như vậy. Tình huống này khiến Euler tò mò. Nó được gọi là $D$ thuận tiện nếu chỉ các số nguyên tố có thể được biểu diễn dưới dạng $x^2+Dy^2$ một cách duy nhất. Euler nhận được một tiêu chí để kiểm tra sự tiện lợi của các con số, và với sự tò mò, ông đã viết ra các con số thuận tiện lần lượt; sau 10 đến 12, 13, 15, 16, 18, 21, 22, 24…
Dần dần, những con số tiện lợi ngày càng trở nên ít phổ biến hơn. Trong đợt đầu tiên có 62 chiếc, nhưng Euler vẫn bướng bỉnh tiếp tục tính toán của mình, tự tin hy vọng nhận thấy một mẫu. Anh ta chỉ tìm thấy ba con số thuận tiện hơn: 1320, 1365, 1848, mặc dù không mất kiên nhẫn, anh ta đã xem qua tất cả các số lên tới 10.000 và xa hơn một chút. Euler có mọi lý do để đưa ra giả thuyết rằng tập hợp các số tiện lợi được giới hạn ở 65 số mà ông tìm được. Gauss làm cho nhận xét của Euler chính xác hơn, nhưng không tìm ra những con số thuận tiện mới. Tính hữu hạn của tập hợp số thuận tiện hiện đã được chứng minh, nhưng vẫn chưa biết liệu có số thuận tiện nào lớn hơn 1848 hay không.

Việc tìm kiếm này rất đặc trưng cho phương pháp sáng tạo của Euler, nó tiếp tục công việc tính toán thử nghiệm khổng lồ để kiểm tra các giả thuyết và tăng cường các mô hình mới. Xin thưa rằng trong số các nhà toán học vĩ đại chỉ có Gauss là thành thạo phương pháp quy nạp này.

Với điều này, chúng ta sẽ kết thúc việc xem xét khía cạnh đó của hoạt động số học của Euler, trong đó ông đã nhất quán

Bức phù điêu thạch cao của L. Euler của D. Rachette (1781)

telefarm. Không có bất kỳ khoảng trống nào, ông đã phác thảo các đường nét của số học mới, các vấn đề của nó, cẩn thận tìm ra các phương tiện kỹ thuật của nó, mặc dù ông không thể chứng minh mọi thứ, để lại điều này cho rất nhiều người theo ông vĩ đại là Lagrange, Legendre, Gauss.

Lý thuyết số phân tích

Lý thuyết số nợ Euler một ý tưởng mà đã sớm thay đổi hoàn toàn diện mạo của nó. Chúng ta đang nói về việc sử dụng phân tích toán học trong số học. Thật khó để tưởng tượng một khả năng như vậy. Lúc đầu, cô ấy làm chính Euler ngạc nhiên: “Và mặc dù ở đây chúng ta đang xem xét bản chất của các số nguyên, thứ mà Phép tính Beskono-Malch dường như không thể áp dụng được, tuy nhiên, tôi đã đi đến kết luận của mình nhờ sự trợ giúp của vi phân và các thủ thuật khác”.

Euler với các s khác nhau xét tổng của một chuỗi vô hạn

$$\zeta(s) = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \dots + \frac{1}{n^s} + \dots$$

(sau này $\zeta(s)$ được gọi là hàm Riemann zeta - nó đóng một vai trò đặc biệt trong số học). Hãy để Euler chứng minh bằng lý luận đơn giản rằng tổng vô hạn này trùng với tích vô hạn

21

giới thiệu về số nguyên tố

$$\left(1 - \frac{1}{2^s}\right)^{-1} \left(1 - \frac{1}{3^s}\right)^{-1} \dots \left(1 - \frac{1}{p^s}\right)^{-1} \dots$$

Euler cảm thấy rằng những cân nhắc này chỉ dẫn đến các kết quả số học phía máy chủ, nhưng bản thân ông chỉ có thể trình bày trên con đường này một bằng chứng mới về định lý có từ thời Euclid về sự vô hạn của tập hợp số nguyên tố! Có thể thấy rằng ngọn núi đã sinh ra một con chuột nhưng lại suýt đánh lừa Euler. Điều này trở nên rõ ràng khi, vào cuối thế kỷ này, Dirichlet, bắt đầu chính xác từ chứng minh của người kế nhiệm Euler, đã chứng minh sự vô hạn của số nguyên tố trong chương trình số học $a + dn$ với nguyên tố cùng nhau $a$ và $d$ (một dạng tổng quát hóa của định lý Euclid).

Euler tiết lộ một bí mật khác trong thế giới số nguyên tố. Khả năng phân tích vượt xa khả năng kỹ thuật của anh ấy, cho thấy rằng tổng trên các số nguyên tố $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{p}$ đối với $p$ lớn gần bằng $\ln \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{p-1} + \frac{1}{p}\right)$ và đây là bước đầu tiên để đạt được quy luật phân bố các số nguyên tố trong chuỗi tự nhiên.

Euler cảm thấy rằng hàm $\zeta(s)$ có thể được mở rộng ngay cả với các giá trị của $s$ mà nó không thể được định nghĩa là tổng của một chuỗi. Hơn nữa, nó thay thế mối quan hệ giữa các giá trị của $\zeta$ tại các điểm $s$ và $1-s$ (điều mà sau này được Rome xây dựng dưới dạng phương trình hàm znamenny). Euler khám phá các giá trị của $\zeta(s)$ tại các điểm nguyên. Chúng ta sẽ thảo luận bên dưới về cách anh ấy xử lý các đối số ngẫu nhiên và anh ấy dự định áp dụng tính đối xứng giữa các giá trị của $\zeta$ tại các điểm $s$ và $1-s$ để nghiên cứu $\zeta$ tại các điểm lẻ, nhưng đã thất bại, tiết lộ rằng tại các điểm đặc biệt, $\zeta$ mở rộng bằng 0. Lưu ý rằng người ta chỉ biết đến phép cộng số học của số $\zeta(3)$ trong những năm rất gần đây.

Euler có quyền xuất bản và tin tưởng các tuyên bố chưa được chứng minh đã vượt qua thử nghiệm thử nghiệm phía máy chủ và nhận được xác nhận có thể kiểm chứng.

22

Nyaya. Ông hiểu rằng trong hoàn cảnh đương thời của mình, toán học sẽ thiệt thòi rất nhiều nếu nó tuân thủ nghiêm ngặt các quy luật đóng góp cho việc xác lập chân lý.

Lý thuyết số cộng

Vấn đề biểu diễn số của các số tự nhiên dưới dạng tổng các số hạng có tính chất nhất định (như Euler đã nói, câu hỏi về “sự phân chia các số”) phải là trọng tâm chú ý của ông. Có lẽ nguồn cảm hứng ban đầu cho nhiệm vụ này nằm trong một bức thư gửi cho Node, người mà họ của anh chẳng có ý nghĩa gì đối với người đương thời của chúng ta. Euler đã áp dụng bộ máy tích vô hạn cho những bài toán này. Dưới đây là một số ví dụ. Euler chứng tỏ rằng

$$\begin{align*} (1+x)(1+x^2)(1+x^3) &\dots = \frac{1}{(1-x)(1-x^3)(1-x^5)}. \end{align*}$$

Lý do là nếu bạn nhân vế trái của dãy với 1−x, 1−x^3, 1−x^5, …, thì tất cả các lũy thừa khác 0 sẽ dần dần biến mất và điều này có nghĩa là đồng nhất thức (lý luận này có thể được thực hiện chặt chẽ bằng cách sử dụng lý thuyết giới hạn). Sau khi mở dấu ngoặc ở phía bên trái, chúng ta nhận được chuỗi 1+a₁x+a₂x²+a₃x³+…, trong đó aₖ là số biểu thị k dưới dạng tổng của các số hạng tự nhiên khác nhau. Vế phải, sử dụng tổng của cấp số nhân vô hạn, được viết dưới dạng

$$\begin{align*} (1+x+x^2+x^3+...) (1+x^3+x^6+x^9+...) \times (1+x^5+x^{10}+x^{15}+...) \cdot ... \end{align*}$$

từ đó chúng ta lại thu được chuỗi 1+b₁x+b₂x²+b₃x³+…, trong đó bₖ là số biểu thị k dưới dạng tổng các số hạng lẻ, trong đó có thể có các số hạng giống hệt nhau (tại sao?). Euler kết luận rằng số biểu diễn a_k=b_k trùng khớp. Hãy thử chứng minh sự trùng hợp này không được biểu diễn và bạn sẽ thấy rằng nó không thể thấy được nó giống với bài toán này như thế nào.

Lý do sau đây xuất phát từ quan điểm

$$\begin{align*} (1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8) &\dots = \frac{1}{1+x+x^2+x^3+...} \\ = 1+x+x^2+x^3+... \end{align*}$$

(để xác minh tính hợp lý của nó, bạn có thể nhân cả hai vế với 1 − x và quan sát các lũy thừa phi Lu của x luôn biến mất ở cả hai vế như thế nào). Từ đó, ngay lập tức mỗi số được biểu diễn theo một và chỉ một cách dưới dạng tổng các lũy thừa khác nhau của hai (các số biểu diễn như vậy là các hệ số trong chuỗi lũy thừa thu được sau khi biến đổi tích bên trái).

Nhiệm vụ phân chia chúng được thực hiện bằng phép tính số học của Dufant và Fermat, không chỉ về mặt phương pháp mà còn về mặt cài đặt. Họ đã làm quen với khoa học của lĩnh vực mới ARIFmetics - lý thuyết số cộng, vẫn đang phát triển cho đến ngày nay.

Nói ngắn gọn về các tác phẩm khác

Trong toán học, Euler chủ yếu là một nhà phân tích. Một phần quan trọng trong cuộc đời ông được dành cho việc tạo ra một khóa học (dấu hiệu học) có hệ thống về phân tích toán học. Euler là người đầu tiên nghiên cứu khái niệm tổng quát của một hàm được xác định bởi một đường cong tùy ý (đồ thị), và ông kết nối khái niệm tổng quát của hàm với bài toán về số chuỗi. Euler đã làm rất nhiều việc trong việc xem xét các lớp hàm đặc biệt quan trọng đối với các ứng dụng. Đây là hàm Γ nổi tiếng, nhận các giá trị n! tại điểm n của chuỗi tự nhiên, nó song sinh với hàm B (tích phân Euler), hàm trụ và hàm elip. Euler đã tiến hành các xem xét phân tích một cách có hệ thống trong một phức của một lĩnh vực, phát hiện ra mối liên hệ thay thế giữa hàm mũ phức và hàm lượng giác. Việc nghiên cứu hình học của ông rời rạc hơn. Chúng chủ yếu liên quan đến các vấn đề liên quan đến bản đồ học hoặc ứng dụng phân tích trong hình học (bắt đầu bằng hình học vi phân). Nhưng chúng ta cũng có thể nhớ lại ý nghĩa của công thức Euler dành cho khối đa diện: B+Γ=P+2, trong đó B là số đỉnh, Γ là số mặt, P là số cạnh, cũng như bài toán về bảy vị trí Könggerg, trong đó Euler đã cảm nhận chính xác các vấn đề của hình học mới (các nhà tôpô).