Леонард Эйлер

17

Леонард Эйлер

(к 200-летию со дня смерти)

Кандидат
физико-mатематических наук
С. Г. ГИНДИКИН

Великое наследие

Научное наследие Эйлера поражает совершенню беспреследенными размерами. При жизни увидели свет его 530 книг и статей. Последние годы жизни академические издания не справлялись с потоком научной продукции слепого ученого, и он шутливо обещал графу В. Н. Орлову, что его работы будут заполять «Комментарии» Академии в течение 20 лет после его смерти. Эта оценка оказалась «оптимистической»: Академия занималась изданием трудов Эйлера 47 лет. Число работ дошло до 771, но составлена в 1910 г. Энстером библиография содержала 886 названия, разбитых по рубрикам: философия, математика, механика, астрономия, физика, география, сельское хозяйство. С 1910 г. Швейцарское общество естественно-спытательней издает собрание сочений Эйлера, распространяется по международной подписке: по предварительной оценке оно составит 75 томов большого объема. К началу 80-х годов вышло 72 тома. Восемь

Окончание. Начало — в предыдущем номере.

2 «Квант» № 11

дополнительных томов должна составить научная переписка Эйлера.

Такой объем отражает не только поразительную скорость, с которой работал Эйлер, но и привчку систематических печать научные тексты, в том числе и сравнительно специно подготовленные. Большой разброс тематики отражает не только широку интересов и умение быстро войти в дальнейшее научки, но и многочисленные академические обязаности как в Петербурге, так и в Берлине. Некоторые публикации носят характер коротких реплик. Эйлер легко входил в научные контакты, давал разнообразные консуЛЬТАции, охотно думал над случайными, изолированными задачами, сообщаемыми его корреспондентами. может показаться, что ученый разбрасывался, проявлял всегданость, но это только на первый взгляд. Слушанные вопросы и задачи служили питательной почвой для хорошо спланированных размышлений. Эйлер умел своевременно останавливаться в своих раздумых, если не видел реалистической возможность дивигаться вперед. Он умел организовать свою жизнь так, чтобы много-

18

численные текущие дела не сильно отражались на основном направлении его работы.

Как это ни парадоксально, без большого преувеличения можно сказать, что всю свою жизнь Эйлер занимался почти исключительно математикой. В других областях науки (например, механике или астрономии) успел его был преждевременно связан с применением математических методов. Его философская установка на противении всей его жизни состояла в том, что естественно-начальные открытия должны получаться путем теоретической (в значительной степени математической) обработки небольшого числа общих, несомненных принципов. В своей швейцарской диссертации девятнадцатилетний Эйлер пишет: «Я не считал необходимым подтвердить эту новую теорию опитом, потому что она полностью выведена из самых надежных и неопровержимых принципов механики и, таким образом, сомнение в том, верна ли она и имеет ли место в практике, просто не может возникнуть». Далее законы Ньютона Эйлер пытается вывести из более общих принципов, а в небесной механике он стремится не получать эмпирические формулы из обработки результатов наблюдений, а делать выводы непосредственного из закона всемирного тяготения. Как правило, он движался от теории к практике. Хотя Эйлер и был всю жизнь связан с экспериментом, это не было его сильно стороны. Академик С. И. Вавилов писал: «…гений Эйлер был, по существу, математический… он плохочевовал эксперимент (хотя сам и экспериментировал)…»; в другом месте: «Математический генius Эйлер не хватало физической интуицини Ньютона и Гюйгена, позволяющей угадать решение при отсутствии точной математической формулировки задачи или методов ее решения».

Не имея возможности осветь все стороны многогранной деятельности Эйера, мы подробно остановимся лишь на его арифметических работах, в которых отсутствив проявились характеристики особенности его занятый научкой.

Ученик Ферма

Первые публикации Эйлера по арифметике (теории чисел) относятся к 1732 году — пятому году превывания в Петербурге. У Эйлера было два великих представления в арифметике: грек Диофант (III век) и француз П. Ферма (1601—1665). Эйлер начинает с того, что prodумывал и снабжет доказательствами утверждения Ферма. Его рассмотрения столб системичны, что кажется, что это заготавки к первому учебнику вышей арифметики (который не был им написан).

В работе 1732 г. исследуется вопрос о делимости «чисел Ферма» (то есть чисел вида $F_n = 2^{2n} + 1$, где $n \in \mathbb{N}$) и «чисел Мерсенна» (то есть чисел вида $M_p = 2^p - 1$, где $p$ — простое). Няяные вопросы относятся к столбом числам этого вида, что прямой перебор был недоступен даже такому виртуозному вычислительной, как Эйлер.

Эйлер доказал, что делители чисел $F_n$ и $M_p$ могут иметь лишь весы. Специальный вид. Именно, делители числа $F_n$ имеют вид $k \cdot 2^{n+2} + 1$; благодаря этому, Эйлер обнаружил, что $F_5$ делится на $641 = 5 \cdot 2^7 + 1$, опровергив утверждение Ферма о простоте всех чисел $F_n$. Делители числа $M_p$ должны одновременно иметь вид $2pk - 1$ и $8l \pm 1$. Полезная этим, Эйлер доказал простоту числа $M_{32} = 2147483647$. С тех пор простых чисел Ферма не было обнаружено, а рекорды в мире простых чисел Мерсенна постояно улушаются (рекорд 1983 г. получается при $p = 86243$). В отношении чисел Мерсенна Эйлер заполнил также пробел, оставшийся от Евклида. Евклид знал, что если $M_p$ — простое число, то $M_p \times (M_p + 1)/2$ — совершенное число (то есть число, равное сумме своих собственных делителей). Эйлер доказал, что каждое четное совершенное число представимо в таком виде (не известно до сих пор, существуют ли нечетные совершенные числа).

Эйлер интересует, существуют ли многочлены $P(n)$, которые при всех $n \in \mathbb{N}$ принимают простые значения. Он получает отрицательный

20

если представление $n$ в виде суммы квадратов существует и единственно, то $n$ — простое число. Он показывает, что этим свойством иногда можно пользоваться для доказательства простоты $n$: например, число 1 000 009 — составное, поскольку наряду с представлением $1000^2+3^2$ имеется представление $235^2+972^2$.

Эйлер занимается простотой чисел, допускающих единственное представление в виде $x^2+2y^2, x^2+3y^2$ и, вообще, $x^2+Dy^2$ (D — фиксированное целое число). Он доказывает их простоту для $D \leq 10$, но при $D=11$ обнаруживает составное число, допускающее единственное такое представление. Ситуация заинтриговала Эйлер. Он назывался $D$ удобным, если в виде $x^2+Dy^2$ единственным образом представляется лишь простые числа. Эйлер получил критерий, позволяющий проверять удобство чисел, и с любопытством выписывает удобные числа одно за другим; после 10 идут 12, 13, 15, 16, 18, 21, 22, 24 …
Постепенно удобные числа встречаются все реже. В первой тисче их набрались 62, но Эйлер упорно продолжает вычисления, верятно надёсь подметить закономерность. Он обнаружил еще только три удобных числа: 1320, 1365, 1848, хотя, не теряя терпения, он перебрал все числа до 10 000 и несколько дальше. Эйлер имел все основания высказать гипотезу, что совокупность удобных чисел ограничивается найdenными им 65 числами. Гаусс сделал рассмотрения Эйлера более корректными, но новых удобных чисел не нашел. Сейчас доказана конечность множества удобных чисел, но не известно, существуют ли удобные числа, больше 1848.

Этот поиск очень характерен для творческого метода Эйлер, продолжшего огромную экспериментальную вычислительную работу как для проверки гипотез, так и с целью увеличить новые закономерности. Из великих математиков, пожалуйста, лишь Гаусс также владел эти имдуктивным методом.

На этом мы кончим обзор той стороны арифметической деятельности Эйлер, в котором он был последова-

Гипсовый барельф Л. Эйлер работы Д. Рашетта (1781 е.)

телем Ферма. Он без пробелов выделил контуры новой арифметики, ее проблематику, тщательно проработал ее технические средства, хотя и не все смог доказать, оставив это на долю своих великих последователей Лагранжа, Лежандра, Гаусса.

Аналитическая теория чисел

Теория чисел обязана Эйлер идеей, которая вскоре совершенню изменила ее лицо. Речь идет о применении в арифметике математического анализа. Трудно было представить такую возможность. Поначалу она удивила самого Эйлер: «И хотя мы здесь рассматриваем природу целых чисел, к которой Исчисление Бесконо Мальх какется неприложимым, тем не менее, я пришел к своему заключению с помощью дифференцирования и других уловок».

Эйлер для разных s рассматривает сумму бесконечного ряда

$$\zeta(s) = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \dots + \frac{1}{n^s} + \dots$$

(позднее $\zeta(s)$ называют дзета-функцией Римана — она играет в арифметике исключительной роль). Пусть нетрогого рассудения Эйлер доказывает, что эта бесконечная сумма совпадает с бесконечным произ-

21

введением по простым числам

$$\left(1 - \frac{1}{2^s}\right)^{-1} \left(1 - \frac{1}{3^s}\right)^{-1} \dots \left(1 - \frac{1}{p^s}\right)^{-1} \dots$$

Эйлер чувствует, что эти рассмотрения ведут к исключительно серверным арифметическим результатам, но сам может предъявить на этом пути лишь новое доказательство восходяшей еще к Евклиду теоремы о бесконечности множества простых чисел! Можно показать, что гора родила мышь, но чуть не обманную Эйлера. Это стало ясно, когда в конце прошло века Дирихле, отправляясь именно от наместного Эйлером доказательства, доказал бесконечность числа простых чисел в арифметической програмсии $a + dn$ с взаимно простыми $a$ и $d$ (обобщение теоремы Евклида).

Эйлер приоткрывает еще одну тайну в мире простых чисел. Его анализческое учтение, сильно опережащее его технические возможности, подсказывает, что сумма по простим числам $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{p}$ при больших $p$ близка к $\ln \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{p-1} + \frac{1}{p}\right)$, а это первый шаг в получении закона распределения простых чисел в натуральном ряду.

Эйлер чувствует, что функцию $\zeta(s)$ можно продолжить даже на те значения $s$, для которых ее нельзя определить как сумму ряда. Более того, он заменяет связь между значениями $\zeta$ в точках $s$ и $1-s$ (то, что позднее было формулировано Римом в виде знаменного функциониального уравнения). Эйлер исследует значения $\zeta(s)$ в целых точках. Мы рассекем ниже, как он разобрался со случайным аргументов, а симметрию между значениями $\zeta$ в точках $s$ и $1-s$ он расчитвал применить к исследованию $\zeta$ в нечетных точках, но потерпел неудачу, появ, что в отличительных точках продолженная $\zeta$ равна нулю. Отметим, что об арифметической приодаже числа $\zeta(3)$ стало кое-что известно лишь в самые последние годы.

Эйлер береется за право публикации и доверия к недоказанным утверждениям, прошедшим серверную экспериментальную проверку и получившим ковренные подтверждения.

22

Няя. Он понмает, что в современной ему ситуации математика потеряет многое, если жестко придерживается вкладовых правил установления истинны.

Адитивная теория чисел

Задание о числе представления натуральных чисел в виде сумм слагаемых неокторой природы (как говорил Эйлер, задан о «разбении чисел») должно быть в центре его внимание. Возможно, первоначальный толок для задания, содержащиеся в письме Ноде, фамилия которого ничего не говорит нашему современнику. К этим заданием Эйлер применил аппарат бесконечных произведения. Вот несколько примеров. Эйлер показывает, что

$$\begin{align*} (1+x)(1+x^2)(1+x^3) &\dots = \frac{1}{(1-x)(1-x^3)(1-x^5)}. \end{align*}$$

Рассужждение состоит в том, что если умножать левую часть последовательности на 1−x, 1−x^3, 1−x^5, …, то постепенно будет исчезать все ненулевые степени, а это и означает тожество (это рассужение можно сделать строгим при помощи теории пределов). После раскрытия скобок в левой части получается ряд 1+a₁x+a₂x²+a₃x³+…, где aₖ — число представления k в виде суммы различных натуральных слагаемых. Правая часть при помощи суммы бесконечной геометрической прогрессии записьается в виде

$$\begin{align*} (1+x+x^2+x^3+...) (1+x^3+x^6+x^9+...) \times (1+x^5+x^{10}+x^{15}+...) \cdot ... \end{align*}$$

откуда вновь получается ряд 1+b₁x+b₂x²+b₃x³+…, где bₖ — число представления k в виде суммы нечетных слагаемых, среди которых могут быть одинаковые (почему?). Эйлер делает вывод о совпадении числа представления a_k=b_k. Попробуйте доказать это совпадение непредставенно и вы убедитесь, что не видно, как подобит к этой задаче.

Следующое рассужение исходит из точекства

$$\begin{align*} (1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8) &\dots = \frac{1}{1+x+x^2+x^3+...} \\ = 1+x+x^2+x^3+... \end{align*}$$

(чтобы убедиться в его праводоподобии, можно умножить обе части на 1−x и проследить, как последовательно исчезают нелуевые степени x в обенных частях). Из него сразу следует, что каждое число одним и только один способ представляется в виде суммы различных степеней двойки (числа таких представлений — коэффициенты в степени ряду, полученном после преобразования левого произведения).

Задание о разбениих отходили отарифметики Дюфанта и Ферма не только по методам, но и по постановкам. Они ознакомлены наcology новей областиARIФметики — additивной теории чисел, которая развивается и в нашей дни.

Коротко о других работах

В математике Эйлер был прежде всего анализом. Значительная часть его жизни была подчинена созданию систематического (семитного) курса математического анализа. Эйлер первым работал с общим понятием функции, задаваемой произвольной кривой (графиком), причем он связывает общее понятие функции с задачей о количестве струны. Много сделал Эйлер в рассмотрении специальных классов функций, важных для приложений. Здесь знаменитая Γ-функция, принимающая в точке n натурального ряда значения n!, ее двойник В-функция (эйлеровы интегралы), цилиндрические и эллиптические функции. Эйлер систематически вел анализические рассмотрения в комплексе одной области, обнаружив заменательную связь между комплексной показательной функцией и тригонометрических функций. Его занятие геометрией были более эпизодичными. В основном они относятся к задачам, связанным с картографией, или к применением анализа в геометрии (начаими дифференциальной геометрии). Но можно также вспомнить и о значении формуле Эйлера для многогранников: B+Γ=P+2, где B — число вершин, Γ — число граней, P — число ребер, а также о задаче о семи кенггергских местах, в которой Эйлер правильно почувствовал проблемы новой геометрии (топологи).