Задачи М831—М835; Ф843—Ф847

36

Задчи

M831—M835; Ф843—Ф847

M831. Пусть $P$ и $Q$ — середины сторона $AB$ и $CD$ четырехугольника $ABCD$, $M$ и $N$ — середины диагоналей $AC$ и $BD$. Докажите, что если прямы $MN$ и $PQ$ перпендикулярны, то $|BC| = |AD|$.

B. B. Прасолов

M832. a) Докажите, что для любого натурального $n > 6$ квадрат можно разрезать на $n$ квадратов (среди которых могут быть и квадраты одинакового размера).

6. Докажите, что для любого натурального $n > 100$ куб можно разрезать на $n$ кубов.

B. A. Ли

M833*. Последовательность $x_n$ задается условиями:

$$x_1 = 2; \quad x_{n+1} = \frac{2+x_n}{1-2x_n} \quad (n=1, 2, 3, \dots).$$

Докажите, что a) $x_n \neq 0$ (при всех $n$);

6. эта последовательность неперiodическая.

B. Э. Матизен

M834. Оросительная установка, расположенная в точке $O$, обслуживает круг радиуса 100 м с центром $O$. Таким установками нужно полностью орошать квадратное поле 1 км×1 км.

a) Бригадир предположить 64 установки в вершинах квадратной сетки со стороны, параллельными краям поля (рис. 1). В каких пределах может меняться сторона $a$ квадратной сетки?

6. Восьмиклассник Витя утверждает, что можно оросить поле с помощью лишь 46 таких установок. Прав ли Витя?

H. B. Васильев

M835*. На однокруговый шахматный турир приехало $n$ шахматистов из страны $A$ и $n$ шахматистов из страны $B$. Оказалось, что как бы ни разбит шахматистов на пары (чтобы друг с другом играли шахматные разницы стран), найдется хотя бы одна пара шахматистов, которые уже встречались ранее друг с другой. Докажите, что можно выбрать $a$ шахматистов из страны $A$ и $b$ шахматистов из страны $B$ так, что каждый из выбранных $a$

37

шахматистов встречался с каждым из выбранных $b$ шахматистов, а $a+b>n$.

Л. Д. Менихес

Ф843. Колесо радиуса $R$, расположенное на высоте $H$ над землей, врашается с угловой скоростью $\omega$. С колеса сывается капля и падает на землю в точке $B$ под центром колеса (рис. 2.). Найти время падения капли и точку $A$ колеса, в которой капля отрывается.

А. Н. Григоренко

Ф844. В сосуд, наполненный смесью жидкости, плотность которого изменяется с глубиной по закону $\rho = \rho_0 + ah$, опускают тело массы $m$ и объема $V$. Тело целиком погружается в жидкость. На какой глубине оно оказывается, если имеет форму куба? шара?

Л. Г. Маркович

Ф845. Внутрь камеры автоматного колеса радиуса $R$ попал небольшой камешек. При какой минимальной скорости автоматная камешек будет врашаться вместе с колесом, если коэффициент трения камешка о камеру равен $\mu$?

А. В. Левин

Ф846. Почему мощные двигатели постоянного тока следует включать через пусковой реостат?

А. В. Кубышкин

Ф847*. В объемный пучок положительных носов, имеющий круглое сечение, в точке $A$ влетает электрон, скорость которого параллельна оси симметрины пучка (рис. 3). Объемная плотность зарядов в пучке равна $\rho$, длина пучка $l$ (длина пучка много больше его радиуса). При каких значениях скорости электрона он вылетит из пучка в точке $B$? Столковенная электрона с номами не учитывать.

О. В. Фатьянов

Problems

M831—M835; P843—P847

M831. Suppose $P$ and $Q$ are the midpoints of sides $AB$ and $CD$ of the quadrilateral $ABCD$, $M$ and $N$ — those of the diagonals $AC$ and $BD$. Prove that if the lines $MN$ and $PQ$ are perpendicular, then $|BC| = |AD|$.

V. V. Prasolov

M832. a) Prove that for any natural $n>6$ a square can be cut up into $n$ smaller squares (among which some may be congruent).

b) Prove that for any natural $n>100$ the cube may be cut up into $n$ smaller cubes.

V. A. Li