XVII Всесоюзная олимпиада по математике

46

ХVII Всесоюзная олимпида по математике

Кандидат физико-математических наук
С. В. РЕЗНИЧЕНКО,
кандидат физико-математических наук
А. М. СЛИНЬКО

С 13 по 20 апреля в Кишиневе проводился заключительный этап XVII Всесоюзной олимпиды школьников по математике. В нем приняли участие 146 школьников (42 восемиклассника, 51 девятиклассника) — победители ресурсиканских олимпиды, победители Московской и Ленинградской городских олимпиды и школьники, отмеченные на предыдушей Всесоюзной олимпиде дипломами I и II степени. Стоила Советской Молдавии во второй раз удостоллась этой части. Быстро летит время. Каждый, ещесовсем недавно Кишинев принял заключительный этап XVII Всесоюзной математической олимпиды, а сегодня два ее победителя — С. В. Конягиин и Е. И. Хухро — приехали в Кишинев уже в качестве членов жюри.

13 апреля, в день заезда, участником олимпиды были показаны документы фильмы, рассказывающие об истории, культуры и экономике Молдавии. При регистрации каждой участника вручалась памятная папка с программой заключительного этапа олимпиды, пригласным билетом на торжественное открытие, программой раздичного концертта, памятными знаками и молдавскими сувернирами.

14 апреля участники олимпиды возложили цветы к памятнику В. И. Ленину и Мемориалу Славы. А затем во Дворце культуры проф- союзов состояния торговенное открытие. С темыми словами привствия к участникам олимпиды обращаются министр просвещения Молдавской СССР Д. Г. Зиду. Успешного выступления, интересной, творческой работы, чистой борьбы пожелали ребятам секретарь ЦК ЛКСМ Молдавии Е. М. Бейко, председатель жюри академ. АН УССР Б. В. Гнеденко и зам. председателя жюри чл.-корр. АПН СССР В. Д. Белоусов. Приступление единодушно приняли решение отправить Почетному Председателю жюри олимпиды академ. А. Н. Колмогорову, которое в эти дни исполнилось 80 лет, привственную телефонму.

Задания заключительного этапа олимпиды участники писали 15 и 16 апреля. Задание каждой из двух дней состоит из четырех задач, на решение которых отводилось по пять часов.

Ниже приводятся условия всех задач. Некоторые из этих задач включают в Задачник «Кванта» («Квант» №№ 9, 10; номер, под которым там помещена задача, указаан после условия задачи), их решения читатели смогут найти в последующих номерах жюрнала.

Задания

Первый день
8 класс

1. В сетке, изображенной на рисунке 1, каждой ячейка имеет размер 1×1. Можно ли эту сетку представить в виде объединения следующих множества: a) восеми ломаных, каждой из которых имеет длину 5; b) пяты ломаных, каждой из которых имеет длину 8? (М824).

Рис. 1.

2. На доске написали три целых числа. Затем одно из них стерли и вместе него написали сумму двух других оставшихся чисел, уменьшенную на единицу. Эти операции повторили несколько раз в результате получа-

47

чили числа 17, 1967, 1983. Могли ли на доске первоначально быть записаны числа: a) 2, 2, 2; б) 3, 3, 3? (M826).

3. Три круга попарно касались друг друга внешним образом в точках X, Y, Z. Затем радиусы этих кругов увеличили более, чем в $\frac{2}{\sqrt{3}}$ раз, сохранив центры. Доказите, что каждая точка треугольника XYZ оказалась на крытой хотя бы одним из увеличенных кругов.

4. Данные несколько различных натуральных чисел, заключенных между квадратами двух последовательных натуральных чисел. Доказите, что все их попарные произведения также различны.

9 класс

1. Найдите все решения системы уравнений
   $$\begin{cases} y^2 = x^3 - 3x^2 + 2x \\ x^2 = y^3 - 3y^2 + 2y \end{cases}$$

2. Натуральное число $K$ в десятичной записи имеет $n$ знаков. Это число округлили с точностью до десятиков, затем последнюю цифру нулем и увеличив на единицу число десятиков, если эта последняя цифра была больше четырех. Полученное число аналогичным образом округлили с точностью до сотен и так далее. В результате последнего, $(n-1)$-го округления получилось $\tilde{K}$. Доказите, что $\tilde{K} < \frac{18}{13} K$.

3. В треугольнике $ABC$ точка $D$ является серединой стороны $AB$, точки $E$ и $F$ лежат на отрезках $AC$ и $BC$ соответственно. Доказите, что площадь треугольника $DEF$ не превыходит суммы площадей треугольников $ADE$ и $BDF$.

4. Будут ли периодически последовательности $(a_n)$ и $(\beta_n)$, состоящие, соответственно, из последних цифр целых чисел $[(\sqrt{10})^n]$ и $[(\sqrt{2})^n]$? (Здесяв $[x]$ — целая часть числа $x$).

10 класс

1. Величины $\alpha$ и $\beta$ двух острых углов удовлетворяют равенству $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta = \sin (\alpha + \beta)$. Доказите, что $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}$.

2. Задча № 2 для 9 класса.

3. Вершины tetraэдра $ABCD$ ортогонально спроектированы на две плоскости. Точки $A_1, B_1, C_1, D_1$ и $A_2, B_2, C_2, D_2$ — проекции соответствующих вершин. Доказите, что одну из плоскостей можно переместить в пространстве так, чтобы прямые $A_1A_2, B_1B_2, C_1C_2, D_1D_2$ стали параллельными.

4. Школьник упражняется в решении квадратных уравнений. Решив очередное квадратное уравнение и убедившись в том, что у него имеет два корня, он составляет следующие уравнения по правилам: свободный член равен большему корню, коэффициент при переменной $x$ равен меньшему корню, коэффициент при $x^2$ равен единице. Доказите, что это упражнение не может продолжаться бесконечно долго. Каково наиболее число уравнений, которое ему, возможно, придает решить? (M830)

Ребята довольно успешно справились с задачами, предложенными в первый день. Набольшие трудности, как и ожидалось, вызвали задачи

8.3, 8.4, 9.4, 10.3 и 10.4. Особенно трудной оказалась задача 8.4; полностью ее сумм решить лишь один участник и еще трое участников решили ее с небольшими недочетами. Неожиданное трудной оказалась задача 9.1. Однако ни в одном из классов не было задачи, которое бы никто не сумм решить.

15 апреля, после завершения работы над конкурсными заданиями, ребята совершили увлекательную экспертцию по пущинским местам Молдавии.

Второй день

8 класс

5. Натуральные числа $m, n, k$ таковы, что число $m^n$, делится на $n^m$, а число $n^k$ делится на $k^n$. Доказите, что число $m^k$ делится на $k^m$.

6. В языке пламени Абба две буквы. Известно, что никакое слово этого языка не является началом другого слова. может ли словарь языка этого пламени содержать 3 четырех буквенных, 10 пятых буквенных, 30 шести буквенных и 5 семи буквенных слов?

7. Можно ли в клетках бесконечного клетчатого листа бумаги расставить целые числа так, чтобы в каждой прямой разметки разделены на нем, также равновелики. Чему равна площадь одного четырехугольника, если площадь одного треугольника равна 1 см²? (M827)

Рис. 2.

9 класс

5. Группа детского cada построила парами друг за другом. При этом оказалось, что в каждой колонне стоит поровну мальчиков и девочек, а число пар, в которых стоит девочек и мальчиков, равно числу остальных пар. Доказите, что число детей в группе делится на 8.

6. Длины двух параллельных сторон прямого уравнения 1 см. Кроме того, известно, что двумя перpendикularными прямыми он может быть разбит на четыре прямые прямые, три из которых имеют плоскость, не меньше 1 см², а четвертый — не меньше 2 см². При какой минимальной длине двух других сторон прямого уравнения это возможно?