Bài toán M831—M835; F843—F847

36

Nhiệm vụ

M831—M835; F843—F847

M831. Đặt $P$ và $Q$ là trung điểm của cạnh $AB$ và $CD$ của tứ giác $ABCD$, và đặt $M$ và $N$ là trung điểm của các đường chéo $AC$ và $BD$. Chứng minh rằng nếu đường thẳng $MN$ và $PQ$ vuông góc thì $|BC| = |AD|$.

B. B. Prasolov

M832. a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n > 6$ hình vuông có thể cắt thành $n$ hình vuông (trong đó có thể có những hình vuông có cùng kích thước).

6. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n > 100$ khối lập phương có thể được cắt thành $n$ khối lập phương.

B. A. Lee

M833*. Dãy số $x_n$ được cho bởi các điều kiện:

$$x_1 = 2; \quad x_{n+1} = \frac{2+x_n}{1-2x_n} \quad (n=1, 2, 3, \dots).$$

Chứng minh rằng a) $x_n \neq 0$ (với mọi $n$);

6. trình tự này là không định kỳ.

V. E. Matizen

M834. Một nhà máy thủy lợi đặt tại điểm $O$ phục vụ một vòng tròn bán kính 100 m với tâm $O$. Với cách lắp đặt như vậy, cần phải tưới hoàn toàn cho một cánh đồng hình vuông có diện tích 1 km×1 km.

a) Quản đốc đảm nhận 64 cài đặt ở các đỉnh của lưới vuông ở cạnh song song với các cạnh của trường (Hình 1). Cạnh $a$ của một lưới hình vuông có thể thay đổi trong giới hạn nào?

6. Học sinh lớp 8 Vitya tuyên bố rằng có thể tưới cho một cánh đồng chỉ bằng 46 cách lắp đặt như vậy. Vitya có đúng không?

H. B. Vasiliev

M835*. $n$ kỳ thủ cờ vua từ quốc gia $A$ và $n$ kỳ thủ cờ vua từ quốc gia $B$ đã đến tham dự giải cờ vua một vòng. Hóa ra, dù người chơi cờ được chia thành từng cặp như thế nào (sao cho sự khác biệt về cờ vua của các quốc gia thi đấu với nhau) thì sẽ có ít nhất một cặp người chơi cờ đã từng gặp nhau trước đó. Chứng minh rằng có thể chọn $a$ người chơi cờ từ quốc gia $A$ và $b$ người chơi cờ từ quốc gia $B$ sao cho mỗi người được chọn $a$

37

những người chơi cờ đã gặp từng người trong số $b$ người chơi cờ đã chọn và $a+b>n$.

L. D. Meniches

F843. Một bánh xe có bán kính $R$, nằm ở độ cao $H$ so với mặt đất, quay với vận tốc góc $\omega$. Một giọt rơi từ bánh xe và rơi xuống đất tại điểm $B$ dưới tâm bánh xe (Hình 2.). Tìm thời điểm giọt nước rơi và điểm $A$ của bánh xe tại đó giọt nước vỡ ra.

A. N. Grigorenko

F844. Một vật có khối lượng $m$ và thể tích $V$ được hạ xuống một bình chứa đầy hỗn hợp chất lỏng, mật độ của nó thay đổi theo độ sâu theo định luật $\rho = \rho_0 + ah$. Cơ thể hoàn toàn chìm trong chất lỏng. Ở độ sâu nào nếu nó có hình khối? quả bóng?

L. G. Markovich

F845. Một viên sỏi nhỏ lọt vào bên trong buồng bánh xe tự động có bán kính $R$. Ở tốc độ tối thiểu nào súng máy sẽ quay viên sỏi cùng với bánh xe nếu hệ số ma sát giữa viên sỏi và máy ảnh là $\mu$?

A. V. Levin

F846. Tại sao nên bật động cơ DC công suất cao thông qua bộ biến trở khởi động?

A. V. Kubyshkin

F847*. Một electron bay vào một chùm thể tích có mũi dương, có tiết diện tròn, tại điểm $A$, tốc độ của tia này song song với trục đối xứng của chùm tia (Hình 3). Mật độ thể tích của các điện tích trong chùm tia bằng $\rho$, chiều dài của chùm tia là $l$ (chiều dài của chùm tia lớn hơn nhiều so với bán kính của nó). Ở giá trị nào của tốc độ electron, nó sẽ bay ra khỏi chùm tia tại điểm $B$? Không tính đến sự va chạm giữa các electron và nome.

O. V. Fatyanov

Problems

M831—M835; P843—P847

M831. Suppose $P$ and $Q$ are the midpoints of sides $AB$ and $CD$ of the quadrilateral $ABCD$, $M$ and $N$ — those of the diagonals $AC$ and $BD$. Prove that if the lines $MN$ and $PQ$ are perpendicular, then $|BC| = |AD|$.

V. V. Prasolov

M832. a) Prove that for any natural $n>6$ a square can be cut up into $n$ smaller squares (among which some may be congruent).

b) Prove that for any natural $n>100$ the cube may be cut up into $n$ smaller cubes.

V. A. Li