Lời giải bài toán M821, M822, M824, M825; F800, F833—F836

38

Lời giải bài toán
M821, M822, M824, M825*); F800, F833—F836

M821. Giải phương trình
$$x^3 + x^2 + x = -\frac{1}{3}.$$

Hãy viết lại phương trình ở dạng $3x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = 0$; chúng ta nhận được tổng các khối: $(x+1)^3 + 2x^3 = 0$. Hãy viết nó ở dạng $(x+1)^3 = -2x^3$ và lấy căn bậc ba từ cả hai vế: $x+1 = -x\sqrt[3]{2}$; do đó $x = -\frac{1}{1 + \sqrt[3]{2}}$.

Yu. I. Ionin

M822. Các thẻ có bốn màu - n xanh lá cây, n đỏ, n xanh lam và n vàng - được xếp chồng lên nhau sao cho sau bốn thẻ màu được lặp lại (ví dụ: thẻ thứ 1, 5, 9, …, (4n-3) - đỏ, thứ 2, thứ 6, …, (4n-2)th - vàng, v.v.).
Một số thẻ phía trên tỏa sáng, được lật lại mà không sắp xếp lại và đứng ngẫu nhiên giữa những thẻ còn lại. Sau đó, cọc được chia thành n cọc nhỏ gồm bốn lá bài. Chứng minh rằng mỗi thẻ trong số bốn thẻ này đều chứa các thẻ có đủ bốn màu.

Chúng ta hãy đánh số màu các quân bài theo số 们 1, 2, 3, 4 sao cho cách sắp xếp ban đầu của các quân bài trong bộ bài đúng theo trình tự
12341234…1234

(đầu bên trái của chuỗi này tương ứng với phần dưới cùng của bộ bài, phần bên phải tương ứng với phần trên cùng của bộ bài).

Chúng ta chia bộ bài thành hai phần như Hình 1, sau đó lật các quân bài của phần II và đứng ngẫu nhiên giữa các quân bài của phần I. Trong bộ bài mới, bốn quân đầu tiên (dưới cùng) sẽ chứa các quân bài $k$ từ đầu phần 1 (1, …, $k$) và các quân bài $4-k$ từ cuối phần II ($k+1$, …, $4$) - xem Hình 2; Rõ ràng, mỗi màu sẽ được thể hiện một lần. Phần còn lại của phần I và II (không tính 4 thẻ đầu) sẽ có dạng như Hình 3. Trước khi di chuyển dữ liệu chúng ta đổi màu: $(k+1)$màu thứ 1 sẽ nhận số 1, $(k+2)$màu thứ 2, …, số thứ 4 - số $(4-k)$, màu thứ 1 - số $(4-k)+1$, …, $k$màu thứ 4 - số 4.

Hình 1.
1234 … 1234 1 … s
11 s+1 … 4 1234 … 1234

Hình 2.
1234 1234 … 1 … t
11 t+1 … 4 1234 … 1234

Hình 3.
Sau đó, các phần ở Hình 3 sẽ giống như lúc đầu, chỉ có số $s$ sẽ được thay thế bằng số $t$ nào đó (Hình 4). Bộ tứ thứ hai của bộ bài mới (xem lại Hình 2) sẽ chứa các thẻ $l$ từ Phần I (các số mới 1, …, $l$) và các thẻ $4-l$ từ Phần II (các số mới $l+1$, …, $4$) - và một lần nữa, mỗi màu sẽ được thể hiện một lần. Và vân vân. Khi chỉ còn lại bốn lá bài trong bộ bài mới (mỗi lần chúng ta xếp mỗi lá bài được coi là bốn lá bài vào một chồng mới), phần I (chính xác hơn là “phần còn lại” của nó) sẽ trông giống như 1, …, $u$, phần II sẽ trông giống như $u+1$, …, 4, trong đó $u$ là một số mà sau tất cả các kích thước lại, sẽ nhận được màu với số ban đầu $s$. Và bốn màu cuối cùng này một lần nữa sẽ có tất cả các màu.

S. B. Shlyusman

M824. Trong lưới hiển thị ở Hình 1, mỗi ô có kích thước $1 \times 1$. Lưới này có thể được biểu diễn dưới dạng liên kết của $a)$ 8 đường đứt nét có độ dài 5; 6) 5 nét đứt có độ dài 8?

◆ a) Có thể. Chúng ta hãy biểu thị một số nút của lưới như trong Hình 2. Sau đó, lưới của chúng ta chia thành một tập hợp gồm tám đường gãy có độ dài 5: $AR_1S_1$, $R_1R_2S_2$, $R_2R_3S_3$, $R_3BC$, $AP_1Q_1$, $P_1P_2Q_2$, $P_2P_3Q_3$, $P_3DC$. Có nhiều cách khác.

*) Bài toán M823 sẽ được giải trên “Trang hình học” trong một trong những số tiếp theo của “Kwan”.

39

M825. Tập M bao gồm k đoạn rời nhau theo cặp nằm trên cùng một đường thẳng. Biết rằng mọi đoạn có độ dài không lớn hơn 1 đều có thể đặt trên một đường thẳng sao cho hai đầu của nó thuộc tập M. Chứng minh rằng tổng độ dài các đoạn tạo nên M không nhỏ hơn 1/k.

F800. Mạch điện gồm một tụ điện emkocti C, điốt D1 và D2 ​​và một cuộn dây có cuộn cảm L1 và L2, được ghép lại như trên Hình 1. Tìm chu kỳ điện áp dao động trên tụ điện trong mạch này.

Hình 1.

Hình 2.

6. Nó bị cấm. Lưu ý rằng tổng chiều dài các đường gãy của chúng ta bằng tổng chiều dài của tất cả các đường trong lưới nên các đường gãy không thể tạo thành toàn bộ lưới và đồng thời cắt nhau dọc theo một đoạn thẳng. Vì vậy, tại mỗi điểm R1, R2, R3, Q1, Q2, Q3, S1, S2, S3, P1, P2, P3 phải có ít nhất một đoạn đứt đoạn. Vì chỉ có 12 đầu nên ít nhất phải có 6 đầu bị gãy.

N. I. Avilov

◆ Giả sử tập M nằm trên trục số và gồm các đoạn [a1, b1], [a2, b2], …, [ak, bk], a1 < b1 < a2 < b2 < … < bk; Độ dài của các đoạn này được ký hiệu bằng các giá trị tương ứng là δ1, δ2, …, δk. Với mỗi cặp số i và j (1  i  j  k), ta ký hiệu Mij là tập độ dài các đoạn có điểm cuối nằm trên các đoạn [ai, bi], [aj, bj]. Những tập hợp này hiển nhiên tạo thành các đoạn trên trục số có độ dài bằng δi nếu i = j, và δi + δj nếu i < j. Theo điều kiện bài toán tổng độ dài của các đoạn không nhỏ hơn 1. Do đó, δ1 + (δ1 + δ2) + … + (δ1 + δk) + δ2 + (δ2 + δ3) + (δ2 + δ4) + … + δk ≥ 1.

Trong tổng viết ở vế trái của bất đẳng thức, mỗi δj(j = 1, …, k) xuất hiện k lần. Do đó, k(δ1 + δ2 + … + δk) ≥ 1, từ đó δ1 + δ2 + … + δk ≥ 1/k, theo yêu cầu.

E. I. Khukhro

◆ bài toán này khá phức tạp và việc phân tích nó bằng các rung động cơ học sẽ giúp chúng ta hiểu được nó.

Hệ cơ học chúng ta cần được thể hiện trên Hình 2. Đây là hai thanh có khối lượng m1 và m2, nằm trên một mặt phẳng nằm ngang nhẵn và được nối với nhau bằng một lò xo có độ cứng k. Mỗi thanh đều được trang bị một bên, cho phép nó di chuyển tự do sang bên phải nhưng không cho phép nó di chuyển về phía sau. Tọa độ của các thanh tại thời điểm ban đầu được ký hiệu là x1 và x2’, trong đó x2’ = l + x2, l là chiều dài của lò xo không bị đóng đinh.

Chúng ta hãy thiết lập sự tương ứng giữa các đại lượng điện và cơ trong hệ thống rung động của chúng ta.

Đặt điện tích dương Q trên bản A của tụ điện tương ứng với độ dãn của lò xo một đoạn x. Có thể thay đổi x bằng cách trộn từng thanh: x = x2 - x1; tốc độ giãn dài của lò xo được xác định bởi sự chênh lệch tốc độ của các thanh: Δx/Δt = v2 - v1. Tương tự, tốc độ thay đổi của điện tích Q được xác định bởi độ chênh lệch dòng điện chạy qua cuộn dây: ΔQ/Δt = I2 - I1. Cạnh S1 và S2 chỉ cho phép vận tốc một dấu: v1 > 0, v2 > 0; tương tự, điốt D1 và D2 ​​cho dòng điện đi qua chỉ theo một hướng. Năng lượng của tụ Q2/2C tương ứng với thế năng của lò xo kx2/2 (và giá trị 1/C, nghịch đảo của điện dung, tương ứng với độ cứng k của lò xo). Động năng của các thanh m1v12/2 và m2v22/2 tương ứng với năng lượng của từ trường trong các cuộn dây L1I12/2 và L2I22/2.

Hệ cơ sẽ chuyển động như thế nào nếu chỉ dịch chuyển về bên phải hoặc nếu cả hai thanh đều dịch chuyển? Nếu không có các bên thì chuyển động sẽ giảm xuống mức áp đặt (superrosicini) của chuyển động tịnh tiến với tốc độ V và dao động không đổi:

v1 = V + v10 cos(ωt + φ), v2 = V - v20 cos(ωt + φ). (*)

Tại một số thời điểm, một trong các vận tốc v1 hoặc v2 trở thành bằng không; thì theo (*), tốc độ này phải âm. Tại thời điểm này, nút chặn tương ứng phát huy tác dụng và một trong các thanh vẫn còn

41

so với Trái đất, khi hộp không còn chuyển động so với xe, tức là $|\vec{AC}| = v_0$. Trong thời gian hộp lăn dọc theo vành đai vận chuyển, vectơ vận tốc của nó so với Trái Đất sẽ bao phủ đoạn BC. Giá trị nhỏ nhất của vận tốc này sẽ là khi nó hướng dọc theo đường vuông góc với đoạn BC. Vì vậy (xem hình),

$$u_{\min} = |\vec{AD}| = \frac{u_0 v_0}{\sqrt{u_0^2 + v_0^2}} \approx 0,9 \text{ m/c.}$$

S. S. Krotov

F834. Một quả bóng có khối lượng $m_1 = 0,1$ kg được treo trên trần nhà bằng một sợi dây rất dài không trọng lượng, và một quả bóng có khối lượng $m_2 = 0,05$ kg được gắn vào nó bằng một sợi dây có chiều dài $l = 0,2$ m. Quả bóng phía dưới được cho tốc độ $v_0$ theo hướng ngang một cách hiệu quả. Tại giá trị nào $v_0$ các quả bóng có thể ở cùng độ cao?

Với sợi chỉ trên rất dài, chúng ta có thể giả sử rằng quả bóng phía trên di chuyển theo một đường thẳng nằm ngang. Tại thời điểm các quả bóng ở cùng độ cao, tức là sợi dưới nằm ngang (xem hình), hình chiếu ngang của vận tốc của quả bóng thứ hai sẽ bằng tốc độ của quả bóng thứ nhất. Điều này xuất phát từ tính không thể mở rộng của sợi dây kết nối chúng. Để đạt giá trị tối thiểu của tốc độ $v_0$ mà tại đó các quả bóng sẽ ở cùng độ cao, cần giả sử rằng tại thời điểm này hình chiếu thẳng đứng của tốc độ của quả bóng thứ hai bằng 0 (tức là tốc độ $v$ của các quả bóng chung bằng nhau và hướng theo chiều ngang).

Tất cả các ngoại lực tác dụng lên hệ (sức căng của sợi trên và trọng lực) đều hướng theo phương thẳng đứng. Do đó, hình chiếu ngang của tổng động lượng của hệ được bảo toàn:

$$m_2 v_0 \min = (m_1 + m_2) v.$$

Từ đây

$$v = v_0 \min \frac{m_2}{(m_1 + m_2)}.$$

Theo định luật bảo toàn cơ năng,

$$\frac{1}{2} m_2 v_0^2 \min = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v^2 + m_2 gl.$$

Thay thế biểu thức tìm thấy cho $v$ vào phương trình này, chúng ta tìm thấy

$$v_0 \min = \sqrt{2 gl \left(1 + \frac{m_2}{m_1}\right)}.$$

Thay thế dữ liệu số, chúng tôi nhận được

$$v_0 \min = \sqrt{3 gl} \approx 2,4 \text{ m/c.}$$

Trong trường hợp giới hạn $m_2 \ll m_1$, quả bóng phía trên không chuyển động và để quả bóng phía dưới tăng lên độ cao $l$ thì cần phải cho một tốc độ $v_0 = \sqrt{2 gl}$.

E. I. Butikov

F835. Một máy cắt được hạ xuống một cốc nước và sự phụ thuộc của nhiệt độ nước vào thời gian (Bảng 1). 1) Nước sẽ nguội bao nhiêu độ trong 1 phút nếu máy cắt bị ngắt khỏi nguồn điện ở nhiệt độ $t_1 = 50^\circ\text{C}$? 2) Nước có sôi không nếu không tắt máy cắt đủ lâu? Sức mạnh của máy cắt được coi là không thay đổi.

Chúng ta sẽ giả định rằng công suất mà máy cắt cung cấp cho nước không thay đổi và nhiệt độ của nước tăng không đều do nhiệt lượng tỏa ra tăng khi nhiệt độ tăng. Để tính đến ảnh hưởng của quá trình truyền nhiệt, chúng tôi sẽ theo dõi mức tăng nhiệt độ $\Delta t$ thay đổi như thế nào trong 1 phút hoạt động của máy cắt, tùy thuộc vào nhiệt độ nước (chúng tôi sẽ lấy nhiệt độ trung bình giữa các giá trị của nó ở đầu và cuối mỗi phút). Dữ liệu tương ứng được đưa ra trong Bảng 2. Chúng ta hãy xây dựng biểu đồ về sự phụ thuộc $\Delta t(t)$ bằng cách sử dụng những dữ liệu này. Như có thể thấy từ biểu đồ (xem hình), tất cả các điểm đều là Logasian tốt trên một đường thẳng cắt trục nhiệt độ tại điểm $t_{\text{кр}} = 85^\circ\text{C}$. Rõ ràng là ngay cả khi định luật truyền nhiệt không thay đổi (và khi nhiệt độ tăng, độ bốc hơi sẽ tăng, điều này sẽ làm tăng quá trình truyền nhiệt), nước

42

sẽ chỉ nóng lên đến 85°C và do đó sẽ không sôi trong điều kiện bình thường.

Từ cùng một biểu đồ, rõ ràng là ở nhiệt độ $t_1=50^\circ\text{C}$ nước nóng lên 3,5 độ trong một phút và nếu không truyền nhiệt, nó sẽ nóng lên 6,5 độ (nhiệt độ môi trường xung quanh 20°C). Điều này có nghĩa là nếu bạn tắt máy sưởi ở nhiệt độ 50°C thì sau 1 phút nước sẽ nguội đi 3 độ.

A. R. Zilberman

F836. Bản A của tụ điện dẹt đứng yên, bản B được gắn vào tường bằng lò xo và có thể chuyển động, vẫn song song với bản A (xem hình). Sau khi đóng phím K, tấm B bắt đầu chuyển động và dừng lại ở vị trí cân bằng mới. Đồng thời, khoảng cách giữa các tấm giảm đi $a_1=10\%$. Khoảng cách cân bằng giữa các bản sẽ thay đổi bao nhiêu nếu công tắc K đóng trong một thời gian ngắn? Giả định rằng trong thời gian này biển B không có thời gian để chuyển dịch đáng kể.

Khi đóng công tắc $K$, hướng tới tụ điện được giữ không đổi và bằng suất điện động $\mathcal{E}$ của nguồn. Đặt khoảng cách ban đầu giữa các bản tụ điện (khi lò xo không bị dãn) bằng $d$, và độ dịch chuyển của bản B khi đến vị trí cân bằng mới bằng $x_1=a_1d=0,1d$. Điện tích trên tụ điện sẽ là

$$Q_1 = C_1 \mathcal{E} = \frac{\varepsilon_0 S \mathcal{E}}{(d-x_1)},$$

trong đó $S$ là diện tích của tấm tụ điện. Ví dụ: trường trong tụ điện $E_1=\mathcal{E}/(d-x_1)$. Trường này được tạo bởi hai tấm, do đó trường được tạo bởi một tấm có hướng $E_1/2$. Theo đó, đối với các lực tác dụng lên tấm $B$, ta có thể viết

$$\frac{E_1 Q_1}{2} = \frac{\varepsilon_0 S \mathcal{E}^2}{2(d-x_1)^2} = kx_1$$

(k là độ cứng của lò xo).

Bây giờ chúng ta hãy xem xét tình huống khi phím $K$ bị đóng trong một thời gian ngắn. Trong trường hợp này, tụ điện bị nhiễm bẩn

$$Q_2 = \varepsilon_0 S \mathcal{E}/d$$

(các tấm không có thời gian để di chuyển), sau đó không đổi. Đặt độ dịch chuyển của tấm $B$ bằng $x_2$ ở vị trí cân bằng mới. thì hướng của trường trong tụ điện sẽ là $E_2 = Q_2/C_2(d-x_2)$, trong đó $C_2=\varepsilon_0 S/(d-x_2)$. Điều kiện cân bằng của tấm $B$ sẽ được viết dưới dạng

$$\frac{E_2 Q_2}{2} = \frac{Q_2^2}{2\varepsilon_0 S} = \frac{\varepsilon_0 S \mathcal{E}^2}{2d^2} = kx_2.$$

Từ phương trình (1) và (2) chúng ta tìm thấy $x_2$:

$$x_2 = x_1 \left(\frac{d-x_1}{d}\right)^2 = 0,081d,$$

tức là khoảng cách giữa các bản tụ giảm đi $a_2=8,1\%$.

A. I. Buzdin

44

06—08, 14, 15, 17; M. Bizhk (Krasnodar) 06, 07, 17; S. Boyko (Vinnitsa) 07, 08, 14; V. Bryazhnikov (Zaporozhye) 05-07, 15; A. Buraev (Ordzhonkidze) 06; N. Burdeynaya (Vinnitsa) 05-07; O. Vazhevsky (Moscow) 06, 07; V. Vaisman (Vinnitsa) 08, 14; V. Vantselov (Burgas, NRB) 08, 14, 15, 17; D. Vladimirov (Novolukoml) 06-08, 17; A. Vyrovov (Osinniki) 06-08; O. Gavrilov (Kyiv) 05-08, 17; B. Galtsiky (Moscow) 08; V. Glazolev (Tula) 15; P. Glazyrin (Votkinsk) 06, 07; O. Golinsky (Tambov) 07, 08, 17; Yu. Gordienko (Vinnitsa) 05, 08, 15; G. Gorelikov (Elets) 06, 07; S. Grebensikov (làng Chernovoglovka, vùng Moscow) 05-07, 17; M. Gribere (Krasnoirsk) 05-08, 14, 15, 17; I. Grishina (Elets) 06-08; G. Danelia (Tbilisi) 08; L. Demidova (Vinnitsa) 05-07; V. Derendlev (Bereznyaki) 06, 07; G. Dolyupyatov (Donetsk) 05-07, 11, 14, 15, 17; E. Dubinin (làng Vostretsov, vùng Primorsky) 08; A. Yerichan (Yerevan) 06-08; D. Ermoshin (Moscow) 08; O. Efremov (Voronezh) 05–07, 14, 15, 17; M. Zhitomirsky (Kharkov) 05-07; N. Zhokov (Alexandrov) 05-07; G. Zhukov (Kuibyshev) 07; R. Zhmaitis (Vilnos) 05-07; E. Người chăn nuôi (Tambov) 06-08; A. Zaitsev (Tselinovgrad) 06; I. Zaitsev (Moscow) 06, 07; D. Ivanov (Orenburg) 05-07; E. Ivanov (Ordzhonkidze) 06, 07; E. Ivleva (Sverdlovsk) 06, 07; M. Imas (Donetsk) 08, 14; B. Irichanin (Bellegarde, SFRY) 06, 07; L. Iosypiv (vùng Ivanov-Frankivsk) 06, 07; T. Catalosi (Koutanci) 05-07; D. Kaledin (Moscow) 06, 07; I. Kaliinovsky (Kyiv) 05-08, 15, 17; E. Kantsyper (Tallinn) 06, 07; V. Karasev (Alma-Ata) 08, 14; A. Karnaukhov (Izhevsk) 05, 06; E. Kachkovskaya (Vinnitsa) 06, 07; Yu. Kivshar (Kharkov) 05-07; A. Kiritsenko (Moscow) 07; P. Clark (Tula) 08; A. Klishin (Kyiv) 05-07; M. Kyschin (Krasnodar) 07; Yu. Koval (Kyiv) 17; M. Kozlov (Moscow) 08; K. Kondratets (Kyiv) 05-07; A. Korbush (Sverdlovsk) 08; E. Kornilova (Efremov) 05-07; A. Korshak (Kyiv) 08, 11, 15; I. Korshun (Kommunarsk) 05-07; A. Kotlyar (Minsk) 06; S. Kravchuk (Kyiv) 07, 08, 15; A. Krasnov (Tashkent) 06, 08; O. Krasnoyrov (Grozny) 06, 07, 15, 17; A. Kruev (Kyiv) 07; I. Krylov (Kuibyshev) 06; S. Ksenevich (Kuibyshev) 06, 08; V. Kudashov (khu định cư Vuktyl, Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Xô viết tự trị Komi) 05-07; D. Kuznetsov (Kuibyshev) 14; D. Kuzotin (Alma-Ata) 06, 07; I. Kulichik (Brest) 07, 17; D. Kuptsov (Moscow) 05—07, 10, 14, 15, 17; I. Kuharkin (Moscow) 05-08, 15, 17; S. Laurinavichus (Mazeiki) 05-07, 10, 14, 15, 17; I. Levin (Donetsk) 05-07, 12; K. Lipnikov (Yaroslavl) 08; A. Likhachev (Barnaul) 07; I. Lorman (Kyiv) 06, 07, 15; D. Lunts (Saratov) 05-08, 14; A. Lyulko (Moscow) 06, 07; B. Mavlonov (vùng Khorezm) 06; D. Makarov (làng Chernogolovka, vùng Moscow) 03-17; ĐẾN. Makarchuk (Kyiv) 05—07, 15, 17; I. Mamedov (Baku) 06, 08; A. Mamyreva (Moscow) 05; A. Markin (Egoryevsk) 17; L. Markovich (Minsk) 06–08, 14, 15, 17; O. Marov (Kanev) 06, 07, 14, 15; A. Martishenko (Dnepropetrovsk) 06, 07, 15, 17; S. Mednov (Kalinin) 05-07; P. Milotin (Khabarovsk) 06-08, 15; A. Mikheev (Kimry) 06-08; K. Mishin (Dnepropetrovsk) 06, 07, 17; P. Molodchik (Kyiv) 05; S. Molanov