Bài toán

39

Nhiệm vụ

1. Sasha chú ý đến số hiệu của chiếc xe tự động đang chạy tới nhà anh. Hấp dẫn! Nếu bạn cộng các chữ số của số thứ hai với số thứ nhất: 85+8+7, bạn được 100, và nếu bạn cộng các chữ số của số thứ nhất với số thứ hai: 87+8+5, bạn cũng được 100. Tổng cộng có bao nhiêu số như vậy?

2. Trong ví dụ về phép nhân, hãy ghép các số còn thiếu cùng với dấu hoa thị.

3. Đặt các số từ 1 đến 12 vào các vòng tròn sao cho tổng các số trên mỗi đường thẳng trong số sáu đường thẳng, trên mỗi đường tròn trong ba đường tròn và tại các đỉnh của ba hình thoi đều bằng nhau.

4. Vadik có số hạt ít hơn Kostya 3 lần. Nếu Vadik được cho cùng số hạt khi lấy chúng từ Kostya, thì cả hai sẽ có phần bằng nhau. Kostya có bao nhiêu quả hạch?

5. “Ngọn lửa cách chúng tôi nửa dặm và gió đang cuốn nó về phía chúng tôi với tốc độ khủng khiếp…

• Có lửa gì thế!… Theo bạn, đây là lửa à?… Thôi, giỏi lắm, bắt tay vào việc thôi… Hãy nắm lấy đám cỏ thấp mềm nhũn này và cầm cự…

Ông già bước đến rìa đối diện… và chọn một bó thân cây khô nhất, đặt chúng lên kệ súng của mình. Chúng lập tức bốc cháy…

“Bây giờ,” ông già nói, “bạn sẽ thấy lửa đấu với lửa như thế nào!”

Vì vậy, trong cuốn tiểu thuyết “Prairie” của F. Cooper, ông mô tả một trong những cách để chữa cháy thảo nguyên - đốt cháy thảo nguyên từ phía đối diện. Hãy cố gắng giải thích bí mật của phương pháp này là gì.

Những nhiệm vụ này được Yu gợi ý cho chúng tôi. A. Alenkov, S. N. Olehnik, A. V. Siderlandsky, A. V. Tokarev, A. M. Charnykh.

41

số hàng chục nhiều hơn 1, thêm vào số này toàn bộ phần của một nửa hiệu của hàng chục và vào số kết quả thêm 25 nếu hiệu này là số chẵn hoặc 75 nếu nó là số lẻ. Mặc dù công thức bằng lời nói mà chúng tôi đưa ra nghe có vẻ phức tạp nhưng phương pháp được đề xuất lại rất đơn giản, như có thể thấy từ các ví dụ sau:

$$35 \cdot 75 = (3 \cdot 8 + \frac{7-3}{2}) \cdot 100 + 25 = 2625.$$
$$25 \cdot 55 = (2 \cdot 6 + [\frac{5-2}{2}]) \cdot 100 + 75 = 1375.$$

Việc chứng minh quy luật này là đúng xin dành cho người đọc như một bài tập.

---

Manana Vansovskaya, học sinh lớp 10 tại trường trung học Nabakevo ở quận Samtred của Liên Xô Gruzia, đề xuất phương pháp bình phương các số có ba chữ số tận cùng là 25:

“Để có bình phương của một số có ba chữ số mà cộng bằng 25, hãy viết 625 ở cuối, sau đó nhân số hàng trăm với 5, viết chữ số cuối cùng của số kết quả trước 625 và ghi nhớ chữ số đầu tiên. Sau đó, chúng ta bình phương số hàng trăm của một số đã cho và cộng số vừa ghi nhớ, rồi viết kết quả thu được trước các số chúng ta đã viết.”

Ví dụ, khi bình phương 325, ta tìm được 3 \cdot 5 = 15, viết 5 làm số trước 625 và ghi nhớ 1:

$$(325)^2 = 10000(3^2 + 1) + 1000 \cdot 5 + 625 = 105625.$$

Manana cũng đưa ra một ví dụ tương tự về bình phương các số có bốn chữ số tận cùng bằng 125. Và chúng tôi mời độc giả chứng minh phương pháp mà Manana nêu ra để bình phương một số có ba chữ số tận cùng bằng 25, đồng thời cũng độc lập đưa ra “ví dụ tương tự” cho số có bốn chữ số.

*) Dấu ngoặc vuông biểu thị phần nguyên của một số.

Một cách thú vị là sử dụng ngón tay để điền giá trị và dấu của sin, cosin của các góc chính đã được đề xuất bởi học sinh lớp 7 Misha Pervakov từ trường số 2 ở Yegoryevsk, vùng Moscow:

“Chúng ta hãy nhìn vào lòng bàn tay trái và đánh số các ngón tay như thế này: ngón đeo nhẫn - 0, ngón đeo nhẫn - 1, ngón giữa - 2, ngón trỏ - 3, ngón cái - 4. Với các ngón tay cách đều nhau, chúng gần tương ứng với các góc “chính” của hình vuông đầu tiên: 0°, 30°, 45°, 60°, 90° (Hình 1). Sin của các góc này sẽ bằng một nửa căn bậc hai của số được gán cho ngón tay.”

Ví dụ,

$$\sin 45^\circ = \frac{1}{2} \sqrt{homер среднего пальца} = \frac{1}{2} \sqrt{3}.$$

Giá trị cosine cũng được tìm theo cách tương tự, chỉ cần đánh số các ngón tay theo thứ tự ngược lại: ngón nào lớn hơn là 0, …, ngón nào trừ đi là 4.

Những giá trị này có thể được tóm tắt trong một bảng dễ điền, được giáo viên L. F. Belov (vùng Dubovka, vùng Volgograd) gửi cho người biên tập.

| α | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $\sin \alpha$ | $\sqrt{0/2}$ | $\sqrt{1/2}$ | $\sqrt{2/2}$ | $\sqrt{3/2}$ | $\sqrt{4/2}$ |
| $\cos \alpha$ | $\sqrt{4/2}$ | $\sqrt{3/2}$ | $\sqrt{2/2}$ | $\sqrt{1/2}$ | $\sqrt{0/2}$ |