Bài toán M841—M845; F853—F857

42

Bài toán

M841—M845; F853—F857

M841. Chứng minh rằng tích độ dài của các đoạn mà cạnh huyền của một tam giác vuông được chia cho điểm tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp thì bằng diện tích của tam giác này.

M842. a) Chứng minh rằng nếu $\alpha + \beta + \gamma = 0$ thì
$$\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = -4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2}.$$
6) Các giá trị góc $\hat{A}, \hat{B}$ và $\hat{C}$ của tam giác thỏa mãn điều kiện
$$\frac{\sin \hat{A} + \sin \hat{B} + \sin \hat{C}}{\cos \hat{A} + \cos \hat{B} + \cos \hat{C}} = \sqrt{3}.$$
Chứng minh rằng ít nhất một trong số chúng bằng $60^\circ$.

L. D. Kurlyandchik

M843. Trong tam giác trên, $ABC$ các đường vuông góc $AA_1, BB_1, CC_1$ với mặt phẳng của nó ở một cạnh được khôi phục, có chiều dài bằng với các đường cao tương ứng của tam giác. Chứng minh rằng đường vuông góc rơi từ giao điểm của các mặt phẳng $ABC_1, BCA_1$ và $CAB_1$ lên mặt phẳng $ABC$ rơi tại tâm của đường tròn nội tiếp $ABC$ trong tam giác và có độ dài bằng bán kính của nó.

A. A. Yagubyants

M844. a) Chứng minh rằng mọi số tự nhiên $a$ đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng
$$a = a_1 \cdot 1! + a_2 \cdot 2! + ... + a_n \cdot n!,$$
(1)
trong đó $a_k$ là số nguyên, $0 \leq a_k \leq k$, $a_n \neq 0$. (Theo định nghĩa, $k! = 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot k$, $1! = 1$.)
6) * Chứng minh rằng mọi số hữu tỉ $r$, $0 \leq r < 1$ đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng
$$r = \frac{b_1}{2!} + \frac{b_2}{3!} + ... + \frac{b_n}{(n+1)!},$$
(2)

43

trong đó $b_k$ là số nguyên, $0 \leq b_k \leq k$, $b_n \neq 0$.
c) Trình bày số $a = 1984$ ở dạng (1) và số $r = 19/84$ ở dạng (2).

V. E. Kolosov

M845*. Đối với $n$ nào trong số $n$ góc, bao gồm bốn ô $1 \times 1$ và một số hình chữ nhật nhất định $4 \times 1$ (Hình 1), người ta có thể dựng một hình đối xứng tâm (một đa giác trên giấy ca rô) không?

V. G. Belov

F853. Các giá đỡ bên trái của thùng chứa, không giống như các giá đỡ bên phải, được chế tạo trên các con lăn (Hình 2), mang lại độ rung không đáng kể (kích thước của các giá đỡ nhỏ). Để di chuyển thùng chứa sang trái, phải tác dụng một lực $F_1$ vào tâm của bức tường bên phải vuông góc với nó. Để di chuyển thùng chứa sang bên phải, nó cần tác dụng một lực $F_2$ vuông góc vào tâm bức tường bên trái của nó. Xác định khối lượng của vật chứa, coi nó là một khối lập phương đồng nhất.

I. I. Vorobiev

F854. Ước tính số lượng trung bình phải áp dụng cho mép của nệm hơi sao cho ở giữa một góc vuông (Hình 3). Nệm không có thanh ngang. Hãy tự mình đặt số lượng cần thiết cho lời giải và các giá trị số khá thực tế của chúng và nhận được kết quả bằng số.

E. I. Palchikov

F855. Một tấm tích điện được vặn hoàn toàn vào một tụ điện phẳng nối với các dải pin có suất điện động $\delta$ song song với các tấm của nó và cách một trong các tấm tụ điện một khoảng $b$ (Hình 4). Tìm lực tác dụng lên tấm vít nếu điện tích của nó là $q$. Bỏ qua lực hấp dẫn. Diện tích của các bản tụ là $S$, khoảng cách giữa chúng là $d$.

V. P. Borodin, A. P. Erisov

F856. Một dòng điện không đổi chạy qua một cuộn dây đốt nóng có điện trở không đổi. Lượng nhiệt trung bình tỏa ra trong cuộn dây trong một giây sẽ thay đổi bao nhiêu phần trăm nếu có dòng điện xoay chiều (hình sin) đồng thời chạy qua nó, có giá trị biên độ bằng 10% dòng điện một chiều?

V. G. Dudnikov

F857. Trên chiếc lon sáng bóng có một vùng phẳng, từ đó một chùm ánh sáng phản chiếu lên màn hình. Chất lỏng đã nguội được đổ vào bình. Tín hiệu phản xạ bị suy yếu rõ rệt. Giải thích hiện tượng đó.

V. G. Dudnikov