Thế giới Euclide có thực sự đơn giản như vậy không?

Kvant 1984, số 1 tr. 14-20 Thẻ II3N

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

Thế giới có đơn giản như vậy không?

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học I. Kh. SABITOV

Hình học được học ở trường được gọi là Euclidian để vinh danh nhà khoa học Hy Lạp cổ đại Euclid, người đã hệ thống hóa môn khoa học này dựa trên phương pháp accatic. Trong số các tiên đề hình học do Euclid đề xuất, tiên đề thứ năm, tiên đề song song, là nổi tiếng nhất. Akisiom này (hay “định đề thứ năm,” như Euclid đã gọi nó trong “Các nguyên tắc”) về cơ bản phát biểu rằng thông qua một điểm không nằm trên một đường thẳng cho trước, người ta có thể tìm thấy đường thẳng duy nhất song song với đường thẳng đã cho. Đúng, trong cuốn Cơ bản, Euclid đã phát biểu câu này dưới một dạng khác (nhưng tương đương): “Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng và tạo thành các góc một bên trong có tổng nhỏ hơn hai đường thẳng, thì với sự tiếp tục không giới hạn của hai đường thẳng này, chúng sẽ cắt nhau ở phía có các góc nhỏ hơn hai đường thẳng”.

Hình học Euclide không phải là khả năng logic duy nhất

Hình 1. Trong các hình học của Euclid, Lobachevsky và Riemann có các hình học song song khác nhau.

Hình 2. Trong một phần hạn chế của không gian, không thể nhìn thấy được cơ chế nào diễn ra.

Vậy làm thế nào chúng ta có thể kiểm tra bằng thực nghiệm tiên đề song song?

Tổng các góc của một tam giác có phải là tiêu chuẩn của hình học thế giới không?

Về nguyên tắc, hóa ra đây là một khả năng. Thực tế là tiên đề của Euclid về các đường thẳng song song tương đương với phát biểu rằng tổng các góc của một tam giác tùy ý bằng 180° *), và trong hình học của Lobachevsky, hóa ra tổng này nhỏ hơn 180°. Do đó, Gauss, bằng cách sử dụng các phép đo trắc địa, đã quyết định tính tổng các góc trong một tam giác được tạo thành bởi ba đỉnh núi cao (Brocken, Hohenhagen và Inselberg) ở dãy núi Gary, cách nhau khoảng 100 km. Lobachevsky đã chọn thang đo vũ trụ cho các tính toán của mình - ông đã đo tổng các góc của một tam giác, các đỉnh của chúng là Trái đất, Mặt trời và ngôi sao sáng nhất ở bán cầu bắc, Sirius. Nhưng trong cả hai thí nghiệm, độ lệch thu được so với 180° đều nằm trong sai số đo cho phép, nên họ không đưa ra bất kỳ kết luận nào về hình học của thế giới thực.

Tuy nhiên, chúng ta hãy tưởng tượng rằng ai đó thành công với độ chính xác hoàn hảo khi xác định rằng tổng các góc của một tam giác nhất định bằng 180°. Điều này có nghĩa là hình học của chúng ta là Euclide?

Đáp số là khẳng định nếu chúng ta coi định lý Legendre là đúng. Tất nhiên, định lý này được chứng minh bằng các tiên đề khác của Euclid. Nhưng những tiên đề còn lại có đúng trong thế giới thực không? Ví dụ, tại sao nó có thể được phóng đại ở chỗ hai đường thẳng cắt nhau trên một tờ giấy nằm trước mặt chúng ta sẽ không cắt nhau ở bất kỳ nơi nào khác trong không gian thực,

*) Hơn nữa, nhà toán học người Pháp A. Legendre đã chứng minh rằng tiên đề song song xuất phát từ sự tồn tại của ít nhất một tam giác có tổng các góc bằng 180° (xem cách chứng minh trong cuốn Bách khoa toàn thư về toán học cơ bản, M., “Nauka”, 1966, tập V, trang 399).

cho dù chúng ta có tiếp tục chúng bao xa không? Do đó, chúng ta hãy xử lý tất cả các tiên đề Euclid với độ chính xác như nhau - chúng ta sẽ không giả định trước về bất kỳ tiên đề nào rằng nếu nó có thể kiểm chứng được trong một khu vực giới hạn thì nó có giá trị trong toàn bộ không gian.

Sau đó, chúng ta sẽ đi đến câu hỏi sau: giả sử rằng ở mọi nơi trong không gian thực, tất cả các tiên đề của hình học Euclide đều được đáp ứng “trong phạm vi nhỏ”, tức là trong giới hạn khả năng tiếp cận của các thiết bị thay đổi của chúng ta (bất kể thiết bị được quan sát ở đâu); vậy thì có đúng là không gian thực là “toàn bộ” Euclide (nghĩa là tất cả không gian ba chiều Euclide thực sự là mô hình của tất cả không gian vật lý)? Câu hỏi quan trọng (về cơ bản là vũ trụ học) này đưa ra một công thức toán học thuần túy mà chúng ta sẽ quan tâm ở đây.

Sản xuất bài toán

Giả sử trong vùng lân cận của mỗi điểm trong không gian (chẳng hạn như trong một quả bóng nhất định có tâm ở điểm này) tất cả các vị trí của hình học Euclide đều được đáp ứng. (Tất nhiên, được hình thành sao cho chúng có ý nghĩa trong phạm vi hình cầu; ví dụ, tiên đề về sự song song nên được thay thế bằng câu “Tổng các góc của một tam giác là 180°,” v.v.) Vậy thì có thể nói gì về hình học của mọi không gian?

Một không gian có tính chất Euclide lân cận mỗi điểm được gọi là Euclide cục bộ.

Một định nghĩa chính xác hơn về mặt toán học của không gian Euclide địa phương xuất phát từ sự tồn tại của ít nhất một tam giác có tổng các góc bằng 180° (xem chứng minh trong cuốn Bách khoa toàn thư về toán học cơ bản, M., “Nauka”, 1966, tập V, trang 399). Nếu sự tương ứng một-một có thể được thiết lập giữa các điểm của chúng mà bảo toàn khoảng cách (điều này có nghĩa là khoảng cách |ab| bằng |a’b’| với mọi điểm a, b ∈ A, nếu a’, b’ là điểm tương ứng từ A’). Vì vậy, một không gian được gọi là Euclide cục bộ nếu khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ của nó được xác định trong đó và nếu mỗi điểm của nó có một lân cận có thể thay đổi đối với một quả cầu nào đó của không gian Euclide thông thường.

Trong bài này, chúng ta không có cơ hội viết ra các không gian vsklide cục bộ ba chiều, nhưng sẽ hạn chế xem xét các không gian vsclide cục bộ chỉ có hai chiều. Chúng tôi sẽ gọi chúng là máy bay trượt địa phương. bài toán của chúng tôi có thể được hình thành như sau: các mặt phẳng V-Sclidian cục bộ được cấu trúc tổng thể như thế nào?

Xi lanh và sự phát triển của nó

Tất nhiên, ví dụ đơn giản nhất về mặt phẳng vsclide cục bộ chính là mặt phẳng vsclide. Chúng ta sẽ không tập trung vào nó - mọi thứ đều rõ ràng ở đây - nhưng chúng ta sẽ bắt đầu với ví dụ đơn giản nhất tiếp theo - một bề mặt hình trụ vô hạn (hay nói tóm lại là hình trụ). Trong Hình 3, nó được trình bày dưới dạng tập hợp tất cả các điểm trên các đường nằm ngang (máy phát) đi qua tất cả các điểm có thể có của một vòng tròn $C_0$ (đạo diễn), nằm trong mặt phẳng thẳng đứng $a$ .

Nhưng chúng ta chưa có bất kỳ “hình học” nào trên hình trụ. Chúng ta cần xác định khoảng cách giữa các điểm, tìm ra những gì cần đặt dưới “đường thẳng” trên hình trụ, v.v. Để làm điều này, chúng ta cắt hình trụ $U$ dọc theo một trong các bộ tạo và chuyển nó lên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ dưới dạng một mặt phẳng vô hạn $P$ , các điểm $(x; y)$ trong đó thỏa mãn bất đẳng thức $0 \leq y \leq 2\pi$ (Hình 4). Chúng ta sẽ giả sử rằng một dải phẳng $P$ có “các cạnh được dán” (nghĩa là một dải trong đó tất cả các cặp điểm $(b; 0)$ ,

Hình 3. Xi lanh vô hạn.

(b; 2π) được coi là giống nhau) và xác định “hình học” trên hình trụ. Như các nhà toán học nói, chúng tôi xác định các cặp điểm có dạng $(b; 0)$ và $(b; 2\pi)$ cho tất cả $b$ và xem xét hình học trên dải $P$ , có tính đến mối quan hệ này.

Chúng ta hãy kiểm tra tính chất trượt cục bộ của hình học đó trên một hình trụ. Để làm điều này, hãy lấy một điểm tùy ý $A(x; y) \in \Pi$ . Nếu điểm $A = A_1$ không nằm trên các cạnh của dải (xem Hình 4), thì mọi thứ đều rõ ràng: lấy một đường tròn có bán kính $r$ , nhỏ hơn khoảng cách từ $A$ đến cạnh gần nhất; vòng tròn này nằm hoàn toàn trong dải $P$ và tất nhiên, xuất hiện dưới dạng vòng tròn Vsklidovo chung. Nếu điểm $A = A_2$ nằm trên mép của dải (xem Hình 4), thì tọa độ của nó có dạng $(b; 0) \equiv (b; 2\pi)$ và vùng lân cận hình tròn, chẳng hạn, là sự kết hợp của hai nửa nhóm (được dán!) có bán kính đơn vị với tâm tại các điểm $(b; 0)$ và $(b; 2\pi)$ , và vì các nửa vòng tròn này được dán dọc theo đường kính $MN \equiv M'N'$ , sau khi dán sẽ tạo ra một vòng tròn đơn, duy nhất.

Trên hình trụ $U$ , cũng như trên một bề mặt trong không gian, khoảng cách giữa các điểm được cho một cách tự nhiên là độ dài của đoạn thẳng ngắn nhất dọc theo $U$ và nối các điểm này. Dựa trên điều này, một số hình học cũng có thể được phát triển trên hình trụ. Một người đọc chu đáo sẽ dự đoán: liệu hình học này có trùng với hình học trên dải $P$ với mối quan hệ giữa các cạnh không? Hóa ra là nó sẽ như vậy. Tuy nhiên, việc chứng minh thực tế này (liên quan đến cái gọi là hình học vi phân) nằm ngoài phạm vi bài viết của chúng tôi.

Hình học trên một hình trụ

Chúng ta đã chứng minh được rằng hình học cục bộ (nhỏ) của hình trụ là

Hình 4. Hình trụ (dải có các mặt được dán) - địa phương-Euclide.

Euclide Hình học trông như thế nào trên một hình trụ (nghĩa là trên một dải P có các cạnh liên quan với nhau) nói chung? Khoảng cách trên một hình trụ được sắp xếp như thế nào? Những cái nào là “thẳng” trên đó? Những tiên đề nào được thực hiện trên đó?

Trước khi trả lời những câu hỏi này, chúng ta hãy xem xét một ví dụ hơi khác thường. Giả sử có hai con đường song song trong một khu vực nhất định, dọc theo đó thường có các trạm đường; Từ mỗi trạm có một đường dây điện thoại - đến một trạm đối xứng trên một con đường khác. Trong các khu vực nội địa không có dịch vụ điện thoại và các tin nhắn được truyền đi bởi những người chạy bộ. Chúng ta hãy coi khoảng cách giữa hai điểm là thời gian cần thiết để truyền bất kỳ thông điệp nào. Khi đó, rõ ràng là để truyền nhanh một tin nhắn từ điểm A đến điểm B, đôi khi người đưa tin không nên chạy trực tiếp từ A đến B mà theo hướng ngược lại, đến tổng đài điện thoại gần đó.

Loại khoảng cách bất thường tương tự cũng xảy ra trên dải của chúng tôi với các cạnh được dán. Thật vậy, hãy xem xét các điểm A, B, C trong dải P. Đối với các điểm A và B (tọa độ $y_A$ và $y_B$ chênh nhau ít hơn một nửa chiều rộng của dải - π), khoảng cách có điều kiện, tức là độ dài của đoạn $AB$ . Nhưng đối với A và C (trong đó $|y_A - y_C| > \pi$ ) khoảng cách là $|AK'| + |KC|$ , trong đó $A'$ thu được từ A với hai đoạn $CA'$ với cạnh của dải và $KK' = -AA'$ (Hình 5). Trong ngôn ngữ của ví dụ “điện thoại”, sẽ có lợi hơn nếu gửi một người đưa tin từ C đến điểm K, truyền tin nhắn ngay lập tức qua điện thoại đến K’ và gửi đến A bằng người đưa tin thứ hai dọc theo đoạn $K'A$ .

Bài toán 1. Chứng minh khoảng cách từ điểm $A(x_A; y_A)$ đến điểm $B(x_B; y_B)$ trên dải P có dán các cạnh được cho bởi công thức

$|AB| = \begin{cases} \sqrt{(x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2} \\ \frac{\varepsilon \left|y_A - y_B\right|}{\sqrt{(x_A - x_B)^2 + (2\pi - |y_A - y_B|)^2}}, \\ \varepsilon \left|y_A - y_B\right| > \pi. \end{cases}$

“Các đường thẳng”, giống như khoảng cách, không bình thường trong hình học của chúng ta - chúng có ba loại (Hình 6, a). Thứ nhất, đường thẳng sẽ là đường thẳng thông thường bất kỳ song song với các cạnh của dải. Thứ hai, “thẳng” sẽ là bất kỳ đoạn nào (có đầu được dán) nối các cạnh và vuông góc với chúng. Và thứ ba, “đường thẳng” sẽ là tập hợp các đoạn xiên song song lặp lại theo chu kỳ - như trong Hình 6, a. Trên một hình trụ trong không gian, ba đường thẳng này lần lượt biểu thị các phần tử tạo ra hình trụ, các đường tròn song song với thanh dẫn hướng và các đường xoắn ốc (Hình 6, b).

Về các tiên đề, trước hết chúng ta lưu ý rằng tiên đề song song được thỏa mãn “nói chung” (trên toàn bộ bề mặt)!

Bài toán 2. Tìm (đồng nhất) các “đường thẳng”, các “đường thẳng” song song KL, MN và ST đi qua điểm A trên các Hình 6, a và 6, b.

Không còn trường hợp các tiên đề khác bị vi phạm nữa. Tiếp theo là: Chỉ có một đường thẳng đi qua hai điểm. Ví dụ như màu đỏ

Hình 5. Khoảng cách ngắn nhất giữa điểm A và C là $|AK'| + |KC|$ .

Hình 6. Trên hình trụ có ba đường thẳng: đường xoắn ST, đường thẳng KL, đường tròn MN.

(xoắn ốc) “đường thẳng” giao với màu đen (có hình)… vô số lần (xem Hình 6)!

Bài toán 3. Hãy mô tả các cặp điểm trên hình trụ mà chỉ có một đường thẳng đi qua.

Sự tò mò về hình học hình trụ không dừng lại ở đó. Người đọc có thể nhận thấy rằng “các đường thẳng” trên một hình trụ, các hướng song song, bị giới hạn: khoảng cách tối đa giữa các điểm trên đường thẳng đó… bằng π.

Bài toán 4. Cho ví dụ cho thấy đoạn “thẳng” không phải lúc nào cũng là đường đi ngắn nhất giữa các điểm cuối, đoạn nghiêng đôi khi ngắn hơn đoạn vuông góc và định lý Pythagore không phải lúc nào cũng đúng. Khám phá một “vòng tròn” (nghĩa là một tập hợp các điểm cách đều một điểm cho trước) trông như thế nào khi bán kính của nó tăng lên.

Do đó, tính thỏa mãn cục bộ của tất cả các tiên đề của hình học then chốt, và thậm chí cả tính thỏa mãn “tổng quát” của tiên đề song song, không đảm bảo rằng thế giới trong đó một hình học như vậy mở ra nhất thiết sẽ là một mặt phẳng không giới hạn. Một thế giới như vậy cũng có thể được cấu trúc dưới dạng một hình trụ vô tận, và như chúng ta sẽ thấy, dưới dạng các dạng hình học khác.

kẻ tâng bốc

Cho một hình chữ nhật $T$ có các đỉnh $A, B, C, D$ trên mặt phẳng $Oxy$ (Hình 7). Chúng ta hãy xác định cạnh $AB$ với cạnh $CD$ sao cho $A$ được xác định bằng $D$ và $B$ với $C$ ; hơn nữa, chúng ta sẽ xác định cạnh $BC$ với cạnh $AD$ sao cho $B$ trùng với $A$ và $C$ với $D$ (với cách nhận dạng này, hóa ra tất cả các đỉnh của hình chữ nhật $T$ hợp nhất thành một điểm). Chúng ta hãy định nghĩa “khoảng cách” giữa hai điểm của hình chữ nhật là độ dài của đường đi ngắn nhất giữa các điểm này, có tính đến các điều trên theo nhận dạng.

Ví dụ: hãy tính “khoảng cách” giữa các điểm $M\left(-\frac{3}{4}a; \frac{1}{4}b\right)$ và $N\left(\frac{3}{4}a; b\right)$ (xem Hình 7). Trước hết, chúng tôi thay thế đoạn $MN'$ , trong đó $N'=\left(\frac{3}{4}a; -b\right)$ , ngắn hơn đoạn $MN$ ; do đó, phải tìm đường đi ngắn nhất từ $M$ đến $N$ trong số các đường dẫn nối $M$ với $N'$ (vì $N'$ và $N$ là cùng một điểm theo điều kiện nhận dạng). Nhận dạng đúng đắn của bên $AD$ đồng thời là nhận dạng đúng đắn của bên $BC$ ; Do đó, bằng cách “gắn” cạnh $a \leq x < 2a$ , $-b \leq y \leq b$ vào cạnh $BC$ (xem Hình 7), chúng ta thấy rằng mọi đường dẫn khác từ $M$ đến $N'$ , bao gồm cả đoạn $MN'$ , đều dài hơn đoạn $M'N'$ . Điều này có nghĩa là đường đi ngắn nhất từ $M$ đến $N$ là sự kết hợp của các đoạn $MM_1$ và $M'_1N'$ và “khoảng cách” giữa $M$ và $N$ là $\sqrt{(a/2)^2+(3b/4)^2}$ .

Bài toán 5. a) Cho ví dụ về các cặp điểm của hình chữ nhật $T$ , “khoảng cách” giữa là $\sqrt{a^2+b^2}$ ; b) chứng minh rằng “khoảng cách” giữa hai điểm bất kỳ không lớn hơn $\sqrt{a^2+b^2}$ ; c) chứng minh rằng với bất kỳ điểm nào cũng có một điểm duy nhất nằm cách điểm đã cho một khoảng $\sqrt{a^2+b^2}$ .

Hình 7. Hình xuyến phẳng là một hình chữ nhật được dán bằng keo. Khoảng cách ngắn nhất giữa các điểm $M$ và $N$ là $|MM_1|+|M'_1N'|$ .

Hình 8. Hai “đường thẳng” (đỏ và xanh) trên hình xuyến.

Hình chữ nhật $T$ với các thông số xác định của các cạnh đối diện và được biểu thị ở trên bằng quy tắc tính “khoảng cách” được gọi là hình xuyến phẳng.

“Các đường thẳng” trên hình xuyến phẳng được xác định như trong dải $Π$ —mô hình hình trụ. Hình 8 thể hiện hai “đường thẳng”: “đường thẳng” đóng màu đỏ $AC$ bao gồm một đoạn Wuclidean, “đường thẳng” màu xanh bao gồm nhiều đoạn - $M_{-1} = M_0) M_2 = M_1) M_4 = M_3)$ … và nó có thể sẽ đóng lại khi được kéo dài thêm.

Bài toán 6. Chứng minh rằng một “đường” trên một hình xuyến phẳng sẽ đóng khi và chỉ khi số $(a \ tg a)/b$ là hữu tỉ, trong đó $tg a$ là độ dốc (so với trục $Ox$ ) của các đoạn trong $T$ tạo nên đường thẳng này.

Chúng ta khẳng định rằng hình học trên một hình xuyến phẳng được xây dựng theo cách này là hình học Wuclide cục bộ. Thật vậy, mỗi điểm bên trong của hình chữ nhật $T$ có một lân cận nhỏ, trong đó tất cả các đối tượng và quy tắc sửa đổi được đưa ra cho hình xuyến phẳng đều giống như trong hình học Euclidian. Đối với điểm $M_1$ trên đường biên, có thể thấy bằng chứng từ Hình 7. Đối với đỉnh, điều này có thể được nhìn thấy từ cùng một hình: tất cả các lân cận của đồng dạng và hình học xung quanh đỉnh cũng hóa ra là hình học của đường tròn Wuclide!

Vì vậy, hình xuyến phẳng là một ví dụ khác về thế giới Wuclide địa phương. Trên đó, giống như trên một hình trụ, định đề thứ năm có giá trị “về tổng thể”, tuy nhiên, cấu trúc của hình xuyến “như một tổng thể” khác với mặt phẳng chung và hình trụ.

Bài toán 7. Chứng minh rằng không có khoảng cách dài nào trên một hình xuyến phẳng mặc dù có những đường thẳng dài bao nhiêu. Khám phá hình dạng của một “vòng tròn” trên một hình xuyến phẳng khi bán kính của nó tăng lên.

Có một sự khác biệt quan trọng khác giữa hình xuyến phẳng và hình trụ: hình xuyến phẳng không thể, trong khi bảo toàn chiều dài của các đường cong, được biểu diễn trong không gian ba chiều dưới dạng một bề mặt mà trên đó các cặp cạnh xác định - $AB$ và $CD$ , $BC$ và $AD$ - sẽ thực sự được dán lại với nhau, như xảy ra với các cạnh của dải $Π$ khi gấp nó thành hình trụ. Nhưng sự khác biệt này đã được gọi là bên ngoài, vì nó chỉ biểu hiện khi cố gắng kết nối hình học của dải $Π$ và hình chữ nhật $T$ với hình học của một số bề mặt trong không gian bên ngoài chúng. Nếu hình chữ nhật $T$ được coi là được làm bằng cao su và được phép kéo dài, thì có thể dán một hình xuyến từ nó; Để biết thêm chi tiết về điều này, xem bài viết của A. Zemlykov («Kvant», 1979, số 9, trang 2):

Dải Mobius vô hạn

Chúng ta hãy xem xét lại dải vô hạn $Π : a \leqslant y \leqslant b, -\infty < x < +\infty$ , nhưng lần này chúng ta sẽ xác định các cạnh của dải $Π$ theo định luật sau: điểm $(x; a)$ được xác định bằng điểm $(-x; b)$ (nghĩa là đường thẳng $y = b$ đầu tiên được phản chiếu trong gương so với trục $Oy$ và chỉ sau đó mới được xác định bằng đường thẳng $y = a$ ). Các định nghĩa về “khoảng cách” và “thẳng” tương tự như trường hợp hình trụ và hình xuyến phẳng. Mặt phẳng Wuclide địa phương thu được được gọi là “dải Möbius vô hạn”.

Hình 10. Các đường thẳng trên dải Mobius vô tận: đen (dọc), xanh lam (MN), đỏ (A’B).

hạt (dải Möbius khách quan là một phần của vô hạn, thu được bằng cách dán một dải thẳng đứng lại với nhau (Hình 9). Hình 10 cho thấy ba “đường thẳng”: đen - kín, xanh - song song với mép của dải Π, đỏ - nghiêng, bao gồm vô số đoạn Euclide. Sử dụng ví dụ về điểm B (xem Hình 9), nó cho thấy luật nhận dạng tạo ra hình học Euclide gần các cạnh điểm của dải Π như thế nào.

Bài toán 8. Khám phá hình học trên dải Mobius vô tận. Chứng minh rằng mọi đường nghiêng đều cắt nhau vô số lần. Hành động thứ năm có đúng “nói chung” không? Các vòng tròn trông như thế nào?

Chai Klein phẳng

Chúng ta hãy quay lại hình chữ nhật trong Hình 7. Hãy giới thiệu các quy tắc nhận dạng sau: cạnh AD được xác định bằng BC trong khi vẫn giữ nguyên thứ tự các điểm, nghĩa là điểm (-a, y) ∈ AD được xác định bằng điểm (a; y) ∈ BC, và cạnh AB được xác định bằng cạnh CD có sự thay đổi về thứ tự các điểm, tức là điểm (x: -b) ∈ AB được xác định bằng điểm (-x: b) ∈CD; một phần, tất cả các đỉnh sẽ được tính là một điểm. Chúng ta sẽ giới thiệu “đường thẳng” và quy tắc đo “khoảng cách” như trên. Bạn có thể kiểm tra lại xem vùng lân cận của mỗi điểm có hình học là Euclide hay không (thực hiện việc kiểm tra này đối với vùng lân cận của đỉnh của một hình chữ nhật). Mô hình hình học Euclide địa phương này được gọi là gorom phẳng một mặt hoặc chai Klein phẳng.

Hình 11. Mô hình chai Klein (có khả năng tự cắt).

Bài 9. Khám phá hình học trên chai Klein phẳng.

Cũng giống như một hình xuyến phẳng, một chai Klein phẳng không thể đặt trong không gian ba chiều mà không làm biến dạng khoảng cách trên nó. Hơn nữa, nó có thể được đặt trong một không gian chỉ có các nút giao tự thân, ngay cả khi cho phép khoảng cách và độ dốc (không có điểm gián đoạn). Mô hình chai Klein tự giao nhau được thể hiện trên Hình 11.

Phần kết luận

Vì vậy, nguyên tắc yêu cầu bình đẳng đối với tất cả các tiên đề chắc chắn đã tự chứng minh: chúng tôi phát hiện ra rằng hình học Euclide của mặt phẳng không dựa trên một tiên đề duy nhất về các đường song song, mà các tiên đề khác quyết định đáng kể diện mạo của nó. Hơn nữa, hóa ra ngay cả tính Euclide trong lân cận của mỗi điểm và sự thỏa mãn của không gian thứ năm trong không gian cũng không dẫn đến tính Euclide nói chung (ví dụ: một hình trụ và một hình xuyến phẳng). Điều này có nghĩa là ngay cả khi trong tất cả các phần không gian được nghiên cứu riêng biệt, hình học đều là Euclide, thì nhìn chung cấu trúc của một thế giới như vậy không nhất thiết đơn giản như mặt phẳng hai chiều hoặc không gian ba chiều.

Trong các khóa học hình học cao hơn, người ta đã chứng minh rằng ngoài năm ví dụ được liệt kê - mặt phẳng, hình trụ, hình xuyến phẳng, dải Möbius vô hạn và chai Klein phẳng - không có “thế giới” địa phương hoàn chỉnh nào khác. (Nói một cách đại khái, tính đầy đủ có nghĩa là người ta có thể mở rộng không giới hạn một “đường” với mỗi điểm, ngay cả khi chỉ dọc theo chính nó.)

Đối với không gian Euclide ba chiều cục bộ, chúng khác biệt đáng kể với chúng, có 18 loại. Trong số này, chúng tôi sẽ chỉ đề cập đến một ví dụ: đây là lớp không gian giữa hai mặt phẳng song song, được coi là xác định bởi các điểm đối xứng với mặt phẳng giữa trong lớp.