Viện Vật lý và Công nghệ Moscow

56

Viện Vật lý và Công nghệ Moscow

Toán học
Bài thi viết
Tùy chọn 1

1. Tìm miền xác định của hàm
   $$f(x) = \log_2 \sin x + \sqrt{9x - 2x^2} - 4.$$
2. Một điểm $M$ (2; 4) được cho trên mặt phẳng tọa độ. Xét các tam giác trong đó hai đỉnh đối xứng với trục tương đối $Oy$ và nằm trên cung của parabol $y = 3x^2$, được xác định bởi điều kiện $-1 \leq x \leq 1$ và điểm $M$ là trung điểm của một trong các cạnh. Trong số các hình tam giác này, hình có diện tích lớn nhất được chọn. Tìm khu vực này.
3. Trong hình thang đều $ABCD$ các góc ở đáy $AD$ bằng $30^\circ$, đường chéo $AC$ là phân giác của góc $BAD$. Đường phân giác của góc $BCD$ cắt cạnh $AD$ tại điểm $M$, và đoạn $BM$ cắt đường chéo $AC$ tại điểm $N$. Tìm diện tích hình tam giác $ANM$ nếu diện tích hình thang $ABCD$ bằng $(2 + \sqrt{3}) \text{ cm}^2$.
4. Tìm tất cả lời giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} 5 \sin x \cdot \sin y + \frac{5}{2} \cos x \cdot \cos y = 2 \\ \cos x \cdot \sin y - 2 \sin x \cdot \cos y = \frac{6}{5}, \end{cases}$$
   thỏa mãn điều kiện $0 \leq x \leq \pi, 0 \leq y \leq \pi$.
5. Trên cạnh $SB$ của paramid $SABC$ các điểm $D$ và $E$ được chọn sao cho $|SD| = |DE| = 1, |BE| = 2$. Các phần của paramid bởi các mặt phẳng vuông góc với cạnh $SB$ và đi qua các điểm $D$ và $E$ có diện tích lần lượt là 5 và 16, và phần đầu tiên trong số này là một hình tam giác, một trong các đỉnh của nó chia cạnh $SA$ theo tỷ lệ 2:1, tính từ đỉnh $S$. Tìm thể tích của paramid.

Tùy chọn 2

1. Giải bất đẳng thức
   $$\frac{1}{4} \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^{x-2} < 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{x-1} + 2^x.$$

2. Giải phương trình
   $$\sqrt{\frac{5}{4} - \sin^2 x + \cos \left(x + \frac{\pi}{3}\right)} = \cos x + \frac{1}{2}.$$

3. Từ đỉnh $B$ của góc hình thoi điển hình $ABCD$ vẽ các đường cao $BM$ và $BN$. Một hình tròn có bán kính 1 cm nội tiếp một hình tứ giác $BMDN$. Tìm cạnh của hình thoi nếu $ABC = 2$ arctan 2.

4. Tại đáy của đường thẳng $ABCDA_1B_1C_1D_1$ có một hình thoi $ABCD$ có góc $\hat{A} = 60^\circ$, tất cả các cạnh của đường thẳng có độ dài $a$. Điểm $K$ là hình chiếu trực giao của điểm $B_1$ lên mặt phẳng $DA_1C_1$, còn điểm $L$ là hình chiếu trực giao của điểm $K$ lên mặt phẳng $DD_1C_1C$. Tìm thể tích của paramid $DCLK$.

5. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} 2z^2 - xz + 5xy^2 = 0 \\ xz - z^2 + 3x^2y = 9x^2y^3 \\ z^2 - 2x^2 - 5y^2z = 18x^2y. \end{cases}$$
   Tùy chọn 3

6. Giải phương trình
   $$\log_2 (x-2) + \log_2 (8-x) = 1 + 2 \log_4 \left(x - \frac{9}{2}\right).$$

7. Giải bất đẳng thức
   $$2 - 3x \leq \sqrt{4 + 9x - 9x^2}.$$

8. Giải phương trình
   $$\mathrm{tg} \left(\frac{6}{25} \pi \cdot \cos^2 2x\right) = \mathrm{tg} \left(2\pi \cdot \cos^2 x\right).$$

9. Trong một tam giác nhọn $ABC$, đường cao $AD$, đường trung tuyến $BE$ và đường phân giác $CF$ cắt nhau tại điểm $O$. Tìm $\hat{C}$ nếu $|OE| = = 2|OC|$.

10. Cạnh của đế được gọi chính xác là $ABCA_1B_1C_1$ có chiều dài $a$ và cạnh bên có chiều dài $\frac{9}{8} a$. Điểm $E$ là trung điểm của cạnh $AB$ và điểm $M$ nằm trên đoạn $EC$ và $|EM| = = \frac{1}{4} |EC|$. Nhận biết tính đối xứng thứ hai là $ABCA_1B_1C_1$ so với đường thẳng $MC_1$. Tìm khối lượng của một phần của sự công nhận này.

Vật lý
Bài thi viết
Tùy chọn 1

1. Đĩa có thể quay quanh một trục thẳng đứng vuông góc với mặt phẳng của nó (Hình 1). Một khối nhỏ có khối lượng $M$ nằm trên đĩa cách trục một khoảng $R$. Trên mặt ngang của khối có một vòng đệm khối $m$, được gắn vào trục bằng một sợi ren. Đĩa cùng với khối và vòng đệm tăng tốc độ góc của nó rất chậm. Hệ số ma sát trượt giữa vòng đệm và khối $u$. Coi ma sát giữa khối và đĩa là không thể tránh khỏi, hãy xác định tốc độ góc $\omega$ khối bắt đầu trượt ra khỏi vòng đệm.
2. Trong quá trình sửa chữa mặt cắt, thuyền punt được phủ một lớp nhựa dày $d = 3$ cm. Sau đó, phần nhô ra của thuyền giảm đi $h = 1,8$ cm. Xác định mật độ của nhựa $q$.
3. Cường độ điện trường đều ở bên trái của tấm phẳng tích điện vô hạn là $\vec{E}_1$ và ở bên phải $\vec{E}_2$ (Hình 2). Xác định lực $f$ tác dụng lên một đơn vị diện tích của tấm từ điện trường.
4. Sử dụng một thấu kính mỏng, thu được hình ảnh của một tam giác $ABCEDG$, có $|AB| = |BC|$ (Hình 3). Đế tam giác