Bài toán-matryoshka

33

Khi bắt đầu môn hình học tự chọn, Petr Ivanovich vẽ ba vòng tròn lên bảng (Hình 1) và đề xuất giải phương trình bài toán sau:

Ba đường tròn cùng bán kính R cắt nhau tại một điểm chung S và tại các điểm M, N, P. Chứng minh rằng các điểm M, N, P nằm trên đường tròn cùng bán kính R.

Chúng tôi đã suy nghĩ một chút. Không có gì thành công: không rõ làm thế nào để có mặt với bài toán. Sau đó Pyotr Ivanovich đặt một con búp bê matryoshka nhỏ lên bàn và viết lên bảng:

Bài toán 1. Bên trong tam giác ABC có điểm H sao cho HAC=HBC, HBA=HCA, HCB=HAB. Khi đó H là trực kế của tam giác ABC, tức là giao điểm của các đường cao của nó.

Chúng tôi đã chứng minh điều này gần như ngay lập tức. Trong ký hiệu xuất hiện trong hình vẽ trên bảng (Hình 2), rất indo, 2(α+β+γ)=180°, từ đó α+β+γ=90°. Nhưng khi đó góc ngoài AA1B của tam giác ACA1 bằng (α+β)+γ=90°, nghĩa là AA1 là chiều cao. Tương tự như BB1 và ​​CC1, do đó H là một máy đo độ chính xác.

“Đúng vậy,” Pyotr Ivanovich nói, đặt con búp bê làm tổ thứ hai, lớn hơn một chút bên cạnh con búp bê đầu tiên và viết lên bảng:

Bài toán 2. Một điểm đối xứng với dụng cụ chỉnh hình so với cạnh của tam giác nằm trên đường tròn ngoại tiếp của nó.

Theo hình vẽ trên bảng (Hình 3), trong đó D là giao điểm của đường cao AA1 với đường tròn ngoại tiếp, chúng ta nhanh chóng làm quen với đẳng thức HBC=CAD (vì mỗi góc này bằng 90° với góc B1CB) và CAD=CBD (các góc nằm trên một cung chung CD). Do đó HBC=DBC và điểm D đối xứng với H so với CB.

Sau đó, con búp bê làm tổ thứ ba xuất hiện trên bàn của Petra Ivanovich, và trên bảng có dòng chữ này:

Bài toán 3. Bán kính đường tròn ngoại tiếp một tam giác bằng bán kính đường tròn đi qua hai đỉnh và trực kế.

Trong hình vẽ trước (xem Hình 3), Petr Ivanovich đã vẽ một đường tròn đi qua các điểm C, H, B và các đoạn CD và DB. Từ chỗ đó, anh ta bắt đầu được cho biết rằng các tam giác CHB và CDB có thể dựng được theo bài toán trước đó, do đó các đường tròn ngoại tiếp của chúng có cùng bán kính. Pyotr Ivanovich giấu con búp bê làm tổ thứ hai trong con búp bê thứ ba.

—Vẫn còn búp bê làm tổ à? - chúng tôi hỏi.

“Có,” Pyotr Ivanovich trả lời, lấy ra con búp bê làm tổ nhỏ nhất, “nhưng bài toán sẽ bằng miệng,” và viết:

Bài toán 4. Các đường tròn khác có bán kính bằng nhau nối hai điểm giao nhau của chúng là đường tròn mang tính xây dựng.

“Tất nhiên, những cái còn lại mang tính xây dựng, bởi vì chúng đối xứng với đường thẳng đi qua các điểm giao nhau,” chúng tôi trả lời (Hình 4).

“Chà, bây giờ bất kỳ ai trong số các bạn trước tiên phải giải bài toán về ba vòng tròn,” Pyotr Ivanovich nói và… gọi tôi lên bảng.

Tôi bắt đầu nói điều gì đó khó hiểu, nhưng sau đó ngẫu nhiên có một cuộc gọi cảm ơn. Sau đó Pyotr Ivanovich lấy ra con búp bê làm tổ thứ năm, lớn nhất, đặt những con búp bê vào nhau một cách đầy ý nghĩa và nói:

• Để lần sau mọi người giải quyết được bài toán. Tôi đã giải quyết nó khá nhanh ở nhà.*) Còn bạn thì sao?

*) Lời giải có thể đọc ở phần “Đáp số, gợi ý, lời giải”.