33
В начале факультатава по геометрии Петр Иванович нарисовал на доске три окружности (рис. 1) и предложил решить такую задачу:
Три окружности одинакового радиуса R пересекаются в общей точке S и в точках M, N, P. Доказите, что точки M, N, P лежат на окружности того же радиуса R.
Подумали мы немного. Ничего не получается: не видно, как присутствить к задаче. Тогда Петр Иванович поставил на стол маленькую матрешку и написал на доске:
Задача 1. Внутри треугольника ABC дана такая точка H, что HAC=HBC, HBA=HCA, HCB=HAB. Тогда H — ортометр треугольника ABC, то есть точка пересечения его высот.
Мы это доказали почти сразу. В обозначениях, которые появились в чертеже на доске (рис. 2), оченьindo, 2(α+β+γ)=180°, откуда α+β+γ=90°. Но тогда внешний угол AA1B треугольника ACA1 равен (α+β)+γ=90°, значит, AA1 — высота. Аналогично BB1 и CC1, и, стало быть, H — ортометр.
— Правильно,— сказал Петр Иванович, поставил рядом с первой матрешкой вторую, чуть побольше, а на доске написал:
Задача 2. Точка, симметриная ортометру относительно стороны треугольника, лежит на его описанной окружности.
По чертежу, нарисованному на доске (рис. 3), в котором D обозначает точку пересечения высоты AA1 с описяной окружностью, мы быстро устотели равенства HBC=CAD (так как каждый из этих углов составляется 90° вместе с углом B1CB) и CAD=CBD (углы опираются на общую дуг CD). Поэтому HBC=DBC и точка D симметрина H относительно CB.
Тут на стол Петра Иванович появилась третья матрешка, а на доске — такая запись:
Задача 3. Радиус описанной окружности треугольника равен радиусу окружности, проходящей через две вершины и ортометр.
На предыдущем чертеже (см. рис. 3) Петр Иванович нарисовал окружность, проходящую через точки C, H, B и отрезки CD и DB. С места ему стал говорить, что треугольники CHB и CDB конструктивны по предыдущей задаче, поэтому их описанные окружности — одинакового радиуса. Петр Иванович вторую матрешку спрятал в третью.
— А еще есть матрешки? — спросили мы.
— Есть,— ответил Петр Иванович, вынув самую маленькую матрешку,— но задача будет устная, и написал:
Задача 4. Други окружности равных радиусов, соединяющие две их точки пересечения, конструктивны.
— Други, конечно, конструктивны, ведь они симметрины относительно прямой, проходящей через точки пересечения,— ответили мы (рис. 4).
— Ну, а теперь любой из вас должен решить первоначально задачу про три окружности,— сказал Петр Иванович и… вызвал меня к доске.
Я начал говорить что-то не ввятное, но тут произвольный спасибоный звонок. Тогда Петр Иванович достал пятую, самую большую матрешку, многозначительное волжил матрешки друг в друга и сказал:
— Чтобы к следующему разу все решили эту задачу. Дома я ее довольно быстро решил.*) А вы?
*) Решение можно прочитать в разделе «Ответы, указания, решения».