Московский институт стали и сплавов

56

Московский институт
стали и сплавов

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1

1. Найдите сумму членов бесконечной геометрической прогрессии 3, -1, 1/3, -1/9, …
2. Решите уравнение
   $$\sqrt{x+1}+\sqrt{2x+3}=1.$$
3. Решите уравнение
   $$\log_4(2\log_3(1+\log_2(1+3\log_2x)))=\frac{1}{2}.$$
4. Преобразуйте и вычислите

$$\cos \frac{\pi}{8} \left( \frac{5\pi}{16} + \frac{3\pi}{16} \right).$$
5. Решите систему неравенств
$$\begin{cases} 2^x \geq 4^{x-1} \\ -5 \leq x \leq 10. \end{cases}$$
В ответе запишите количество цельх чисел, удовлетворяющих этой системе.
6. Решите уравнение
$$\cos \pi x \cdot \sin 7\pi x=\cos 3\pi x \cdot \sin 5\pi x.$$
В ответе запишите количество корней уравнения, принадлежих отрезку [0,1; 0,9].
7. В равноведренную трапецию вписана окружность радиуса 2. Найдите площадь трапеции, если длина боковой стороны равна 10.
8. При перемножении двух натуральных чисел, одно из которых на 10 больше другого, ученик ошибся, уменьшив произведение на 5 единиц. При делении полученного произведения на меньший из множителей он получил в частином 37, а в остатке 23. Найдите больший множитель.
9. На окружности радиуса 2 дна точка A. Хорда BC проведена параллельно касательной к окружности в точке A так, что площадь треугольника ABC наиболее простой от точки A до хорды BC.
10. Металлический шар радиуса 5$$\sqrt{2}$$ перелит в конус, площадь боковой поверхности которого в 3 раза больше площади основания. Найдите высоту конуса.

Вариант 2

1. Вычислите $$\sqrt{81^6 \cdot (0,064)^4}.$$
2. Динамир CD параллелен хорде AB той же окружности. Найдите длину этой хорды, если |AC| = 3, |BC| = 4.
3. Найдите радиус окружности, вписанной в прямойный треугольник, если его катаеты являются корнями уравнения $x^2-7x+12=0$.
4. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите отношение площади боковой поверхности конуса к площади его основания.
5. Вычислите sin 2α, если sin α−cos α = $$\frac{3}{5}.$$
6. Решите уравнение
   $$\log_2 \log_4 x+\log_4 \log_2 x \leq 2.$$
   В ответе запишите длину промежутка, являющегося множеством решений уравнения.
7. Решите уравнение $$\sin^2 x-\cos^2 x=\cos \frac{x}{2}.$$
   В ответе запишите (в градуах) наименьший положительный корень этого уравнения.
8. Найдите f’(2), если
   $$f(x)=3\sqrt{3} \cdot \sin x \cdot \sin 2x$$ на отрезке $$-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}.$$
   Физика
   Писменный экзамен
   Вариант 1
9. Каким бы перiod обращения искусственного спутника Земли по круговой орбите, если бы он был удален от поверхности Земли на

60

центр треугольника NMP. Но тогда по задание 3 окружность, описанная около NMP, имеет тот же радиус, что любая из трех данных окружностей, то есть $R^*$).

Магнитное поле и магнитные силы

1. $\Delta x_{\text{max}} = 1Bl\tau/\sqrt{2km}$.
2. $e/m = 2U/(RB^2) \approx 1,76 \cdot 10^{-11}$ Кл/кг.
3. $\sigma = \varepsilon_0 v B \approx 10^{-10}$ Кл/м$^2$ (здесть $\varepsilon_0 = 8,85 \times 10^{-12}$ Ф/м — электрическая постоянная).

Московский инженерно-физический институт
Математика
Вариант 1

1. $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$ ($k \in \mathbb{N}$).
2. $x = \frac{4}{5} a + \frac{1}{10}$ при $a < \frac{1}{2}$; если $a \geq \frac{1}{2}$, критические точки нет.
3. Пусть $V_1$ — объем многоугольника, одним из ребер которого является $[B_1C_1]$, $V_2$ — объем многоугольника. Тогда при $h \cdot \cos \varphi < b$
   $$V_1 = \frac{1}{3} h^3 \cdot \sin 2\varphi \cdot \mathrm{tg} \alpha$$
   $$V_2 = \frac{1}{3} h^2 \cdot \sin \varphi \cdot \mathrm{tg} \alpha (3b - 2h \cdot \cos \varphi);$$
   при $h \cdot \cos \varphi \geq b$
   $$V_1 = \frac{1}{3} b \cdot \frac{\sin \varphi}{\cos^2 \varphi} \cdot \mathrm{tg} \alpha (3h^2 \cdot \cos^2 \varphi - b^2),$$
   $$V_2 = b^3 \cdot \frac{\sin \varphi}{\cos^2 \varphi} \cdot \mathrm{tg} \alpha.$$
   Указание. Пусть $D$ и $D_1$ — середины, соответствующего, отрезков BC и $B_1C_1$, $D_2$ — точка, в которой сечение пересекается с ломаной ADD$_1$. Тогда:
   если $0 < h \cdot \cos \varphi < b$, то $D_2 \in [DD_1]$ (рис. 5, а); если $h \cdot \cos \varphi > b$, то $D_2 \in [AD]$ (рис. 5, б). Если $h \cdot \cos \varphi = b$, то $D_2 = D$ и она ответа совпадает. При $\varphi = \pi/2$ плоскость сечения совпадает с $(A_1B_1C_1)$.
4. 2 альбома и 12 кипг или 5 альбомов и 10 кипг. Указание. Если $x$ — число альбомов, $y$ — число

*) Обратите внимание на следующую логическую тонкость. Для решения нашей задачи не требуется уметь доказательства ortоцентра в общем случае (то есть доказательство, что все три высоты произвольного треугольника пересекаются в одной точке). Мы лишь установливаем, что треугольник MNP имеет ortоцентр $S$, но этот треугольник строился определенным образом; заранее не оченьindo, что произвольный треугольник может быть так построен.

61

Указание. Воспользоваться равенством $2\cos x - \sin 2x - 3\sin x + \frac{5}{6}\sin^2 x = \frac{1}{6}[(2\cos x - 3\sin x)^2 + 6(2\cos x - 3\sin x) - 4]$.

Физика

1. Рассмотрим два предельных случая: 1) когда груз уже не скользит вниз по призме; 2) когда груз еще не движется вверх относительно призмы. Силы, действующие на груз в обих случаях, показаны на рисунке 7. а и б. Это — сила тяжесте $m\vec{g}$, сила реакции призмы $\vec{N}$ и сила треня $\vec{F}_{\text{тр}}$ ($F_{\text{тр}} = \mu N$). Обозначим ускорения призмы, а значит и груза, в первом и во втором случае через $\vec{a}_1$ и $\vec{a}_2$ соответственно. Спроектируем силы и ускорения на горизонтальном и вертикальном оси координат и запишем для груза соответствующее уравнение движения. Для случая 1) получим:
   $$N \sin \alpha - \mu N \cos \alpha = ma_1,$$
   $$N \cos \alpha + \mu N \sin \alpha - mg = 0,$$
   откуда
   $$a_1 = g \frac{\text{tg} \alpha - \mu}{1 + \mu \text{tg} \alpha} = 4 \text{ m/c}^2.$$
   Аналогично для случая 2)
   $$N \sin \alpha + \mu N \cos \alpha = ma_2,$$
   $$N \cos \alpha - \mu N \sin \alpha - mg = 0,$$
   и
   $$a_2 = g \frac{\text{tg} \alpha + \mu}{1 - \mu \text{tg} \alpha} = 11.5 \text{ m/c}^2.$$
   Таким образом, призму надо двигать с ускорением $\vec{a}$ таким, чтобы
   $$4 \text{ m/c}^2 = a_1 \leqslant a \leqslant a_2 = 11.5 \text{ m/c}^2.$$
2. Из закона сохранения энергии
   $$\frac{m\omega^2(l_1^2 + l_2^2)}{2} = mg(l_1 - l_2)$$
   находим угловую скорость $\omega$ системы:
   $$\omega = \sqrt{\frac{2g(l_1 - l_2)}{l_1^2 + l_2^2}} \approx 2.8 \text{ c}^{-1}.$$
3. Скорость шара $v$ в момент удара о стенку можно найти из kinematических соответствий
   $$v^2 = (v_0 \cos \alpha)^2 + (v_0 \sin \alpha - gt)^2,$$
   $$l = v_0 \cos \alpha \cdot t.$$
   Тогда из закона сохранения энергии
   $$\frac{mv^2}{2} = cm\Delta T$$
   найдем приращение $\Delta T$ температуры шара:
   $$\Delta T = \frac{(v_0 \cos \alpha)^2 + (v_0 \sin \alpha - gt)/(v_0 \cos \alpha))^2}{2c} \approx 8 \cdot 10^{-3} \text{ K}.$$
4. Запишем для стольника ртути второй закон Ньютона:
   $$m\omega^2 = p_0 S - p S.$$
   Здесь $m = qlS$ — масса ртути, $\omega$ — угловая скорость вращения трубки, $b$ — радиус окружности, по которой движется капелька ртути ($l$ по сравнению с $b$ можно пренебречь), $S$ — площадь секения трубки и $p$ — давление воздуха в трубке, которое находим из закона Бойля — Мариотта $p_0 dS = pbS$. Отсюда получаем
   $$\omega = \sqrt{\frac{p_0}{qlb} \left(1 - \frac{d}{b}\right)} \approx 25 \text{ c}^{-1}.$$
5. Работа силы тяжесте равна
   $$A = mgh,$$

Рис. 7.

где $h = gt^2/2$ — высота падения шарика. Время $t$ найдем, рассмотрев движение шарика в электрическом поле:
$$d = \frac{at^2}{2}, a = \frac{qU}{md}.$$
Тогда окончательно
$$A = \frac{(mgd)^2}{qU} \approx 8.6 \text{ мкДж}.$$
6. КПД электромотора равен отношению его механической мощности к мощности, потребляемой motorом от генератора. Согласно закону сохранения энергии, полная мощность $\mathcal{E}I$, расходуемая генератором, складывается из механической мощности $P_{\text{м}}$ электромотора и тепловой мощности $I^2(R + r)$, выделяющейся в motorе и генераторе:
$$\mathcal{E}I = P_{\text{м}} + I^2(R + r).$$
Отсюда
$$P_{\text{м}} = \mathcal{E}I - I^2(R + r).$$
Мощность, потребляемая электромотором, равна
$$P_{\text{п}} = UI = (\mathcal{E}I - Ir) I.$$
Позному КПД motorа
$$\eta = \frac{P_{\text{м}}}{P_{\text{п}}} = 1 - \frac{IR}{\mathcal{E}I - Ir} = 0.9 = 90\%.$$
7. В электрическом поле электрон прибретает кинетическая энергия
$$\frac{mv^2}{2} = eU.$$
В магнитном поле сила Лоренца сообщает электрону ускорение
$$a = \frac{eBv \sin \alpha}{m} = B \sin \alpha \cdot \sqrt{2U(e/m)^3} \approx 1.5 \cdot 10^{18} \text{ m/c}^2.$$
8. Возникающая в контуре ЭДС индукции
$$\mathcal{E}_i = \left| \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \right| = \frac{Br^2\omega}{2}$$
вызывает в контуре ток
$$I = \frac{\mathcal{E}_i}{R} = \frac{Br^2\omega}{2R}.$$
За один оборот контура в нем выделяется количество теплоты
$$Q = I^2RT = I^2R \frac{2\pi}{\omega} = \frac{\pi B^2 r^4 \omega}{2R} \approx 5 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}.$$
9. По формуле линзы
$$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$$
находим расстояние $f$ от изображения точки $A$ до линзы:
$$f = \frac{dF}{d-F}.$$

62

В момент прохождения нижнего положения линза движется со скоростью $v = \sqrt{2gd}$ по окружности радиуса $d$, а изображение — со скоростью $v' = v(d+f)/d$ по окружности радиуса $d+f$. Поэтому ускорение изображения равно

$$a = \frac{v'^2}{d+f} = 2g \frac{d}{d-F} = 100 \text{ m/c}^2.$$

10. Запишем для системы протон — atom геля законы сохранения импульса и энергии:

$$mv_0 = -mv_0/2 + Mv,$$
$$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv_0^2}{8} + \frac{Mv^2}{2} + W,$$

где $m = 1$ а.e.m. $= 1,67 \cdot 10^{-27}$ кг — масса протона, $M = 4$ а.e.m. — масса atoms геля, $W$ — энергия возбуждения atoms. Отсюда найдем

$$W = \frac{3}{8} mv_0^2 \left(1 - \frac{3m}{M}\right).$$

Возвращаясь в первоначальное состояние, atom излучает квант света, энергия которого равна энергии возбуждения:

$$hv = W,$$

откуда длина волны излучемого света

$$\lambda = \frac{c}{v} = \frac{hc}{W} = \frac{8hc}{3mv_0^2(1-3m/M)} \approx 0,6 \cdot 10^{-6} \text{ m}.$$

Московский институт стали и сплавов

Математика
Вариант 1

1. $2\frac{1}{4}$. 2. $|-1|$. 3. $|2|$. 4. 2. 5. 9. 6. 5. 7. 40.

Вариант 2

1. 3,6. 2. 1,4. 3. 1. 4. 2. 5. 0,64. 6. 15. 7. 72°.

Физика
Вариант 1

1. $T = 4\pi\sqrt{2R_3/g} \approx 14200 \text{ c}$.
2. $h_{\min} = 5R/2 = 10 \text{ m}$.
3. $\alpha = \arcsin \frac{l}{8h} = 30^\circ$.
4. $F_D = 4a^2(p_0 + \varphi ga/2) \approx 6 \cdot 10^7 \text{ H}$ (здесь $p_0 = 1,01 \cdot 10^5 \text{ Pa}$ — нормальное атмосферное давление, $\varphi = 10^3 \text{ kg/m}^3$ — плотность воды).
5. $\frac{V_c}{V_u} = \frac{1}{\sqrt{p_0/p_-1}} \approx 0,37$.
6. $\eta = \frac{cm(t_2-t_1)}{P\tau} \approx 80 \%$ (здесь $m = 2 \text{ кг}$ — масса двух литров воды).
7. $R_2 = 9R_1/8 = 90 \text{ Om}$.
8. $t = \frac{mFn}{Mjah} \approx 600 \text{ c} \approx 10 \text{ min}$ (здесь $F = 96500 \text{ KJ/mol}$ — постоянная Фарадей, $M = 64 \cdot 10^{-3} \text{ kg/mol}$ — молярная масса меди, $n = 2$ — валентность меди).
9. $q = 2\pi r^2B/R = 3,14 \cdot 10^{-6} \text{ KJ}$.
10. $F = 2l = 20 \text{ cm}$.
    Вариант 2
11. $F = \frac{\mu mg}{\cos \alpha + \mu \sin \alpha} \approx 11 \text{ H}$.
12. $E_k = m(v_0^2 + g^2t^2)/2 \approx 650 \text{ Дж}$.
13. $x = \frac{l(m_1+m/2)}{m_1+m_2+m} \approx 0,27 \text{ m}$.
14. $h \approx 390 \text{ m}$ (глубина ущелья определяется из уравнения $t = \sqrt{2h/g} + h/v$).
15. $m = \frac{p_0VM}{R} \left( \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \right) \approx 11,6 \text{ кг}$ (здесь $p_0 = 1,01 \cdot 10^5 \text{ Pa}$ — нормальное атмосферное давление).
16. $m = \frac{MV\varphi p_H/100\%}{RT} \approx 0,48 \text{ кг}$ (здесь $M = 18 \cdot 10^{-3} \text{ kg/mol}$ — молярная масса воды).
17. $W = W_0/4 = 0,25 \text{ Дж}$.
18. $E = k\sqrt{\left( \frac{q_1}{l_1^2} \right)^2 + \left( \frac{q_2}{l_2^2} \right)^2} = 15 \cdot 10^4 \text{ B/m}$ (здесь $k = 9 \cdot 10^9 \text{ H} \cdot \text{m}^2/\text{K} \cdot \text{m}^2$).
19. $R_\pi = \frac{\pi Q \cdot \sin \alpha \cdot \sin \beta}{2(\sin \alpha + \sin \beta)}$.
    Вариант 2
20. При $x < 0, f'(x) = 2x^{-2}$. Указание. В данном случае $\sqrt{x^2} = -x$.
21. $\{(0; -1)\}$. Указание. Сделав подстановку $x + 1 = u$, $2^{-y} = v$, разделите первое уравнение на второе; затем сделайте подстановку $u/v = t$.
22. $f$ возвращает на $]-\infty; -0,1]$ и на $[0,2; +\infty[$, убывает на $[-0,1; 0,2]$; $x = -0,1$ – точка максимума, $f(-0,1) = -2,9965$, $x = 0,2$ – точка минимума, $f(0,2) = -3,01$.
23. $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$ ($k = 0,1,2, \dots$).
24. $\frac{1}{3}l^2h \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha$.
    Задачи устного экзамена
25. $\lg(-a) + \lg(-b)$. 2. Указание. Задачка равновесия: докажите, что для всех $a, b$ таких, что $|a| < 1$, $|b| < 1$, имеем $|a+b| < |1+ab|$.
26. $|0; 1|$. 4. Нечетная. 5. Указание. Не забыть про область определения! 6. $\emptyset$. Указание. $tg \frac{7\pi}{20} = tg \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{10} \right) > 1$.
27. $\{(2\pi k; 0)\}$

63

(к ∈ Z). Указание: $\sqrt{y^2 + 1} \geq 1$. 8. Указание.
Рассмотите точку, симметрично точке A относительно (MN). 9. Решение. Из произвольной точки $M_1 \in [BA)$ опустим перpendикуляр $[M_1N_1]$ на $[BC)$. Пусть $P_1 = \text{Окр}(M_1, |M_1N_1|) \cap [BP)$. Из точки $P$ проведем прямую, параллельную $(M_1P_1)$. Тогда точка пересечения этой прямой с $[BA]$ — искомая. Замечание. Искомых точек — две. 10. Нет.

Физика

Писменный экзамен
Вариант 1
2. См. рис. 8.
3. $\alpha = \arctg n \approx 56^\circ 20'$.
4. $a = \frac{T(\cos \alpha + \mu \sin \alpha) - \mu mg}{m}$.
5. $t_4 = \frac{t_3(t_1 + t_5) - t_2(t_3 + t_5)}{t_1 + t_3 - 2t_2} \approx 32.2^\circ \text{C}$.

Вариант 2
2. См. рис. 9.
3. $d = (\Gamma + 1)F / \Gamma = 0,12$ м; $f = (\Gamma + 1)F = 0,6$ м.
4. $A = p_0V \Delta t / T$.
5. $Q = \frac{m_1v_1^2}{2} \left(1 - \frac{m_1}{m_2}\right) = 25$ Дж.

Рис. 8. Рис. 9.

Задания устного экзамена

1. $v = v_0 \sqrt{\frac{\sin \alpha - \mu \cos \alpha}{\sin \alpha + \mu \cos \alpha}} \approx 0,84$ м/c.
2. $E = \frac{Q}{\varepsilon_0 S} \approx 1,13 \cdot 10^5$ B/m; $W = \frac{Q^2 d}{2\varepsilon_0 S} \approx 5,65 \times 10^{-7}$ Дж.
3. $\eta = \frac{Nhc}{\lambda UI} 100\% \approx 0,08\%$.

Сколько воды в колбах?
(cm. с. 35)
В первом ряду (слева направо) стоит две половину заполнения и одна полная колбы, во втором ряду — пустая, полная и почти пустая.

«Квант» для младших школьников
(cm. «Квант» № 1)

1. Если «числовая часть» номера $ab - cd$, то условие задачи записывается в виде $10a + b + c + d = a + b + 10c + d = 100$. Из первого равенства следует $a = c$; теперь второе равенство записывается в виде $11a + b + d = 100$. Ясно, что число $a$ может равнять лише 8 или 9. При $a = 9$ $b + d = 1$; следовательно, в этом случае имеет 2 решения: 90—91 и 91—90. Если $a = 8$, то $b + d = 12$, и получаем еще 7 решения: 83—89, 84—88, 85—87, 86—86, 87—85, 88—84 и 89—83.

Рис. 10.
2. Ответ:
$\times 5734$
$\times 5327$
$\times 40138$
$\times 11468$
$\times 17202$
$\times 28670$
$\times 30545018$

3. Ответ приведен на рис. 10. Можно также поменять числа на внутренней и внешней окружности.
4. Количество орехов у Кости может быть любым натуральным числом, делящимся на 3.
5. Вблизи огня образуют конвекционные потоки воздуха, направленные наструктуры пламени. Объясняется это следующим образом: нагреваясь над огнем, воздуха становится легче и выше снять в тот момент, когда пожар приближится достаточно близко, то воздуха течение заставят встретный огонь распространяться наструктуры пожару. В этом и состоит «секрет» тушения пожара описанным в задание способом.

«Квант» для младших школьников
(cm. «Квант» № 2)

1. Если обозначить через $x$ первооначальное количество спичек в коробке, то можно написать следующие уравнения: $[(2x - 8) \cdot 2 - 8] \times 2 - 8 = 0$, откуда $8x = 56$, $x = 7$.
2. Ответ. $K = 9$, $A = 1$, первый сомножитель равен 12345679.
   Решение. Заметим, что $A$ меньше, чем $K$, иначе частное от деления произведения на $K$ имело бы 8, а 9 знаков. Но квадрат однозначного числа оказанется на число, меньше его, лишь для чисел 8 и 9. Если $K = 8$, то $A = 4$, но число 44444444 не делится на 8. Если $K = 9$, то $A = 1$, а число 111111111 при делении на 9 дает число 12345679.
3. Точка $A$ лежит на прямой $BC$ между точками $B$ и $C$.
4. Длина тропинки равна 4,9 км, либо 3,1 км, в зависимости от того, в какую сторону ехал Саша (это не оговорено в условиях задачи). Если бы длина тропинки равная 4,9 км, то Гриша потратил бы на дорогу в одну сторону 0,49 часа плюс время разговора. Но уже 0,49 часа больше 24 минут, значит, длина тропинки равна 3,1 км и время движения Гриши по ней равно 0,31 часа или 18 минут 36 с. Отсюда время разговора равно 24 минут — 18 минут 36 с = 5 минут 24 с.
5. Сначала заметим, что скорость вытекания воды уменшается с уменьшением высоты уровня жидкости и зависит только от этой высоты. Выделим в каждом сосуде по два слоя жидкости одинаковой толщины — один на высоте $h$ от дна, другой на высоте $H - h$ (рис. 11). Из симметрины видно, что суммы объемов двух слов обихос сосудов одинаковых. Рассмотрим суммарное