Московский инженерно-физический институт

55

Московский инженерно-физический институт

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1

1. Решите уравнение
   $$\sqrt{\sin x - \frac{1}{2}} \cdot \log_3 (x - 2) = 0.$$

2. Найдите критические точки функции
   $$f(x) = (2x - 1) \cdot \sqrt[4]{x - a}.$$

3. Основанием призывам $ABCA_1B_1C_1$ служит равноведенный треугольник $ABC$, у которого $|AB| = |AC|$, $\hat{A} = 2\alpha$ и высота $AD$ имеет длину $h$. Боковая грань $BB_1C_1C$ — прямогольник, плоскость которого составляет с плоскостью основания призывам угол величины $\varphi$. Через точку $A_1$ проведена плоскость, перpendикулярная ребру $AA_1$ и пересекающая призывам. Найдите объемы многогранников, на которых секущая плоскость разбиает призыва, если $|BB_1| = b$.

4. Набор одинаковых альбомов и одинаковых кингстон 40 руб., причем цена альбома 2 руб., а кинги — 3 руб. Если бы цена альбома была $k$ руб., кинги — 3 руб., то вес набор стон был 39 руб. Сколько альбомов и сколько кинг в наборе, если известно, что кинг в нем не меньше, чем альбомов?

Вариант 2

1. Разность между произведением двадцать первого и тринадцатого членов арифметической прогрессии и произведением четырнадцатого и двадцать второго членов этой же прогрессии равна $p$. Определите разность этой прогрессии, если сумма ее шестнадцатого и девятнадцатого членов равна $q$.

2. Плоскость, проходящая через точку $A$ бокового ребра $PQ$ правильно треугольной прямиды $PQRT$ и параллельная ребру $TR$, пересекает прямиду так, что сечением является треугольник, все внутренние углы которого имеют одинаковую величину. Найдите площадь этого треугольника, если известно, что апофема боковой грани прямиды равна $k$, боковая грань $PTR$ составляет с плоскостью основания угол величины $\varphi$ и $|AQ| = |0,75|AP$.

3. Найдите интегралы монотного возрастания функции
   $$f(x) = (c - 3) \cdot 5^x - (3c + 4) \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^x + 7.$$

4. Решите уравнение
   $$\cos^3 \frac{x}{3} \cdot (2 \cos x - \sin 2x) = \left(3 \sin x - \frac{5}{6} \sin^2 x\right) \cdot \sin^3 \left(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{3}\right).$$

Физика
Задание устного экзамена

1. На грань призывам, образуошей угол $\alpha = 30^\circ$ с горизонтом, положили груз (рис. 1). Коэффициент треугольника между груzem и признам $\mu = 0,35$. С каким ускорением нужно движать признам вдоль оси $X$, чтобы груз не скользил относительно признам ни вверх, ни вниз?

2. Два груза одинаковой массы укреплены на концах легкого стержня, согласно под прямым углом (рис. 2). Вершина угла является осью врашення, $l_1 = 40$ cm, $l_2 = 30$ cm. Стержень вывода из положения равновесия так, что груз, укрепленный на $l_2$, оказывается под осью врашення, а затем отпускают. Определите угловую скорость системы в момент, когда $l_1$ занимает вертикальное положение.

3. Пластиlnовый шар бросают со скоростью $v_0 = 10$ м/с под углом $\alpha = 60^\circ$ к горизонту по направлению к вертикальной стенке, расположенной на расстоянии $l = 6,3$ м от точки бросания. Шар приплпает к стенке. Считая, что вся книетическая энергия шара пошла на его нагревание, найдите приращение температуры шара. Удельная темперакость пластлина $c = 2,5 \times 10^3$ Дж/(кг·К).

4. В трубке, запаянной с одной конца, находится столик рутин длиной $l = 0,3$ см. Трубку вращают в горизонтальном плоскости вокруг оси, проходящей через ее закрытый конец. При какой угловой скорости вращения рутин достигает открытого конца, если в неподвижной горизонтальной трубке она находится на расстоянии $d = 64$ см от закрытого конца? Длина трубки $b = 80$ см. Внешнее давление $p_0 = 100$ кПа. Температура постоянна. Плотность рутин $\varphi = 13,6 \cdot 10^3$ кг/м³. Капиллярными эфективами пребегчь.

5. Небольшой шарик массы $m = 10$ мг, несущий электрический заряд $q = -0,4$ мкКл, вначале удерживают у поверхности одной из двух заряженных вертикальных пластин (а именно — у отрицательного заряженной), отстоящих друг от друга на расстоянии $d = 6$ см (рис. 3). Затем шарик отпускают без начальной скорости. Найдите работу, которое совершит над шариком силаяжестея за время его движения к положительной пластине, если разность потенциальов между пластинами $U = 10$ В.

6. Электромотор с сопротивлением обмоток $R = 2$ Ом подключен к генератору с ЭДС