khối đa diện Tori

3

khối đa diện Tori

A. V. BUSHMELEV, S. A. LAVRENCHENKO

Ghi chú này nói về cách tìm một khối đa diện hình xuyến (bánh rán) có số đỉnh ít nhất. Các mô hình bìa cứng của khối đa diện hình xuyến “kỷ lục” như vậy (với 7 và 8 đỉnh) được hiển thị trong các bức ảnh trên. Ghi chú không chỉ nói về lý thuyết của vấn đề mà còn đưa ra các công thức để tạo ra những mô hình như vậy.

Khối đa diện là một bề mặt bao quanh một thể tích nhất định và bao gồm một số hữu hạn các khối đa diện phẳng—các mặt của khối đa diện. Các cạnh của các mặt được gọi là cạnh. Mỗi cạnh kề với đúng 2 mặt. Bạn có thể di chuyển từ bất kỳ mặt nào sang mặt khác bằng cách đi qua các cạnh. Các mặt có thể giao nhau ở một đỉnh hoặc dọc theo toàn bộ một cạnh.

Giả sử rằng khối đa diện của chúng ta là cao su, và do đó, sau khi “thổi phồng” chúng như bóng bay, một trong số chúng sẽ giống hình cầu, số khác sẽ giống hình xuyến, số khác sẽ giống bánh crepe, v.v. (Hình 1). Trong tương lai, các khối đa diện sẽ chỉ bao gồm các khối đa diện có mặt hình tam giác.

Mạng lưới tam giác trên bề mặt

Khi một khối đa diện nhất định được “phồng lên”, các cạnh và các mặt bị cong, và một mạng lưới các hình tam giác cong được hình thành trên khối đa diện “thổi phồng”. Như vậy, mỗi khối đa diện tương ứng với một mạng tam giác trên một hình cầu (nếu khối đa diện đó thuộc loại hình cầu) hoặc trên một hình xuyến (nếu khối đa diện đó thuộc loại hình xuyến).

Mạng lưới tam giác như vậy có thể được vẽ trực tiếp trên bề mặt của hình cầu hoặc hình xuyến. Để làm điều này, bạn cần đánh dấu một số điểm (nút) nhất định trên bề mặt, nối chúng với các đường không giao nhau mà không tự giao nhau (cung) sao cho bề mặt được chia thành các phần (vùng), mỗi phần được giới hạn bởi treyagum và treyaguses, và giao điểm của hai vùng hoặc trống hoặc bao gồm một nút hoặc bao gồm một cạnh.

Triển khai mạng đa diện

Bây giờ, thật tự nhiên khi đặt ra câu hỏi sau: có phải mọi mạng tam giác được vẽ theo cách trên trên bề mặt của một hình cầu hoặc hình xuyến đều thu được từ các đỉnh, cạnh và mặt của một số khối đa diện của “sự lạm phát” của nó? Nói cách khác, liệu có thể nhận ra bất kỳ mạng tam giác nào trên một hình cầu hoặc hình xuyến như một khối đa diện thực sự sao cho các nút

4

và các đỉnh, cung và cạnh, vùng và mặt sẽ tương ứng một đối một với nhau trong khi vẫn duy trì tính liền kề (nghĩa là, sao cho các nút được kết nối bởi nút khác sẽ tương ứng với các đỉnh được kết nối bởi cạnh tương ứng và các cung bao quanh một vùng sẽ tương ứng với các cạnh giới hạn mặt tương ứng)?

Đối với một quả cầu dương, đáp số đã được thiết lập từ lâu bởi nhà toán học người Đức Steinitz, người cũng đã chứng minh rằng một khối đa diện nhận ra một mạng luôn có thể lồi. Sự khái quát hóa định lý Steinitz hiện đã được chứng minh là có thể giải quyết được trường hợp sau: mọi mạng tam giác trên một hình xuyến đều được hiện thực hóa bằng một khối đa diện.

Ví dụ về mạng tam giác trên hình xuyến

Để đưa ra những ví dụ như vậy, bạn có thể lấy một ống cao su có hình xuyến, đánh dấu các nút trên đó và vẽ các cung của mạng. Tuy nhiên, kết quả sẽ khó mô tả trên một tờ giấy, vì vậy chúng ta sẽ sử dụng cách phát triển hình xuyến trên mặt phẳng sau đây. Hãy vẽ hai đường khép kín trên máy ảnh của chúng ta - $C_1$ và $C_2$ (Hình 2a)). Sau đó, chúng ta cắt buồng dọc theo đường $C_1$ (Hình 26)), sau đó buồng có thể bị biến dạng thành hình trụ (Hình 2c)). Chúng tôi cắt hình trụ này dọc theo các đường $C_2$ và kéo dài những gì chúng tôi nhận được (Hình 2d) lên một mặt phẳng có dạng hình vuông (Hình 2e)). Vì vậy, hình xuyến có thể được mô tả trên mặt phẳng dưới dạng hình vuông với tỷ lệ các cạnh đối diện.

Nếu không có bằng chứng, chúng tôi báo cáo rằng danh sách các mạng hình tam giác trên một hình xuyến có 7 và 8 nút đã hết trong Hình 3.

Bài toán. Chứng minh rằng không tồn tại khối đa diện hình xuyến nào có ít hơn 7 đỉnh.

Gợi ý. Sử dụng công thức Euler $\Gamma - P + B = 0$ và sự tương ứng $3\Gamma = 2P$ (xuất phát từ thực tế là đối với mạng tam giác, mỗi cạnh liền kề với 2 mặt và mỗi mặt được giới hạn bởi 3 cạnh), trong đó $\Gamma$, $B$, $P$ lần lượt là số mặt, đỉnh và cạnh.

Phương pháp triển khai mạng với số lượng nút nhỏ

Hãy bắt đầu với việc triển khai mạng 6) (Hình 3) (mô hình được hiển thị ở trang 3 bên phải). Sáu đỉnh nằm trong một mặt phẳng nhất định $a = (v_2v_5v_7)$ (Hình 4). Trong cùng một mặt phẳng $a$ có 4 mặt - $v_7v_2v_3$, $v_7v_3v_8$, $v_8v_4v_5$, $v_2v_4v_5$. Hãy đặt đỉnh $v_1$ ở đâu đó phía trên $a$ và $v_6$ ở đâu đó bên dưới nó. Đối với mỗi mặt phát ra từ $v_1$ (từ $v$), cạnh đối diện với đỉnh $v_1$ (đỉnh $v_6$) nằm trong mặt phẳng $a$; Tất cả các cạnh như vậy được thể hiện bằng màu đỏ (đỏ) trong Hình 4.

Hãy chuyển sang triển khai các mạng còn lại. Chúng ta sẽ cần sự biến đổi của việc sắp xếp lại các khối đa diện (Hình 5), có thể được áp dụng cho các mặt nhợt nhạt mà khi kết hợp lại sẽ tạo ra một hình tứ giác lồi phẳng. Trong cấu trúc trên, chúng ta đặt $v_1$ phía trên cạnh $v_7v_5$ và $v_6$ bên dưới cạnh đó. Việc sắp xếp lại áp dụng cho gam $v_1v_7v_5$ và $v_6v_7v_5$ dẫn đến