Tổng quát hóa các con số

6

Tổng quát hóa các con số

Viện sĩ L. S. PONTRYAGIN

Bài viết này thảo luận về sự phát triển của khái niệm số - từ việc đếm các đồ vật thời cổ đại đến việc tạo ra số thực, số phức và tứ giác. Trong phần thứ hai của bài viết (trong số tiếp theo «Kvant»), dựa trên các tính chất cơ bản hiện đại của số, vectơ và đa thức, sẽ giải thích tại sao không thể khái quát hóa sâu hơn khái niệm số.

Khi những ứng dụng thực tế mới của số xuất hiện và khái niệm về số phát triển do sự phát triển của toán học lý thuyết, những con số mới xuất hiện. Việc sử dụng số thực tế đầu tiên là đếm đồ vật. Với mục đích này, các số nguyên dương đã được sử dụng, thường được gọi là số tự nhiên. Khi thay đổi độ dài và khi tính toán giao dịch, chúng ta phải chia các số nguyên cho nhau. Hơn nữa, kết quả của phép chia không phải lúc nào cũng là số nguyên. Do đó, nảy sinh nhu cầu về các số phân số hoặc các số hữu tỷ giống nhau. Để luôn có thể trừ một số hữu tỉ khỏi một số hữu tỉ khác, các số hữu tỉ âm phải được đưa vào. Do đó, một cổ phiếu hoặc tập hợp tất cả các số hữu tỷ đã được hình thành.

Ngay cả trong thời cổ đại, rất lâu trước khi xuất hiện các số âm, bắt đầu được xem xét vào giữa thiên niên kỷ của chúng ta, người ta đã xác định rằng tỷ lệ độ dài đường chéo của hình vuông với chiều dài cạnh của nó không phải là số hữu tỷ. Việc đưa ra những con số mới được gọi là số vô tỷ là cần thiết. Do đó đã hình thành nên tập hợp của tất cả các số thực.

§1. số phức

Khi đại số phát triển, các nhà toán học bắt đầu xem xét căn bậc hai của số âm. Căn bậc hai của số âm đã gặp phải trong quá trình tính toán, kết quả của nó hóa ra là số thực được đào tạo. Vì vậy, nảy sinh nhu cầu cộng các số mới - căn bậc hai của số âm. Trên thực tế, chỉ cần thêm một số “mới”, được gọi là đơn vị tối thiểu i, được xác định bởi điều kiện

$$i^2 = -1.$$

Số mới này tôi đã được thêm vào tập hợp tất cả các số thực. Với những con số nảy sinh theo cách này, tất cả các loại phép tính đại số đều phải được thực hiện, vì vậy chúng ta phải xét một đa thức cho i. Xét điều kiện (1), một đa thức bậc bất kỳ đối với

7

nhưng $i$ biến thành đa thức bậc một, tức là được viết dưới dạng $z=x+iy=x+yi$, (2)

trong đó $x$ và $y$ là các số thực thông thường. Các số có dạng (2) được gọi là số phức. Các phép toán cộng và nhân số phức được định nghĩa là các phép toán trên đa thức đối với $i$, có tính đến điều kiện (1) như sau. Nếu $z_1=x_1+y_1i; z_2=x_2+y_2i$ (3) là hai số phức thì tổng của chúng được xác định theo công thức

$$z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=\left(x_1+x_2\right)+\left(y_1+y_2\right)i.$$ (4)

Một vai trò đặc biệt trong số tất cả các số phức được đóng bởi số 0, được xác định bởi công thức

$$0=0+0i.$$ (5)

Nó có đặc tính đáng chú ý là

$$0+z=z+0=z.$$ (6)

Mỗi số phức tương ứng với số đối diện $-z$ của nó, được xác định bởi điều kiện

$$z+(-z)=0.$$ (7)

Sự tồn tại của một số đối diện cung cấp khả năng trừ. Chính xác

$$z_1-z_2=z_1+(-z_2).$$ (8)

Tích của các số $z_1$ và $z_2$ dưới dạng đa thức trong $i$, có tính đến sự tương ứng (1), cho kết quả như sau:

$$z_1z_2=(x_1+y_1i)(x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+\left(y_1x_2+y_1y_2\right)^2=x_1x_2-y_1y_2+\left(x_1y_2+x_2y_1\right)i.$$ (9)

Trong số tất cả các số phức dùng cho phép nhân, đơn vị được xác định theo công thức đóng một vai trò đặc biệt

$$1=1+0i.$$ (10)

Nó có các tính chất sau:

$$1z=z1=z.$$ (11)

Để chia số phức $z_1$ cho số phức $z_2$, chỉ cần xác định các đại lượng $1/z_2=z_2^{-1}$ là đủ. Số $z_2^{-1}$ được gọi là số nghịch đảo của số $z_2$. Đối với số phức $z=x+yi$ nghịch đảo được cho bởi

$$z^{-1}=\frac{x}{x^2+y^2}-\frac{y}{x^2+y^2}i.$$ (12)

Từ công thức này, rõ ràng số $z^{-1}$ luôn tồn tại khi $z \neq 0.$

Dễ dàng kiểm tra xem nếu số $z^{-1}$ được xác định theo công thức (12) thì ta có

$$z \cdot z^{-1}=z^{-1}z=1.$$ (13)

Bây giờ việc chia số phức $z_1$ cho số phức $z_2 \neq 0$ được xác định theo công thức

$$z_1/z_2=z_1\left(z_2^{-1}\right).$$ (14)

Do đó, một kho hoặc tập hợp hai số phức đã nảy sinh, trong đó có chứa tập hợp tất cả các số thực. Cụ thể đây là những số phức có dạng

$$z=x+0i.$$ (15)

Trên thực tế, khi cộng và nhân hai số phức dạng (15) $z_1=x_1+0i, z_2=x_2+0i$ theo công thức (4) và (9), chúng ta thu được (kiểm tra!) $z_1+z_2=(x_1+x_2)+0i$ và $z_1z_2=x_1x_2+0i$, tức là chỉ cần xem phép cộng và nhân các số thực $x_1$ và $x_2$. Như vậy, số phức không cần số $z=x+0i$ và số thực $x$, ta có thể coi số thực là một phần của số phức. Vì vậy, đa thức của số phức được gọi là phần mở rộng của đa thức của số thực.

Bài tập

1. Tìm $a^2, a+b^2, ab^{-1}$ nếu $a=2+3i, b=5-i$.
2. Giải các phương trình $az+b=0, az^2=b$ nếu $a=3+i, b=2-3i$.

§ 2. Định lý cơ bản của đại số

Để thu được tất cả các số phức của một số, chúng ta bắt đầu bằng cách chỉ cộng một số $i$ vào số thực, là nghiệm của phương trình đại số

$$z^2+1=0.$$ (16)

Tuy nhiên, hóa ra là nhờ đó chúng ta đã đi đến một tập hợp các số mà bất kỳ phương trình đại số nào cũng có ít nhất một nghiệm. Đây là định lý cơ bản của đại số, được chứng minh bởi nhà toán học vĩ đại người Đức K. F. Gauss vào đầu thế kỷ 18 và 19. Chúng ta hãy xây dựng định lý này một cách chính xác hơn.

Cho phép

$$f(z)=a_0z^n+a_1z^{n-1}+\dots+a_{n-1}z+a_m,$$ (17)

trong đó $a_0 \neq 0$ là đa thức bậc tùy ý $n \geq 1$ đối với $z$ với các hệ số thực. Sau đó

8

Carl Friedrich Gauss (1777–1855), nhà toán học vĩ đại người Đức, đồng thời là nhà thiên văn học, vật lý học và nhà khảo sát. Khả năng toán học xuất sắc của Gauss đã bộc lộ ngay từ thời thơ ấu. Vào thời điểm ông nộp luận án tiến sĩ ở tuổi 22, ông đã là tác giả của nhiều khám phá nổi bật, trong đó có chứng minh chính xác đầu tiên về định lý cơ bản của đại số. Ông đã xử lý định lý này với niềm đam mê đặc biệt và sau đó đã tìm ra không dưới sáu bằng chứng khác về nó! Thật khó để gọi tên một nhánh của toán học lý thuyết và ứng dụng mà Gauss không có đóng góp đáng kể. Trong số các vấn đề được nêu ra trong bài viết này, chúng tôi lưu ý một vấn đề khác được phát minh ra từ cách giải thích hình học của số phức, do đó các khả năng cuối cùng chống lại việc sử dụng số phức trong toán học đã biến mất.

$f(z)$ có ít nhất một nghiệm, tức là có một số phức $a$ sao cho

$$f(a) = a_0 a^n + a_1 a^{n-1} + \dots + a_{n-1} a + a_n = 0.$$

(18)

Định lý này đã được Gauss chứng minh cho hệ số thực $a_0, a_1, \dots, a_n$. Định lý này sau đó đã được chứng minh cho trường hợp các hệ số của đa thức $f(z)$ là số phức.

Lưu ý rằng đối với các số phức, phép nhân có tính chất giao hoán, nghĩa là các số nhân có thể đổi chỗ cho nhau:

$$z_1 z_2 = z_2 z_1.$$

(19)

Sau khi số phức đã được xây dựng và nghiên cứu, liệu có phát sinh thêm các khái quát hóa tiếp theo hay không. Có thể xây dựng các đại lượng với một số đơn vị tối thiểu, $i_1, i_2, \dots, i_k$, tức là một tập hợp các đại lượng - “số tổng quát” - có dạng

$$x = x_0 + x_1 i_1 + x_2 i_2 + \dots + x_k i_k,$$

(20)

trong đó $x_0, x_1, \dots, x_k$ là các số thực và đối với các đại lượng này, phép cộng và phép nhân xác định phép cộng và phép nhân, có các tính chất chung là phép cộng và phép nhân các số. Hóa ra những đại lượng như vậy có thể được xây dựng bằng đơn vị thứ ba $i_1, i_2, \dots, i_k$. Chúng được gọi là quaternion. Đối với họ, các tính chất chung của phép cộng và phép nhân số được đáp ứng, ngoại trừ định luật giao hoán của phép nhân (xem (19)). Vào cuối thế kỷ này, nhà toán học xuất sắc người Đức F. G. Frobenius đã chứng minh rằng không thể đi xa hơn nữa theo con đường này. Việc chứng minh định lý Frobenius, nội dung chính của bài viết này, sẽ được trình bày ở số tiếp theo.

Để chứng minh định lý Frobenius, tôi sẽ phải sử dụng một số kết quả đại số không có trong chương trình phổ thông nói trên, liên quan đến phép chia và phân tích nhân tử của đa thức.

§ 3. Chia đa thức

Khi chia số nguyên dương $a$ cho số nguyên dương $b$, ta thu được đẳng thức

$$a = bh + k,$$

(21)

trong đó $h$ và $k$ là số nguyên không âm, $k < b$. Số $h$ gọi là thương, $k$ là số dư khi chia số $a$ cho số $b$.

Phương pháp chia số được biết đến nhiều từ các đối số. Nhưng cũng giống như số nguyên, các đa thức có thể chia được cho nhau. Chúng ta sẽ bắt đầu từ hai đa thức:

$$a(z) = a_0 z^p + a_1 z^{p-1} + \dots + a_p,$$

$$b(z) = b_0 z^q + b_1 z^{q-1} + \dots + b_q.$$

(22)

Ở đây chúng ta sẽ giả sử rằng các số $a_0$ và $b_0$ không bằng 0, do đó đa thức $a(z)$ có ​​bậc $p$ và đa thức $b(z)$ có bậc $q$. Bằng cách chia đa thức $a(z)$ cho đa thức $b(z)$ ta thu được kết quả sau, tương tự như đẳng thức

9

trong (21):

$$a(z) \equiv b(z) h(z) + k(z),$$

trong đó bậc của đa thức $k(z)$ nhỏ hơn $q$. Đa thức $h(z)$ và $k(z)$ lần lượt được gọi là thương và số dư khi chia đa thức $a(z)$ cho đa thức $b(z)$.

Nếu $k(z)$ bằng 0 giống hệt nhau thì ta nói rằng đa thức $a(z)$ chia hết cho đa thức $b(z)$ và $h(z)$ là thương của phép chia của chúng.

Đẳng thức (21) đã được chứng minh bằng số học và đẳng thức (23) phải được chứng minh bằng đại số. Nhưng phép chia đa thức không được đưa vào chương trình giảng dạy ở trường hiện nay. Để chứng minh (23), chúng ta phải xây dựng các đa thức $h(z)$ và $k(z)$ thỏa mãn đẳng thức này. Quá trình xây dựng này là một thuật toán rất quan trọng. Thuật toán này rất giống với thuật toán chia góc thông thường. Do đó, trước khi phân tích nó một cách tổng quát, tôi khuyên bạn nên xem ví dụ thực tế về việc chia hai đa thức, được hiển thị trong Hình 1.

Bây giờ chúng ta hãy mô tả thuật toán chia đa thức $a(z)$ bậc $p$ cho đa thức $b(z)$ bậc $q$ trong trường hợp tổng quát. Nếu $p < q$ thì $h(z) \equiv 0$, $k(z) \equiv a(z)$ và đẳng thức (23) được thỏa mãn.

Bây giờ chúng ta có thể xây dựng các đa thức $h(z)$ và $k(z)$ với giả định rằng $p \geq q$. Đầu tiên chúng ta xây dựng danh tính

$$a(z) \equiv b(z) h_1(z) + a_1(z),$$

trong đó bậc của đa thức $a_1(z)$ nhỏ hơn $p$. Để làm điều này, hãy đặt

$$h_1(z) = \frac{a_0}{b_0} z^{p-q}.$$

Thế thì sự khác biệt

$$a(z) - b(z) h_1(z) \equiv a_1(z)$$

có bậc nhỏ hơn $p$, vì trong đa thức này hệ số $z^p$ bằng 0. Các lũy thừa còn lại $z$ có ​​trong đa thức này rất nhỏ hơn $p$. Do đó, danh tính (24) được xây dựng.

Nếu đa thức $a_1(z)$ có bậc nhỏ hơn $q$ thì đẳng thức (24) đã là đẳng thức (23). Mặt khác, chúng ta áp dụng cho đa thức $a_1(z)$ quy trình tương tự đã được áp dụng cho đa thức $a(z)$ khi xây dựng đồng nhất thức (24). Sau đó, chúng tôi nhận được danh tính

$$a_1(z) \equiv b(z) h_2(z) + a_2(z),$$

và bậc của đa thức $a_2(z)$ đã nhỏ hơn bậc của đa thức $a_1(z)$. Nếu đa thức $a_2(z)$ đã có bậc nhỏ hơn $q$, thì thay $a_1(z)$ từ đẳng thức cuối cùng vào đẳng thức (24), chúng ta thu được đẳng thức

$$a(z) \equiv b(z)(h_1(z) + h_2(z)) + a_2(z),$$

vốn đã là sắc rồi (23). Nếu đa thức $a_2(z)$ cũng có bậc lớn hơn $q$ thì chúng ta sẽ tiếp tục

Chúng ta sẽ xây dựng sâu hơn và cuối cùng chứng minh được đẳng thức cần tìm (23).

Ở đây chúng ta đã mô tả quá trình chia đa thức $a(z)$ cho đa thức $b(z)$, tức là tìm các đa thức $h(z)$ và $k(z)$ có trong đẳng thức (23). Bây giờ chúng ta hãy chứng minh rằng các đa thức này được xác định duy nhất bởi các đa thức $a(z)$ và $b(z)$. Giả sử rằng nếu chúng ta vi phạm danh tính (23), chúng ta có danh tính

$$a(z) \equiv b(z) h_0(z) + k_0(z),$$

và bậc của đa thức $k_0(z)$ nhỏ hơn $q$. Trừ đi danh tính (25) từ (23), chúng ta có được

$$b(z)(h(z) - h_0(z)) = k_0(z) - k(z).$$

Vì bậc của đa thức $b(z)$ bằng $q$ và bậc của đa thức $k_0(z) - k(z)$ nhỏ hơn $q$, nên đẳng thức sau chỉ có thể đúng với điều kiện $h(z) - h_0(z) \equiv 0$, sao cho $k_0(z) - k(z) \equiv 0$.

Chúng ta hãy lưu ý kết luận rằng trong quá trình chia đa thức $a(z)$ cho đa thức $b(z)$, số phức không thể xuất hiện, vì vậy nếu đa thức $a(z)$ và $b(z)$ có hệ số thực thì đa thức $h(z)$ và $k(z)$, nằm trong đẳng thức (23), cũng có hệ số thực.

Thực hành 3. Chia đa thức $x^8 + 2x^5 + 2x^4 + x^2 + 2x$ cho đa thức $x^3 + 1$.

§ 4. Phân tích đa thức thành các bội số tối giản

Cho phép

$$f_0(z) = z^n + a_1z^{n-1} + \dots + a_n$$

là một đa thức có bậc dương tùy ý $n$ với các hệ số thực hoặc phức tùy ý. Như đã lưu ý trước đó, đa thức này có ít nhất một nghiệm phức $a$. Bây giờ chúng ta hãy chứng minh rằng nếu $f_0(z)$ có ​​nghiệm asoid, thì đó là

$$f_0(a) = 0,$$

thì đa thức $f_0(z)$ chia hết cho hai biến $z - a$, nên đẳng thức đúng

$$f_0(z) \equiv (z - a)f_1(z),$$

trong đó rõ ràng $f_1(z)$ có mức độ $n-1$.

11

Cơm. 2.

là đa thức tối giản bậc một hoặc bậc hai có hệ số thực, sao cho thương $f_2(z)$ của phép chia số mới là đa thức có hệ số thực. Điều này có nghĩa là đa thức $f_0(z)$ phân hủy thành các đa thức thực bất khả quy bậc 1 hoặc bậc 2.

Một kết luận quan trọng được rút ra từ điều này:

Căn bậc a tùy ý của đa thức $f_0(z)$ là nghiệm của một đa thức tối giản bậc một hoặc bậc hai.

Bài tập 4. Phân tích đa thức $2x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 8x$ thành đa thức tối giản 1 và 2.

§ 5. Đệ tứ

Như đã đề cập, quaternion có ba đơn vị tối thiểu. Các đơn vị này thường được ký hiệu là $i, j, k$.

(37) Như vậy, mỗi quaternion được viết dưới dạng

$$x = x_0 + x_1 i + x_2 j + x_3 k,$$

(38) trong đó $x_0, x_1, x_2, x_3$ là các số thực gọi là tọa độ của quaternion $x$.

Cho phép

$$y = y_0 + y_1 i + y_2 j + y_3 k$$

• quaternion thứ hai. Các bậc bốn $x$ và $y$ được coi là bằng nhau khi và chỉ nếu tọa độ của chúng bằng nhau, nghĩa là khi đẳng thức giữ nguyên

$$x_0 = y_0, x_1 = y_1, x_2 = y_2, x_3 = y_3.$$

(40) Việc cộng các bậc bốn $x$ và $y$ được thực hiện theo quy tắc

$$x + y = x_0 + y_0 + (x_1 + y_1) i + (x_2 + y_2) j + (x_3 + y_3) k.$$

(41) Chúng ta có thể nói rằng các bậc bốn được cộng theo tọa độ, nghĩa là, giống như cách cộng các vectơ của không gian vectơ 3 chiều bằng cách cộng tọa độ của chúng. (Chỉ quaternion không có ba mà có bốn tọa độ.) Theo nghĩa này, quaternion có thể được coi là vectơ của “không gian bốn chiều”. Tất nhiên, rất khó để tưởng tượng không gian bốn chiều. Đây là lúc phân tích 3D có thể giúp bạn (Hình 2).

Khi nhân quaternions, các số thực có thể được sắp xếp lại theo đơn vị $i, j, k$. Vì vậy, để đặt ra quy tắc nhân bậc bốn, bạn nên đặt quy tắc nhân đơn vị (37). Nó sau:

$$i^2 = j^2 = k^2 = -1;$$

(42)

$$ij = -ji = k; \quad jk = -kj = i; \quad ki = -ik = j.$$

(43)

Ở dạng tổng quát, các công thức cộng và nhân của bậc bốn có thể tìm thấy ở «Kvant», 1983, số 9, tr. 13. Để định nghĩa một quaternion nghịch đảo với quaternion $x$, chúng tôi đưa ra khái niệm về quaternion liên hợp $\bar{x}$. Chúng ta sẽ xác định nó theo công thức

$$\bar{x} = x_0 - x_1 i - x_2 j - x_3 k.$$

(44)

Những phép tính đơn giản cho

$$x\bar{x} = x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = |x|^2.$$

(45)

Quaternion $x^{-1}$, nghịch đảo của $x$, được cho bởi

$$x^{-1} = \frac{\bar{x}}{|x|^2}.$$

(46)

Đối với nó có một sự tương ứng $x^{-1}x = xx^{-1} = 1$.