Bài toán M946—M950; F958—F962

29

Nhiệm vụ

M946—M950; F958—F962
M946. Hai parabol nằm trên một mặt phẳng sao cho trục của chúng vuông góc với nhau và các parabol cắt nhau tại bốn điểm. Chứng minh rằng bốn điểm này cùng thuộc một đường tròn.
L. P. Kuptsov

M947. Các số được viết thành một dòng trên bảng
$$1\frac{1}{2}\frac{1}{3}\frac{1}{4}\cdot\cdot\cdot\frac{1}{10}\frac{1}{11}\frac{1}{12}.$$
a) Chứng minh rằng dù ta đặt dấu “+” và “-” vào giữa các số này như thế nào thì tổng thu được vẫn không bằng 0.
b) Số chữ số nhỏ nhất phải xóa khỏi bảng là bao nhiêu để sau khi đặt dấu “+” và “-” giữa các số còn lại thì thu được tổng bằng 0?

M948. Tam giác đều ABC được bao phủ hoàn toàn bởi năm hình tam giác nhỏ hơn bằng nhau*). Chứng minh rằng tam giác ABC có thể che được hoàn toàn bởi 4 tam giác như vậy (các tam giác này có thể di chuyển được).
V. V. Proizvolov

M949. Cho các quả cân năm 1985 có khối lượng 1 g, 2 g, 3 g, …, 1984, 1985. Có thể chia chúng thành 5 nhóm sao cho số quả cân và tổng khối lượng của chúng ở cả 5 nhóm đều bằng nhau không?
E. P. Eroshenkov

M950. Hai mươi lăm cô lùn chia sẻ mảnh vườn ở Thành phố Hoa. Mỗi ô là một hình vuông $1 \times 1$ và tất cả các ô cùng nhau tạo thành một hình vuông $5 \times 5$. Mỗi người lùn đang cãi nhau với không quá ba người lùn. Chứng minh rằng có thể phân bố các ô sao cho các ô của hai người thấp bé cãi nhau không liền kề nhau. (Liền kề là những khu vực có một mặt chung.)
S. V. Kongazin

F958. Một trạm vũ trụ có khối lượng M và vệ tinh đồng hành có khối lượng m đang chuyển động quanh

*) Trong bài toán này, tam giác được xét cùng với diện tích bên trong của nó.

30

Trái Đất chuyển động theo quỹ đạo tròn có bán kính là 1,25R, trong đó R là bán kính Trái Đất. Tại một số thời điểm, vệ tinh bị đẩy ra khỏi trạm theo hướng chuyển động của nó và đi vào quỹ đạo hình elip với điểm viễn địa ở khoảng cách 10R tính từ tâm Trái đất. Với tỷ lệ m/M nào thì vệ tinh sẽ gặp trạm sau khi hoàn thành một vòng quanh Trái đất?

A. A. Biryukov, V. V. Danilyuk

F959. Ở độ ẩm không khí tương đối r₁=50%, nước uống trong đĩa bay hơi ngoài trời trong thời gian t₁=40 phút. Sẽ mất bao lâu để nước bay hơi nếu r₂=80%?

F960. Để có được hai cuộn dây hoàn toàn giống hệt nhau, chúng được quấn đồng thời trên một lõi không từ tính bằng cách sử dụng các dây gấp lại với nhau (hình 1). Một trong các cuộn dây được nối qua phím K với pin B có điện áp U₀, cuộn dây thứ hai với điện trở R. Chìa khóa được đóng lại. Tính cường độ dòng điện qua điện trở. Vẽ đồ thị cường độ dòng điện chạy qua pin theo thời gian.

Sau thời gian t chìa khóa được mở. Bao nhiêu nhiệt sẽ được giải phóng trong điện trở bắt đầu từ thời điểm này?

Độ tự cảm của mỗi cuộn dây là L. Pin được coi là lý tưởng. Bỏ qua điện trở của các dây.

F961. Để duy trì nhiệt độ nước không đổi trong bể cá có dòng chảy, hãy sử dụng hai lò sưởi giống hệt nhau (hình 2). Ở chế độ bình thường, một trong số chúng được sử dụng và nếu lò sưởi thứ hai được kết nối song song thì lượng nước lạnh tiêu thụ phải tăng lên 3 lần. Lưu lượng nước lạnh sẽ thay đổi như thế nào nếu các máy sưởi được mắc nối tiếp? Tốc độ dòng nước lạnh sẽ là bao nhiêu nếu bật một vòng xoắn ốc có công suất P=100 W? Nhiệt độ nước lạnh t₁=10 °C, nhiệt độ nước trong bể cá t₂=27 °C. Nước được trộn nhanh chóng.

A. R. Zilberman

F962. Các nguồn điểm nằm trên trục quang chính của thấu kính tạo thành dây tóc phát sáng đều (đi qua tiêu điểm của thấu kính). Tìm định luật thay đổi E(x) của độ rọi tại các điểm nằm trên cùng một trục ở phía bên kia của thấu kính và cách nó một khoảng x lớn (x≫F, trong đó F là tiêu cự của thấu kính).

M. A. Vorontsov, V. E. Kuntstsyn