Olympic toàn Nga dành cho học sinh lần thứ XI

Kvant 1985, số 10 tr. 52-54 Thẻ J40S

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

Theo truyền thống đã được thiết lập, giai đoạn cuối cùng, khu vực của Olympic Vật lý, Toán và Hóa học toàn Nga dành cho học sinh lớp 8-10 diễn ra trong kỳ nghỉ xuân. Trước giai đoạn khu vực là các kỳ thi Olympic cấp trường, quận, thành phố và khu vực (lãnh thổ), dựa trên kết quả mà mỗi khu vực (khu vực) sẽ chọn ra một người chiến thắng từ mỗi lớp ở mỗi môn học.

Năm nay, chặng cuối cùng của Olympic được tổ chức tại 4 thành phố - Smolensk (dành cho khu vực Tây Bắc), Kazan (dành cho khu vực miền Trung), Grozny (dành cho khu vực Tây Nam) và Omsk (dành cho Siberia và Viễn Đông). Ngoài ra, cùng lúc đó, chặng cuối của Olympic diễn ra tại các trường nội trú môn Vật lý và Toán thuộc các trường Đại học Leningrad, Moscow và Novosibirsk.

Nhiệm vụ toán học cho giai đoạn cuối cùng của Olympic bao gồm gót chân bài toán, mà lời giải được trả lời sau bốn giờ. Như bài kiểm tra cho thấy, học sinh gặp khó khăn nhất với bài toán ở các môn hình học, tổ hợp và phân tích. bài toán về việc phân tích một đa thức đã gây ra những khó khăn đáng kể cho học sinh lớp 8. Các thành viên ban giám khảo đã thảo luận chi tiết về bài toán cạnh tranh với các em học sinh và phân tích những lỗi điển hình.

Đặc biệt, chung kết Olympic Toán năm nay là vòng thi thực hành với sự tham gia của học sinh lớp 9, 10. Các nhiệm vụ được đề xuất ở dạng thực hành đã thu hút sự quan tâm lớn của cả học sinh Olympic và các trưởng nhóm: lần đầu tiên máy tính vi mô được sử dụng tại Olympic của chúng ta. Mặc dù kết quả của lời giải những bài toán này không được tính đến khi xác định người chiến thắng trong Olympic, nhưng những học sinh đạt thành tích tốt ở phần thực hành đã được trao chứng chỉ và giải thưởng đặc biệt. Tổng kết, Ban tổ chức Trung ương đã chấp thuận lời giải xem xét khả năng đưa vòng thực hành bài toán vào trong các kỳ thi Olympic bài toán mang tính cạnh tranh.

Giai đoạn cuối cùng của Olympic Vật lý được tổ chức theo hai loại - lý thuyết và thực nghiệm. Nhiệm vụ loại lý thuyết bao gồm năm bài toán, loại thử nghiệm - hai bài toán. Bốn giờ được phân bổ để hoàn thành mỗi nhiệm vụ. Theo kết quả kiểm tra, hóa ra việc truyền tải loại lý thuyết gây khó khăn nhất cho học sinh lớp 8, và việc truyền thứ hai loại lý thuyết cho học sinh lớp chín.

Những học sinh giành vị trí I-IV ở giai đoạn khu vực của Olympic toàn Nga đã được mang theo nhiều bằng cấp, chứng chỉ và những món quà đáng nhớ. Trong số các giải thưởng, đội RSFSR đã được thành lập để tham gia Olympic toàn Liên minh.

Các giáo viên chuẩn bị giải thưởng cho Olympic cũng được trao bằng khen đặc biệt.

Dưới đây là bài toán về toán học và vật lý của giai đoạn cuối cùng và tên các giải thưởng của Olympic toàn Nga lần thứ XI dành cho học sinh.

Toán học

lớp 8

Chứng minh rằng với mọi số khác 0 $x$ và $y$ thì bất đẳng thức sau đúng:
$x^4 + y^4 \leq \frac{x^6}{y^2} + \frac{y^6}{x^2}.$
Các số được viết thành một dòng trên bảng
$1 \frac{1}{2} \frac{1}{3} \frac{1}{4} \dots \frac{1}{10} \frac{1}{11} \frac{1}{12}.$

a) Chứng minh rằng dù ta đặt dấu “+” và “-” vào giữa các số này như thế nào thì tổng thu được vẫn không bằng 0.

b) Cần bao nhiêu số viết tối đa để có tổng bằng 0 sau khi sắp xếp “+” và “-” giữa các số còn lại?

Trên mặt phẳng dữ liệu có một đoạn $AB$ và một điểm $C$ , là điểm bên trong của đoạn $AB$ . Tìm tập hợp các điểm $M$ của mặt phẳng sao cho $\angle AMB = \angle ACM$ .

Hình tam giác đều $ABC$ được bao phủ hoàn toàn bởi năm hình tam giác đều bằng menshi. Chứng minh rằng tam giác $ABC$ có thể bị bốn tam giác như vậy bao phủ hoàn toàn. (Trong tam giác bài toán này được xem xét cùng với vùng bên trong của nó.)
Hãy coi đa thức $x^{1985} + x + 1$ là tích của hai đa thức.

lớp 9

Chứng minh rằng để dấu của các số $a, b, c$ giống nhau thì điều cần và đủ là các điểm không chính xác đúng

$ab + bc + ca > 0, \frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} > 0.$

Cho một tam giác nhọn $ABC$ . Chúng ta xem xét tất cả các hình bình hành có thể có $AKMT$ có các đỉnh $K, M, T$ lần lượt nằm trên các cạnh $AB, BC, CA$ .

a) Tại vị trí nào của điểm $K$ thì độ dài đường chéo $AM$ sẽ bằng nhau?

b) Tại vị trí nào của điểm $K$ thì độ dài đường chéo $KT$ sẽ bằng nhau? Trong trường hợp này, hãy mô tả phương pháp xây dựng điểm $K$ bằng compa và thước kẻ.

Cho các quả cân năm 1985 có khối lượng 1 g, 2 g, 3 g, …, 1984, 1985. Có thể chia chúng thành 5 nhóm sao cho cả số Girpa và tổng khối lượng của chúng ở cả 5 nhóm đều bằng nhau không?
Hai đường tròn bán kính $R$ và $r$ nằm trên một mặt phẳng sao cho cái này nằm ngoài cái kia. Hai tiếp tuyến ngoài và một tiếp tuyến trong được vẽ trên đường tròn. Tiếp tuyến bên trong cắt các tiếp tuyến bên ngoài tại các điểm $A$ và $B$ và dao động một trong các đường tròn tại điểm $C$ . Chứng minh đẳng thức đúng

$R \cdot r = |AC| \cdot |BC|.$

Cho một số tự nhiên $m$ . Dãy số $(x_n)$ được xây dựng như sau: $x_1 = 1$ , số $x_{n+1}$ với $n \ge 1$ bằng tổng các chữ số của số $mx_n$ . Chứng minh rằng trong dãy $(x_n)$ cần tìm hai số bằng nhau.

lớp 10

Chứng minh rằng phương trình $(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3=30$ không có lời giải ở dạng số nguyên.
Hai parabol nằm trên một mặt phẳng sao cho trục của chúng phân bố đều tại bốn điểm. Chứng minh rằng bốn điểm này cùng thuộc một đường tròn.
Trên mặt phẳng đã cho có một hình tam giác đều $ABC$ và một hình vuông $DEHK$ . Chúng được sắp xếp sao cho đỉnh $D$ của hình vuông là giữa cạnh $AC$ , đỉnh $E$ nằm trên cạnh $AB$ , đỉnh $H$ nằm trên cạnh $BC$ . Chứng minh rằng đỉnh $K$ nằm ngoài tam giác $ABC$ .
Các cạnh $AA_1, BB_1, CC_1$ của khối đa diện $ABCA_1B_1C_1$ nằm trên các đường thẳng song song $l_1, l_2, l_3$ của khối đa diện tương ứng. Nói chung, các mặt hình tam giác $ABC$ và $A_1B_1C_1$ của nó nằm trong các mặt phẳng không song song. Chứng minh rằng thể tích của khối đa diện bằng

$V = \frac{1}{3} \left( |AA_1| + |BB_1| + |CC_1| \right) \cdot S,$

trong đó $S$ là diện tích tam giác, các đỉnh

Cho với mười lăm chữ số thập phân:
$e=2,718281828459045...$
$\pi=3,141592653589793...$

Dùng compa và thước kẻ vẽ một điểm là trọng tâm của một hình tứ giác lồi được cắt từ một miếng gỗ dán đồng nhất.

Vật lý
Chuyến tham quan lý thuyết
lớp 8

Trong mạch hiển thị ở hình 2, hướng của pin không đổi, nhưng hướng $U$ của nguồn có thể thay đổi. Hóa ra ở $U_1=3$ không có dòng điện nào chạy qua nguồn. Pin sẽ không phóng điện theo hướng nào? Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của dòng điện qua bóng đèn theo chiều đi qua nó được thể hiện ở hình 3.

Hình 2. Hình 3.

Các điểm dừng con lăn $A$ và $B$ cho phép bạn “cố định” dầm ngang (hình 4). Bạn có thể ấn vào dầm bằng con lăn với lực không quá $F_0$ , nếu không dầm sẽ bị sập. Tải trọng lớn nhất có thể tác dụng vào đầu bên phải của dầm là bao nhiêu? Nó nên được định vị như thế nào? Trọng lượng dầm $m$ , chiều dài $L$ , khoảng cách ngang giữa các con lăn $l$ .

Hình 4.

Cậu bé làm tròn đều một hòn đá có khối lượng $m$ qua đầu, buộc nó vào một sợi dây có chiều dài $l$ (hình 5). Hóa ra u nang ở tay được bao quanh bởi một vòng tròn bán kính $l$ . Xác định bán kính của vòng tròn mà hòn đá di chuyển nếu lực cản của hòn đá là $\gamma v^2$ , trong đó $\gamma$ là hệ số không đổi cho trước, $v$ là tốc độ của hòn đá. Có thể bỏ qua lực hấp dẫn của hòn đá.

Hình 5. Hình 6.

Trên một ao đá có một khối lập phương (hình 6), vật liệu của nó có mật độ lớn hơn mật độ của nước 7 lần. Cạnh của hình lập phương là $a=2$ m. Khối lập phương đang cố gắng được nâng lên từ ngày sử dụng một thiết bị hoạt động theo nguyên lý tăng dần - một tấm chắn hình vuông ở cạnh $a$ , được gắn chặt vào cạnh trên của khối, từ đó không khí được bơm ra ngoài để tạo áp suất $p\approx 0$ . Có thể sử dụng thiết bị này để nâng một khối lập phương lên bề mặt không? Nếu không, nó sẽ tách ra khỏi quá trình bồi tụ ở độ sâu nào? $p_{atm}\approx 10^5$ Bố; $g\approx 10$ m/s $^2$ ; $\rho_b=10^3$ kg/m $^3$ .

lớp 9

Khi một phần không khí ẩm lăn xuống 4 lần thì áp suất của nó tăng lên 3 lần. Khi không khí tăng gấp đôi thì áp suất tăng gấp 5 lần so với lúc đầu. Mọi thứ xảy ra ở nhiệt độ không đổi. Độ ẩm tương đối lúc đầu là bao nhiêu?
Một đường ống dẫn dầu có đường kính $d_1$ sẽ bơm được một lượng dầu nhất định mỗi ngày. Hỏi mỗi ngày lượng dầu được bơm thêm bao nhiêu lần qua một đường ống dẫn dầu khác có đường kính $d_2=2d_1$ có cùng chiều dài nếu trạm bơm cung cấp cùng mức chênh lệch áp suất? Giả sử lực cản chuyển động của chất lỏng tỷ lệ thuận với tốc độ.
Một hình trụ có thành mỏng có bán kính $R$ được quay đến vận tốc góc $\omega_0$ và đặt giữa hai mặt phẳng nghiêng (hình 7; $a=\pi/4$ ). Hệ số ma sát trượt $\mu$ không phụ thuộc vào tốc độ trượt. Xác định số vòng mà xi lanh sẽ thực hiện trước khi dừng quay, nếu biết rằng trục xi lanh đã quay trong quá trình phanh.
Ước tính công suất tải mà cầu chì sợi trong mạng điện sẽ nổ nếu ở công suất $P_1=1$ kW, nó nóng lên đến $t_1=120$ °C ở nhiệt độ phòng $t=20$ °C. Hệ số điện trở nhiệt của vật liệu sợi là $a=4\cdot 10^{-3}$ K $^{-1}$ , nhiệt độ nóng chảy $t_{\pi l}=320$ ° C. Truyền nhiệt là một phép tính tỷ lệ thuận với chênh lệch nhiệt độ.

lớp 10

Trong một mạch dao động gồm một điện trở có điện trở $R$ , một cuộn dây có độ tự cảm $L$ và một tụ điện có điện dung $C$ mắc nối tiếp, xảy ra dao động tắt dần. Theo thời gian, biên độ dòng điện trong mạch giảm từ $I_1$ xuống $I_2$ . Hỏi nhiệt lượng tỏa ra trên điện trở trong thời gian đó là bao nhiêu?
Một vòng mỏng (bán kính $R$ ), khối lượng của nó có thể so sánh với khối lượng của hai vật nặng giống hệt nhau có kích thước không đáng kể gắn vào nó, được khoan giữa các vật nặng (hình 8). Đối với lỗ này, vòng được treo trên một thiết bị truyền động