Đỉnh Delaunay

Kvant 1986, số 3 tr. 10, 13, 14, 15 Thẻ 3I29

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

Đỉnh Delaunay

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
N. P. DOLBILIN

Một trong những đỉnh núi đẹp nhất trong khối núi Belukha ở Altai được gọi là “Đỉnh Delone”, được đặt theo tên của người leo núi đầu tiên. Cuộc sống và công việc của người đàn ông tuyệt vời này được mô tả ở đây.

Boris Nikolaevich Delaunay trước hết là một nhà toán học vĩ đại, và sự sáng tạo toán học chắc chắn là điều chính yếu trong cuộc đời của nhà khoa học xuất sắc này. Tuy nhiên, không thể chỉ nói về Boris Nikolaevich với tư cách là một nhà toán học, cũng như không thể chỉ ra chủ đề chính, trống rỗng, sáng sủa nhất của ông trong một tác phẩm đa âm phức tạp, vì nó gắn bó chặt chẽ với các chủ đề khác.

Cuộc đời của B. N. Delaunay, và ông đã sống được 90 năm, có thể được so sánh với cả một tác phẩm nghệ thuật. Nó vô cùng phong phú và đa dạng. Hơn nữa, quá trình liệt kê những khoảnh khắc đặc trưng nhất trong tiểu sử của ông sẽ đòi hỏi quá nhiều chỗ cho một bài báo. Trong danh sách theo trình tự thời gian như vậy, một trong những danh sách đầu tiên sẽ là

1897 - một cậu bé bảy tuổi đọc Faust của Goethe trong bản gốc, biết thuộc lòng các chương riêng lẻ của các tư thế và lần đầu tiên vẽ phong cảnh của mình bằng sơn dầu.

Đâu đó ở cuối danh sách sẽ bị hủy

1975, ngày 6 tháng 7 - Boris Nikolaevich, ở tuổi thứ 86 của cuộc đời, trải qua gần 25° dưới 0 trên một sông băng dưới đỉnh Khan Tengri ở độ cao 4200 m. Vào buổi sáng, anh đi trực thăng xuống Hồ Issyk-Kul và từ đó bay đến Frunze, nơi có nhiệt độ 40 độ. Đến cuối ngày, anh thấy mình đang ở sân bay gần Moscow, từ đó anh phải đến căn nhà gỗ nằm ở vùng lân cận Abramtsevo. Đến ga trên chuyến tàu cuối cùng, Boris Nikolaevich với chiếc ba lô nặng nề đi xuyên rừng vào đêm khuya và lạc đường. Bị lạc trong rừng vào ban đêm, anh ta vứt bỏ áo choàng của mình ở một nơi vắng vẻ và nhẹ nhàng, chỉ tìm thấy nhà của mình vào lúc bình minh.

Những chi tiết tiểu sử này một mặt cho thấy áp lực linh hoạt của B. N. Delaunay đã bộc lộ ngay từ khi còn rất sớm. Mặt khác, cho đến tuổi già, ông vẫn giữ được khí chất vui tươi trẻ trung và sức khỏe thể chất vượt trội đã cho phép ông tham gia vào cả công việc khoa học và du lịch với sự cống hiến hết mình vào cuối đời. Hình học số, tinh thể toán học, hình học rời rạc - đây là phạm vi công trình khoa học được viết bởi Boris Nikolaevich khi ông đã ngoài tám mươi. Altea và Caucasus, Carpathians và Tien Shan - đây là địa lý của cuộc hành trình được thực hiện bởi Boris Nikolaevich ở một thời đại tuyệt vời.

Boris Nikolaevich Delaunay sinh năm 1890 trong một gia đình giáo sư cơ khí. Như người ta đã nói trước đây, ông đã nhận được một nền giáo dục xuất sắc. Việc nghiên cứu âm nhạc của anh ấy rất kỹ lưỡng. Biết và yêu thích Bach và Mozart. Chơi rất nhiều bản sonata của Beethoven

hệ số $p(a, x_1, \dots, x_n)$ , rằng không có thuật toán nào cho phép mỗi giá trị nguyên của tham số $a$ tìm ra xem số nguyên lời giải có phương trình hay không

$p(a, x_1, \dots, x_n) = 0.$

Phương trình khuếch tán đơn giản nhất có lẽ là phương trình bậc một với hai ẩn số

$ax + by = 1,$

trong đó $a$ và $b$ là số nguyên. Nếu $a$ và $b$ có thừa số chung thì lời giải không có. Nếu $a$ và $b$ là nguyên tố cùng nhau thì lời giải là vô số (để biết thêm chi tiết, xem «Kvant» 1973, số 4, trang 38). Theo các nhà sử học toán học, lý thuyết về các phương trình như vậy đã được nhà toán học Ấn Độ Arribhata vạch ra vào thế kỷ thứ 5-6. N. đ. (nhân tiện, vệ tinh Trái đất nhân tạo đầu tiên của Ấn Độ được đặt theo tên ông).

Bước khó khăn nhất tiếp theo sau phương trình tuyến tính tự nhiên là phương trình bậc hai tương tự

$ax^2 + bxy + cy^2 = 1.$

Một phần quan trọng của phương trình bậc 2 là phương trình Pell

$x^2 - dy^2 = 1$

được nghiên cứu bởi Euler (để biết thêm chi tiết, xem «Kvant» 1985, số 1, trang 20). Nếu $c (>0)$ là bình phương của một số nguyên thì ngoài lời giải (1; 0) hiển nhiên, không có số nguyên nào khác lời giải. Nếu $c$ không phải là bình phương của một số nguyên thì lời giải là vô số. Nghiên cứu về dạng tổng quát của phương trình khuếch tán bậc 2 được thực hiện bởi nhà toán học người Pháp Lagrange (1736-1813).

Đối với lời giải phương trình khuếch tán ở mức độ cao hơn, không có điều kiện máy chủ nào cho vấn đề này cho đến đầu thế kỷ 20. Điều này khiến cho câu hỏi về phương trình vi phân bậc 3 trở thành một bài toán khó. Về vấn đề này, Boris Nikolaevich, người luôn nêu rõ mong muốn đảm nhận những công việc khó khăn, quan trọng bài toán, không lãng phí tài năng và thời gian của mình vào những chuyện vặt vãnh, đã để lại sự lựa chọn của mình.

Thật không may, hoặc có lẽ là không, Delaunay đã không biết về công trình của nhà toán học Na Uy A. Thue, được xuất bản trước đó không lâu.

Thue xét phương trình vi phân dạng

$a_0 x^n + a_1 x^{n-1} y + \dots + a_{n-1} x y^{n-1} + a_n y^n = b (1)$

và chứng minh rằng với $n \geq 3$ chúng chỉ có thể có số hữu hạn lời giải, tất nhiên, nếu

Chân Dung Người Cha (hình Boris Delaunay)

vế trái của phương trình không khai triển thành tích của các đa thức có hệ số hữu tỷ chứa các thành phần bậc nhỏ hơn 3. (Nếu khai triển chứa đa thức bậc hai hoặc bậc một thì lời giải có thể là vô số.)

Định lý Thue là một trong những định lý cơ bản nhất trong lý thuyết phương trình vi phân. Tuy nhiên, bằng cách khẳng định với mỗi vi phân của phương trình thuộc loại đã chỉ ra rằng số lời giải là hữu hạn, định lý Thue không thể nói lên điều gì về cách tìm những lời giải này. Nó không nói gì về giới hạn trên của các giá trị lời giải của một phương trình cụ thể. Và điều này rất quan trọng. Hãy tưởng tượng rằng từ các hệ số của một phương trình vi phân cụ thể, chúng ta có thể tính CONSTANTу $c$ , điều này phụ thuộc vào việc vượt quá các giá trị tuyệt đối $|x_0|, |y_0|$ đối với bất kỳ số nguyên lời giải $(x_0, y_0)$ nào của phương trình vi phân này. Sau đó, bằng cách thay thế vào phương trình tất cả các cặp số nguyên $(x, y)$ có thể có với điều kiện $|x|, |y| < c$ , chúng ta có thể tìm thấy tất cả lời giải của một phương trình cụ thể. Bản thân định lý Thue không có hiệu quả trong vấn đề này.

Các nghiên cứu của B. N. Delaunay liên quan đến các phương trình bậc 3, nhưng, như chúng ta sẽ thấy, cho kết quả rất hiệu quả và toàn diện. Đầu tiên, ông bắt đầu nghiên cứu phương trình tương tự bậc ba của phương trình Pell:

$ax^3 + y^3 = 1,$

trong đó số nguyên $a$ không phải là lập phương của một số nguyên. (Trong trường hợp $a$ là lập phương của một số nguyên, vế trái của phương trình được mở rộng thành tích của các đa thức có hệ số nguyên và phương trình bậc ba của Pell đưa ra bằng chứng cho các phương trình khuếch tán lời giải của bậc 1 và bậc 2.)

Phương trình bậc ba của Pell luôn có ít nhất một lời giải

không - (0; 1). Có lời giải nào khác không, và nếu có thì là cái nào?

Đáp số những câu hỏi này liên quan đến việc nghiên cứu một tập hợp số có dạng $A^3\sqrt{a^2}+B^3\sqrt{a}+C$ (A, B, C ∈ Z), trong đó a là hệ số của phương trình Pell).

Trong số những số này, đơn vị nổi bật, tức là những số có hình dạng giống nhau. Ví dụ: khi a=2, số $3^2-1$ là một, vì nghịch đảo của nó là $\varepsilon^{-1}=3^2+3^2+1$ . Được biết, với mỗi số nguyên a ( $3^2\notin Z$ ) trong số các đơn vị sẽ có một đơn vị (cơ bản) $\varepsilon_0$ , 0 < $\varepsilon_0<1$ , từ đó tất cả các đơn vị (dương) khác có được bằng cách nâng lên lũy thừa số nguyên.

Thể hiện sự khéo léo đặc biệt, B. N. Delaunay đã chứng minh một định lý khó: phương trình $ax^3+y^3=1$ , trong đó a là số nguyên, nhưng không phải là số nguyên lập phương, có thể có, ngoài lời giải (0, 1), không nhiều hơn một lời giải trong số nguyên; lời giải thứ hai tồn tại khi và chỉ nếu đơn vị cơ sở $\varepsilon_0$ là nhị thức, nghĩa là có dạng $\varepsilon_0=X_0^3\sqrt{a}+Y_0$ , và sau đó lời giải thứ hai là $(X_0, Y_0)$ .

Về việc tìm đơn vị cơ bản, hai mươi năm trước Voronoi đã đưa ra một thuật toán để tính nó.

Ví dụ: đối với phương trình $4x^3+y^3=1$ đơn vị cơ bản là ba số hạng, do đó phương trình này không có lời giải nào khác ngoại trừ (0; 1). Và phương trình $37x^3+y^3=1$ , trong đó đơn vị cơ bản là nhị thức, $\varepsilon_0=-3^3\sqrt{37}+10$ , có hai lời giải (0,1) và (-3, 10).

Sau đó B. N. Delaunay chuyển sang trường hợp tổng quát hơn của phương trình bậc ba với hai ẩn số của phân biệt âm

$ax^3+bx^2y+cxy^2+dy^3=1$ , (A) trong đó các hệ số a, b, c, d là số nguyên và các từ “trong trường hợp phân biệt âm” có nghĩa là phương trình đa thức tương ứng $at^3+bt^2+ct+d$ có một nghiệm thực duy nhất $t_0$ . Ngược lại, bài toán cũng giảm xuống việc nghiên cứu các đơn vị học kỳ hai học kỳ. Sau “thuật toán tăng dần” do ông tạo ra, B. N. Delaunay thu được kết quả hàm số sau: trong trường hợp tổng quát, phương trình dạng (A) có không quá ba lời giải trong

số nguyên. Chỉ trong hai trường hợp, phương trình dạng (A) có số chẵn lời giảis, và trong một trường hợp khác phương trình có năm lời giảis. Không có phương trình dạng (A) nào có nhiều hơn gót chân lời giải. (Do đó, phương trình $x^3-xy^2+y^3=1$ có năm lời giải: (1; 1), (1; 0), (0; 1), (-1, 1), (4, -3) và thực tế là không có lời giải nào khác xuất phát từ định lý Delaunay.

Các công trình của B. N. Delaunay về phương trình bậc ba có lẽ đã đánh dấu cdwg máy chủ đầu tiên sau Euler và Lagrange theo hướng nghiên cứu cụ thể về các phương trình bậc cao hơn. Thành công không phải ngẫu nhiên. Hàng nghìn giờ làm việc tận tâm là cái giá để giải quyết một vấn đề khó khăn. Làm việc chăm chỉ, ý chí, sự cống hiến và tất nhiên, tình yêu dành cho khoa học - nếu không có những phẩm chất này thì cuộc sống sẽ không thể tồn tại được. Hơn nữa, chúng tôi đến làm việc trong những điều kiện đặc biệt: Denikites và Petliurists, “Kaiserites” và White Poles, “Greens” và “Zhovtolakitnye” - những kẻ đã khủng bố Kyiv trong cuộc nội chiến…

Có thể nói, khi xác định ý nghĩa của kết quả, B.N. Delaunay vẫn duy trì nhịp độ gần như liên tục cho đến cuối những năm 60. Là thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô D.K. Faddeev đã viết:

“Xét về tính cụ thể của phân tích, sự đơn giản và rõ ràng, chu trình làm việc của B. N. Delaunay, dành riêng cho các phương trình bất định, là đặc biệt trong toán học thế kỷ 20 với bộ máy thường cồng kềnh và các cấu trúc trừu tượng. Theo phong cách của nó, chu trình này gần với những ví dụ điển hình nhất về các tác phẩm cổ điển của Gauss và Chebyshev về lý thuyết số.”

Sau chu kỳ nghiên cứu các phương trình diophantine, B. N. Delaunay vẫn còn 60 năm hoạt động sáng tạo, điều này đã bổ sung thêm uy tín của một nhà đại số lớn cho thẩm quyền của một nhà hình học lớn. Sự kết hợp nghiên cứu của ông với hình học diễn ra một cách tự nhiên. Vai trò của định nghĩa ở đây được thực hiện bởi sự tiếp xúc trong quá trình nghiên cứu các phương trình bất định với công trình của Voronoi. Nhưng lý do chính cho việc hình học hóa nghiên cứu của B. N. Delaunay là sự chỉ định đặc biệt của ông, nhận thức nghệ thuật về thế giới.

V.N. Delone trước chuyến du lịch (thập niên 70)

Đặc điểm là Boris Nikolaevich không bao giờ muốn dành năng lượng hoặc thời gian để đưa sự hiểu biết về một kết quả toán học dường như đã hoàn thành đến mức mà kết quả đó có thể hình thành dưới dạng một hình học thông thường. “Điều này đơn giản có nghĩa là gì?” - Câu hỏi yêu thích của Boris Nikolaevich, câu hỏi mà ông đã tự hỏi mình và các đồng nghiệp khi thảo luận về công việc tiếp theo của mình. Không phải ngẫu nhiên mà trong tác phẩm của ông, họ “kéo các đường song song chia đôi”, “duỗi mũi”, “cho quả bóng bay” giữa các điểm nằm rải rác trong không gian.

Sự công nhận thành tích khoa học không mất nhiều thời gian: năm 1929, V. N. Delaunay được bầu làm thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô. Tính đến thời điểm này, anh đã làm việc chuyên nghiệp tại Đại học Leningrad được bảy năm. Những bài giảng cực kỳ rõ ràng, chu đáo của ông đã khơi dậy sự quan tâm lớn của sinh viên. V.N. Delone không bao giờ bỏ lỡ cơ hội để nói với họ về một vấn đề khó khăn chưa được giải quyết. Trong quá trình giảng dạy của mình, V. N. Delaunay đã được hướng dẫn bởi nguyên tắc nổi tiếng “Học sinh không phải là một chiếc bình cần được đổ đầy mà là một ngọn đuốc cần được thắp sáng”. Thẩm quyền khoa học cao, thái độ tận tâm và đồng thời tự nhiên đối với khoa học, sức hấp dẫn cá nhân, tính nghệ thuật - tất cả những điều này đã thu hút giới trẻ đến với anh. Không có gì đáng ngạc nhiên khi Boris Nikolaevich có nhiều học sinh, trong đó có các nhà toán học xuất sắc: Viện sĩ A. D. Aleksadrov, các thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô D. K. Faddeev và I. R. Shafarovich.

Vào mùa xuân năm 1934 tại Leningrad, B. N. Delone đã tổ chức Olympic toán học đầu tiên cho học sinh, đây thực sự là khởi đầu cho phong trào Olympic ở nước ta. Những người tham gia Olympic Leningrad vẫn còn nhớ “ấn tượng tuyệt vời” khi gặp Boris Nikolaevich đối với họ (xem «Kvant» 1984, số 9, trang 52).

Năm 1934, Viện Toán học mang tên. V. A. Steklova, nơi B. N. Delaunay từ ngày thành lập đã đứng đầu khoa đại số (cho đến năm 1960), và sau đó là khoa hình học. Năm 1935, Viện Toán học Naiad cùng với các tổ chức hàng đầu khác của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô được chuyển đến Moscow. Cùng năm đó, B. N. Delone đứng đầu khoa hình học tại Đại học Moscow. Khi làm việc tại Đại học quốc gia Moscow, ông đã giảng dạy một khóa học đầu tiên về hình học giải tích, nổi bật bởi sự phong phú đặc biệt của các ý tưởng hình học. Những sinh viên hân hạnh được tham dự các bài giảng của B. N. Delaunay hầu như không nghi ngờ rằng những mô tả tuyệt vời của họ ẩn chứa sự chuẩn bị kỹ lưỡng. Vì vậy, trong những năm đầu tiên, anh ấy phải mất trọn hai ngày để chuẩn bị một bài giảng dài hai giờ, sau đó là một ngày. Boris Nikolayevich không thể chịu đựng được sự hời hợt hoặc sơ suất; anh ấy trau chuốt mọi ý tưởng, xác minh từng lời nói, tuyệt vọng từng hình. Và, kết quả của việc này, trong bài giảng, những “mèo affine” dễ thương, những parabol và hyperbol thanh lịch, những con số thập phân và những con icoasdes rõ ràng nhanh chóng xuất hiện trên bảng đen. Tuy nhiên, vào thời điểm đó, sinh viên cơ chế Đại học quốc gia Moscow đã có hàng loạt giai thoại về các giáo sư của họ về chủ đề này: