Descartes vẽ tiếp tuyến như thế nào

5

Descartes vẽ tiếp tuyến như thế nào

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. D. VENDUKIDZE

Bài toán về cách vẽ tiếp tuyến là một trong những hình học bài toán quan trọng nhất. Vấn đề này đã được người Hy Lạp cổ đại giải quyết, họ đã giải quyết thành công trong một số trường hợp. Đặc biệt, họ biết cách xây dựng các tiếp tuyến của một hình tròn, hình elip, hyperbol, parabol… Nhưng họ không có một phương pháp chung và trong mỗi trường hợp riêng lẻ, họ phải hành động tương ứng - áp dụng một hoặc một tính chất khác của tiếp tuyến được vẽ (ví dụ, trong trường hợp đường tròn, họ dựa vào một thực tế nổi tiếng là tiếp tuyến vuông góc với bán kính vẽ đến điểm tiếp tuyến).

Năm 1637, một trong những cuốn sách nổi tiếng nhất trong lịch sử khoa học đã được xuất bản - “Hình học” của Descartes. Trong đó, tác giả cùng với các kết quả nghiên cứu quan trọng khác của mình còn trình bày một phương pháp mở rộng để vẽ tiếp tuyến - gọi là phương pháp chuẩn tắc. (Các nhà sử học đã chứng minh rằng Descartes đã sở hữu nó ngay từ năm 1629.) Mục đích của bài viết này là giới thiệu với người đọc về phương pháp này.

Hãy bắt đầu với khái niệm bình thường. Đường pháp tuyến tại một điểm cho trước là đường thẳng đi qua điểm này vuông góc với tiếp tuyến. Đặc biệt (và điều này rất quan trọng đối với phương pháp Descartes), nếu đường thẳng đã cho là một đường tròn thì pháp tuyến là một đường thẳng chạy dọc theo bán kính có điểm cuối tiếp tuyến. Rõ ràng là nếu cho trước một pháp tuyến, chúng ta có thể dễ dàng dựng một tiếp tuyến. Đây chính xác là những gì Descartes đã làm: đầu tiên ông xây dựng đường chuẩn và chỉ sau đó là tiếp tuyến (do đó có tên là phương pháp của ông). Để xây dựng pháp tuyến, Descartes sử dụng phương pháp tọa độ do chính ông phát triển, phương pháp này cho ông cơ hội giải phương trình hình học bài toán bằng đại số. (Nhân tiện, điều này một lần nữa nhấn mạnh tính thống nhất của toán học.)

Để xây dựng pháp tuyến tại điểm $P(x_0; y_0)$ với đường cong đại số $L$ cho bởi phương trình $F(x, y)=0$ (Descartes quan tâm đến việc xây dựng pháp tuyến hơn là rút ra phương trình của nó), cần tìm điểm giao nhau $C(c; 0)$ của pháp tuyến với trục hoành. Nếu $CP$ là pháp tuyến thì đường tròn có tâm tại điểm $C$ và bán kính $CP$ chạm vào đường cong đã cho $L$ tại điểm $P$ (hình 1); nếu tâm của đường tròn ít nhất bị dịch chuyển một chút từ $C$ sang một điểm khác trên trục x $C'$, thì đường tròn có bán kính $C'P$ sẽ gặp đường cong đã cho $L$ trong vùng lân cận của điểm $P$ ít nhất ở một điểm nữa. Do đó, đường tròn mong muốn, với một đường cong cho trước $L$, phải có hai hoặc nhiều điểm chung được hợp nhất thành một. Tọa độ của các điểm giao nhau của đường cong $F(x, y)=0$ và đường tròn $(x-c)^2+y^2=(x_0-c)^2+y_0^2$ được tìm thấy bằng cách cùng nhau giải phương trình của chúng, trong đó một trong các tọa độ bị loại bỏ. Nếu các điểm giao nhau tại $P$ trùng nhau, thì nghiệm $x=x_0$ (hoặc $y=y_0$) của phương trình thu được ít nhất phải gấp đôi và điều này đặt ra một điều kiện nhất định đối với số lượng mong muốn $c$.

Tất nhiên, đối với độc giả hiện đại, phương pháp của Descartes có vẻ giả tạo và không hiệu quả. Trước hết, phương trình tiếp tuyến của đường cong phân tích đã cho $F(x, y)=0$ được viết tự động hoành độ bằng cách sử dụng các phương trình tùy ý (tuy nhiên, điều mong muốn là có thể lấy đạo hàm một hàm đã cho không bên trái). Nhưng ngay cả khi bạn không biết các công thức tùy ý (và Descartes cũng không biết chúng), sẽ thuận tiện hơn khi dựng đường tiếp tuyến, bỏ qua các cách dựng trung gian: thay vì sử dụng phương pháp mô tả ở trên để dựng đường tròn tiếp xúc với một đường cong cho trước, bạn có thể (và thậm chí còn dễ dàng hơn) dựng ngay một đường thẳng tiếp xúc với một đường cong cho trước. Đối với chúng tôi, phương pháp của Descartes chủ yếu mang tính lịch sử; thứ hai, nó rất thú vị đối với chúng tôi (cũng như đối với Descartes) vì nó cho phép chúng tôi thu được phương pháp tọa độ.

Descartes giải thích phương pháp của ông bằng các ví dụ, trong đó có ví dụ về hình elip. Hãy xem xét ví dụ này.

6

Hình 2.

Hãy nhớ lại rằng hình elip là một đường thẳng thu được bằng cách nén một vòng tròn theo đường kính của nó. Cụ thể, nếu hình tròn $x^2+y^2=a^2$ được lăn về phía trục x thì kết quả là hình elip

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1. \quad (1)$$

Ở đây $b=ta$, trong đó $t$ là hệ số sẹo lồi (hình 2).

Vì vậy, cho một hình elip (1), điểm $P=(x_0; y_0)$ nằm trên đó và chúng ta cần kiểm tra tiếp tuyến của hình elip tại điểm này.

Vẽ đường tròn có tâm tại điểm $C=(c; 0)$ và đi qua điểm $P$. phương trình của nó là

$$(x-c)^2+y^2=(x_0-c)^2+y_0^2$$

(ở đây $c$ là một tham số chưa được biết), hoặc

$$x^2+y^2-2cx-x_0^2-y_0^2+2cx_0=0. \quad (2)$$

Nên chọn tham số $c$ sao cho hình tròn (2) có hai điểm giao nhau được hợp nhất (hình 3) ​​​​với hình elip (1) tại $P$. Để làm được điều này điều cần và đủ là hệ phương trình

$$\left\{ \begin{array}{l} b^2x^2+a^2y^2-a^2b^2=0, \\ x^2+y^2-2cx-x_0^2-y_0^2+2cx_0=0 \end{array} \right.$$

đã có lời giải $(x_0; y_0)$ và $(x_0; -y_0)$. (Ở đây chúng ta tính đến tính đối xứng qua trục x - xem hình 3.)

Loại bỏ $y^2$, chúng ta thu được phương trình bậc hai đối với $x$

$$(a^2-b^2)x^2-2a^2cx-a^2(x_0^2+y_0^2-2cx_0-b^2)=0.$$

Vì nó phải có một nghiệm duy nhất nên biệt thức của nó phải bằng 0, tức là

$$a^4c^2+a^2(a^2-b^2)(x_0^2+y_0^2-2cx_0-b^2)=0.$$

Vì $P=(x_0; y_0)$ là một điểm của hình elip, nghĩa là

$$b^2x_0^2+a^2y_0^2=a^2b^2,$$

sau khi biến đổi đơn giản chúng ta đi đến phương trình

$$(a^2c-(a^2-b^2)x_0)^2=0,$$

từ đâu $c=\frac{(a^2-b^2)x_0}{a^2}$; tìm tâm của vòng tròn mong muốn.

Bán kính $CP$ của hình tròn tìm thấy nằm trên pháp tuyến của hình elip đã cho và duy trì đến $P$, vẽ một chu kỳ đến $CP$. Đây sẽ là tiếp tuyến mong muốn. Hãy tìm phương trình của nó.

Giả sử $0<x_0<a$ và $PT$ là các đoạn tiếp tuyến. Sau đó từ tam giác vuông $CPT$ (hình 4)

$$PQ^2=CQ \cdot QT,$$

và kể từ đó

$$PQ=y_0,$$

$$CQ=OQ-OC=x_0-\frac{(a^2-b^2)x_0}{a^2}=\frac{b^2x_0}{a^2},$$

chúng tôi nhận được $QT=\frac{a^2y_0^2}{b^2x_0^2}$, vì vậy

$$OT=OQ+QT=x_0+\frac{a^2y_0^2}{b^2x_0^2}=\frac{a^2}{x_0}$$

(chúng ta lại đang nói về $b^2x_0^2+a^2y_0^2=a^2b^2$).

Như vậy, chúng ta đã tìm được điểm $T$ giao điểm của tiếp tuyến mong muốn với trục hoành: $T=(a^2/x_0; 0)$. (Kết quả cũng đúng trong trường hợp $-a<x_0<0$, hãy kiểm tra điều này!)

Biết hai điểm tiếp tuyến $P$ và $T$ viết được phương trình của nó dễ dàng

$$y-y_0=k(x-x_0),$$

nơi tìm thấy độ dốc $k$ từ điều kiện

$$k=\frac{y_0-0}{x_0-\frac{a^2}{x_0}}=\frac{x_0y_0}{x_0^2-a^2}=-\frac{b^2x_0}{a^2y_0}$$

(một lần nữa chúng ta đã lợi dụng thực tế rằng $(x_0; y_0)$ là một điểm của hình elip, vì vậy $x_0^2-a^2=-\frac{a^2y_0^2}{b^2}$).

Do đó, phương trình tiếp tuyến mong muốn có dạng

$$y-y_0=-\frac{b^2x_0}{a^2y_0}(x-x_0).$$