Tính bất khả quy và tính phi lý

Kvant 1986, số 11 tr. 12, 13, 14, 16 Thẻ YEUB

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

V. A. OLEINIKOV

Trong số trước tác giả đã nói về nhiều
lịch sử hàng thế kỷ của những người cấp tiến phi lý
và đa thức không định hướng, về dấu
Eisenstein. Ở đây chúng ta sẽ nói về việc đạt được
sự phát triển của thế kỷ 20 trong lĩnh vực này, nhưng hơn thế nữa
ngôn ngữ hình học trực quan.

Được tạo ra vào đầu thế kỷ XIX và XX
thế kỷ của lý thuyết số đại số
đã trở thành một động lực mới để học tập
đa thức không dẫn động. Số đại số α đơn giản là một đồng
đa thức có hệ số nguyên
tính bằng xu:

$P(\alpha) = a_0 + a_1\alpha + \ldots + a_n\alpha^n = 0.$

Tất cả các căn thức mà chúng ta đã xem xét ở bài viết trước đều là số đại số. Tuy nhiên, khái niệm số đại số rộng hơn nhiều: ngay từ đầu thế kỷ trước, P. Ruffini (1765-1822) và N. G. Abel (1802-1829) đã chỉ ra rằng không phải mọi phương trình bậc trên bậc 4 đều có thể giải được bằng căn thức. Do đó, các số đại số không làm cạn kiệt các căn thức vô tỉ và số hữu tỉ.

Nhưng những số đại số này có liên quan chặt chẽ với các đa thức tối giản. Cụ thể, bất kỳ số đại số nào cũng là nghiệm của một đa thức tối giản duy nhất (lên đến thừa số số). Điều này tuân theo THEOREM («Kvant» Số 10, trang 7).

Tính chất tối giản đã trở thành chủ đề thu hút sự chú ý của nhiều nhà toán học xuất sắc. Cùng với việc tìm kiếm những tính chất tổng quát (chẳng hạn như trong THEOREM), các nhà nghiên cứu còn bị ám ảnh bởi dấu hiệu Eisenstein. Người ta cảm thấy rằng đằng sau dấu hiệu này có ẩn chứa một nguyên tắc chung nào đó, việc xác định được nguyên tắc này sẽ giúp có được những dấu hiệu mới, tổng quát hơn. Đây chính xác là những gì nó bật ra. Tiến bộ hơn nữa ở đây gắn liền với khả năng diễn dịch tính chất tối giản sang ngôn ngữ của các hình ảnh hình học. Nền tảng của ngôn ngữ này được Vlik Newot đặt ra 200 năm trước khi các sự kiện được mô tả và mang tên ông.

sơ đồ Newton

Để xây dựng sơ đồ Newton của đa thức $P(x)$ cho một số nguyên tố $p$ cần phải:

Mặt phẳng tọa độ OKM (OK là trục hoành và OM là trục tung);
thước kẻ, đinh, búa;
một chút kiên nhẫn.

Bởi vì cơ sở đầu tiên được áp dụng - mỗi năm $a_k x^k$ từ $P(x)$ được gán một điểm có tọa độ $(k; l)$ ; $l$ là lũy thừa lớn nhất của $p$ trong đó $a_k$ chia hết cho $p^l$ . Tập hợp tất cả các điểm như vậy $(k=0, 1, ..., n)$ là cơ sở của sơ đồ.

Trên hình 1 là cơ số của đa thức $P(x) = 12 + 2x + 4x^2 + x^4 + x^5 + 2x^6 + 4x^7$

tại $p=2$ . Số hạng tự do $a_0$ chia hết cho $p^2$ , nhưng không còn chia hết cho $p^3$ - ta có điểm (0; 2), $a_1$ chia hết cho $p$ - điểm (1; 1), $a_2$ cho điểm (2; 2).

Chú ý! Nếu $a_k=0$ thì chúng tôi hoàn toàn không áp dụng điểm cơ bản.

Trong trường hợp của chúng tôi, $a_3=0$ không đưa ra điểm cơ bản.

Nếu $a_k$ không chia hết cho $p$ thì $l=0$ và điểm $(k; 0)$ nằm trên trục OK.

Trong trường hợp của chúng tôi, $a_4$ và $a_5$ không chia hết cho $p$ , $a_6$ chia hết cho $p$ , $a_7$ chia hết cho $p^2$ (xem hình 1).

Chúng ta sẽ giả sử rằng, cùng với hệ số dẫn đầu $a_n$ của đa thức $P(x)$ , số hạng tự do $a_0$ cũng khác 0. Ngược lại, $P(x)$ luôn được đưa ra (chứng minh điều đó!) và do đó chúng tôi không quan tâm. Do đó, ít nhất hai điểm sẽ được vẽ trên mặt phẳng OKM:

điểm bắt đầu của cơ sở là (0; 2) và điểm kết thúc của nó là (7; 2)

Và bây giờ là sơ đồ (hình 2). Chúng ta lấy một cái búa và đóng đinh ở tất cả các điểm của đế, sau đó đặt thước dọc dựa vào chiếc đinh đóng vào điểm bắt đầu. Chúng ta xoay nó ngược chiều kim đồng hồ cho đến khi nó nằm trên một chiếc đinh cơ bản khác (chúng ta có (1; 1)). Kết nối các điểm này với một đoạn, chúng ta có được liên kết đầu tiên của sơ đồ. Để có được liên kết tiếp theo, bạn cần xoay thước quanh móng thứ hai (1; 1) cho đến khi nó gặp điểm cơ sở mới.

Chúng ta xoay thước thêm nữa và áp dụng các liên kết còn lại cho đến khi cuối cùng, chúng ta thêm vào điểm cuối của đế và có được liên kết cuối cùng.

Sơ đồ của Newton đã sẵn sàng và được hiển thị trên hình 2. Nó xuất hiện dưới dạng một đường gãy lõm hướng lên trên và luôn có ít nhất một liên kết.

Xây dựng sơ đồ Newton của riêng bạn cho đa thức
$Q(x) = 16 + 4x + 8x^2 + 2x^3 + 8x^6$
chỉ đơn giản là $p = 2$ .

Điểm bổ sung (đối với chúng tôi - (2; 2)) không nên làm người đọc thất vọng - trong bất kỳ hoạt động sản xuất bền vững nào, người ta không thể làm gì nếu không lãng phí.

Về các liên kết. Chúng có ba loại:

Hợp chất, đơn giản, ứng dụng

Một liên kết trong sơ đồ Newton được gọi là đơn giản nếu ngoài các điểm cuối của nó, không có điểm nào khác có tọa độ nguyên. Ngược lại, nếu có một liên kết bên trong một liên kết, chúng tôi sẽ gọi nó là tổng hợp (hình 3). Hơn nữa, chúng ta gọi một liên kết đơn giản có thể áp dụng được nếu chiều dài hình chiếu của nó trên trục ngang OK bằng một.

Thế thôi. Việc làm quen với ngôn ngữ tượng trưng của tính tối giản là chính đáng. Đã đến lúc bắt đầu nói nó. Chúng ta được khen thưởng vì mọi nỗ lực trong việc tạo ra sơ đồ Newton

dấu hiệu Dumas

Nếu đối với một số nguyên tố $p$ nào đó, sơ đồ đa thức $P(x)$ về cơ bản bao gồm một liên kết đơn giản, thì đa thức như vậy là tối giản.

Gistav Dumas sống ở Thụy Sĩ và đã tích cực tham gia vào vấn đề bất khả quy vào đầu thế kỷ này. Ông có được dấu hiệu này vào năm 1906.

Dấu hiệu Dumas cho phép… vẽ dấu hiệu Eisenstein,

hiểu nó sâu sắc hơn và ghi nhớ nó.

Theo tiêu chí Eisenstein, tất cả các hệ số của đa thức $P(x)$ , ngoại trừ hệ số cũ, đều chia hết cho $p$ , và số hạng tự do $a_0$ chia hết cho $p$ và không chia hết cho $p^2$ . Tình trạng này được phản ánh bởi hình.

Thế kỷ 20 không chấp nhận những điểm dừng *) và nỗi buồn vì những cơ hội bị bỏ lỡ.

Dấu hiệu, dấu hiệu, dấu hiệu…

Tại hình 4 có thêm một dấu hiệu nữa.

Được kèm theo dưới dạng lời nói, nó có được “sức nặng lớn hơn”:

Nếu đối với đa thức $P(x)$ bậc lẻ $2n+1$ người ta có thể chỉ định một số nguyên tố $p$ sao cho hệ số dẫn đầu $a_{2n+1}$ không chia hết cho $p$ và tất cả các hệ số khác
$a_k$ được chia thành $p$ , $k=0, 1, ..., 2n$ nhưng có thêm hệ số
$a_k$ với $k=0, 1, ..., n$ cũng chia hết cho $p^2$ và số hạng tự do
$a_0$ , chia hết cho $p^2$ , không chia hết cho $p^3$ thì đa thức $P(x)$ là tối giản.

Dấu hiệu Dumas chưa cạn kiệt! Bất kỳ ai cũng có thể trở thành chủ sở hữu biển hiệu của riêng mình, nâng phần cuối của liên kết ngày càng cao hơn và đảm bảo rằng nó vẫn đơn giản.

Kết luận rất rõ ràng: sản xuất hàng loạt các tính trạng là một hoạt động kinh doanh đầy hứa hẹn và đồng thời tuyệt đối an toàn**).

Lại phi lý nữa

Sự phong phú trung bình của các dấu hiệu khả quy cũng tìm được chỗ cho dấu hiệu của tính phi lý (bằng chứng trong Phụ lục ở trang 16).

Nếu đối với một số nguyên tố $p$ nào đó, sơ đồ của đa thức $P(x)$ không chứa các liên kết được áp dụng (phân vùng tổng hợp thành các số nguyên tố), thì trong số các nghiệm của nó không thể có các nghiệm hữu tỉ.

*) Người đọc chậm hiểu sẽ tìm thấy điều gì đó về cách chứng minh dấu Dumas ở phần Phụ lục ở trang 1. 16.
**) Nhưng nó khó có thể mang lại cho chúng ta vòng nguyệt quế của Eisenstein.

Hướng thuật toán bắt nguồn từ thời L. Kronecker (1823-1891), một nhà toán học nổi tiếng người Đức, khi cách chính xác nhất (nhưng không phải nhanh nhất) được phát minh để tìm hiểu xem một đa thức nhất định có thể rút gọn hay không (rất giống với cách được thảo luận trong ví dụ đầu tiên của chúng tôi: trang 15). Được làm phong phú với những ý tưởng về những biển hiệu nửa vời, hướng đi này đang có đà phát triển. Gần đây nhất (năm 1982), nó đã được các bậc thầy của trường phái Hà Lan (A. Lenstra, G. Lenstra, L. Lovas) thể hiện như một kiệt tác với tên gọi “Thuật toán cơ sở rút gọn”, giải quyết vấn đề tốc độ về nguyên tắc.

Sự tụ họp của một thời đại hỗn loạn vang vọng ầm ĩ trong sự im lặng của văn phòng và cuối cùng buộc đa thức tối giản phải phục vụ con người. Anh ấy nghiên cứu về lý thuyết mã hóa đại số và có thể các mã sửa lỗi đã giúp xác định các vấn đề trong việc hiển thị các chương trình truyền hình từ World Cup Mexico vào mùa hè này. Và trong lý thuyết và thực hành các quá trình ngẫu nhiên, đa thức tối giản bảo vệ bí mật nhà nước một cách sáng tạo, biến chúng thành những cảnh giả ngẫu nhiên và bảo vệ chúng khỏi những đôi tai nhạy cảm.

Bước đầu tiên đã được đưa vào đất nước của các đa thức tối giản - chúng ta đã làm quen với các nhà lãnh đạo được công nhận của nó. Nhưng các đại diện khác của nó - cả đã được biết đến và chưa được khám phá - vẫn ở phía sau hậu trường. Xứ sở của các đa thức tối giản chứa đầy những điều bí ẩn, và mỗi bước đi mới vào đó lại nảy sinh những câu hỏi mới.

Ứng dụng

Ở đây chúng tôi trình bày một nỗ lực chung để chứng minh dấu Dumas. Nhưng trước tiên, tháo gỡ và lắp ráp. Sơ đồ Newton cung cấp thông tin quan trọng về đa thức $P(x)$ . Thật thuận tiện để lưu trữ nó ở dạng tháo rời.

Quy tắc tháo gỡ. Hãy chia sơ đồ thành các liên kết, vẽ các mũi tên ở cuối và cắt chúng song song với chúng ta (như vectơ) tại điểm bắt đầu (hình 8). Hóa ra là vậy

Hình 8.

liên kết của một đa thức với số nguyên tố $p$ . Nếu điểm cơ sở nằm bên trong liên kết (chúng ta có điểm (6; 1) trên liên kết cuối cùng), thì liên kết sẽ không bị hỏng tại thời điểm này.

Quy tắc hội. Di chuyển lên trên (ngược chiều kim đồng hồ), chúng ta lần lượt sắp xếp các vectơ kết nối (xem hình 8). Vì vậy: Một sơ đồ Newton đã cho tương ứng với chính xác một liên kết và từ một sơ đồ đã cho, nó có thể được xây dựng lại một cách duy nhất.

Cần lưu ý rằng vị trí trên trục OM của điểm ứng dụng kết nối không đóng vai trò quan trọng. Bằng cách nhân $P(x)$ với lũy thừa phù hợp $p'$ (không làm thay đổi tính chất tối giản), người ta có thể tùy ý di chuyển toàn bộ sơ đồ và cùng với đó là điểm bắt đầu, dọc theo trục OM.

Định lý Dumas. Liên kết sản phẩm $P(x)Q(x)$ là sự kết hợp của các đầu nối liên kết $P(x)$ và $Q(x)$ (hình 9).

Hình 9.

Đây $Q(x)=b_0+b_1x+\dots+b_mx^m$ là một loại đa thức khác ( $Q(x)$ với trang 14 cũng phù hợp). Cơ sở, sơ đồ và liên kết của nó có màu đỏ.

Định lý Dumas chỉ ra cách, khi biết sơ đồ của các đa thức $P(x)$ và $Q(x)$ từ cùng một số nguyên tố $p$ , xây dựng sơ đồ tích của chúng. Để làm điều này, bạn nên chồng các bó thành phần lên nhau, căn chỉnh điểm bắt đầu của chúng, sau đó tạo một đường đứt nét theo quy tắc lắp ráp (hình 10).

Hình 10.

Phép cộng. Nếu trong kết nối của sản phẩm $P(x)Q(x)$ hai liên kết trùng nhau một phần hoặc hoàn toàn thì một trong số chúng phải được kéo ra khỏi kết nối và đặt sau liên kết kia.

Bí mật của lăng kính Dumas giờ đây rất đơn giản - nếu $P(x)$ có thể rút gọn thì theo định lý Dumas, liên kết của nó luôn bao gồm một số liên kết hoặc một, nhưng khi đó nó là không thể thiếu (xem lại phần Bổ sung).

Để chứng minh nguyên lý của định lý thành phần THEOREM («Kvant» Số 10, trang 7), hãy viết sơ đồ chuyển động tuyến tính (nó chỉ gồm đúng một liên kết nguyên thủy) và rút ra phát biểu từ định lý Dumas:

Nếu tất cả các kết nối đơn giản đều có hình chiếu lên trục OK có độ dài > k, thì tất cả các ước của đa thức $P(x)$ đều có độ > k.

Việc chứng minh định lý Dumas dựa trên thực tế là phép nhân đa thức $P(x)$ với một $b_kx^k$ trên mặt phẳng RCM tương ứng với việc chuyển $P(x)$ cơ bản sang một vectơ có tọa độ $(k; l)$ , trong đó $(k; l)$ là điểm của cơ sở $Q(x)$ , tương ứng duy nhất $b_kx^k$ . Những cân nhắc sâu hơn (khá cơ bản) không được đưa vào phạm vi của bài viết này và chúng tôi bỏ qua chúng.