Bài toán M1011—M1015; F1023—F1027

27

Bài toán

M1011—M1015; F1023—F1027

M1011. Chứng minh rằng với $n$ số dương $a_1 \geq a_2 \geq a_3 \geq \dots \geq a_n$ thì bất đẳng thức sau đúng:
a) $a_1^2 - a_2^2 + a_3^2 \geq (a_1 - a_2 + a_3)^2$;
b) $a_1^2 - a_2^2 + a_3^2 - a_4^2 \geq (a_1 - a_2 + a_3 - a_4)^2$;
b) $a_1^2 - a_2^2 + \dots - (-1)^n a_n^2 \geq (a_1 - a_2 + \dots - (-1)^n a_n)^2$.

L. D. Kurlyandchik

M1012. Chứng minh rằng:
a) có thể đặt một số đường tròn không giao nhau trên một mặt phẳng sao cho mỗi đường tròn tiếp xúc với đúng 5 đường tròn khác;
b) số 5 ở điểm a) không thể thay thế bằng 6.

D. V. Fomin

M1013. Trên các cạnh $AB$ và $BC$ của tam giác $ABC$ lấy hai điểm $M$ và $N$. Khi các đường thẳng song song đi qua các điểm $M$, $B$ và $N$ cắt đáy $AC$ tại các điểm $K$, $D$ và $L$. Chứng minh rằng diện tích hình thang (hoặc hình bình hành) $KMNL$ không lớn hơn diện tích của một trong các hình tam giác $ABD$ và $DBC$ (hình 1).

V. V. Rozhdestvensky

M1014. Cho $a_1, a_2, \dots, a_n$ là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau phân biệt từng cặp. Chứng minh rằng có vô số số tự nhiên $b$ sao cho các số $b + a_1, b + a_2, \dots, b + a_n$ cũng là những số nguyên tố cùng nhau.

V. F. Lev

M1015. Có thể phân tích đa thức $x^4 + x^3 + x^2 + x + 12 = 0$ thành thừa số có hệ số nguyên không?

S. L. Manukyan

F1023. Đèn được đặt cách trần nhà $l_1$ và độ cao $l_2$ so với sàn nhà. Khi nó phát nổ, các mảnh vỡ văng ra mọi hướng với cùng tốc độ $v$. Tìm bán kính của hình tròn trên sàn nơi các hòn đá sẽ rơi. Giả sử rằng tác động của các mảnh lên trần nhà là đàn hồi tuyệt đối và trên sàn - không đàn hồi; Muối không được chạm vào tường.

F1024. Đánh giá sự thay đổi áp suất trong phòng xông hơi sau khi đổ nước từ muôi lên đá nóng. Người ta cho rằng bạn, hiểu rõ về hiện tượng này, có thể đặt ra những điều cần thiết

28

Giảm số lượng, chọn chính xác các giá trị số của chúng và nhận giá trị số đáp số.

G. V. Meledin

F1025. Trong mạch điện ở hình 2, các cuộn dây siêu dẫn có cùng giá trị biểu thị $L$, điốt $D$ là lý tưởng, điện tích ban đầu của tụ điện có công suất $C$ là $Q_0$. Vẽ đồ thị sự thay đổi điện tích $Q(t)$ của tụ điện và dòng điện $I_1(t)$ và $I_2(t)$ qua cuộn dây sau khi đóng phím $K$.

E. I. Butikov

F1026. Mặt phẳng nằm ngang nơi khối nằm dao động theo định luật điều hòa với tần số $f=10$ Hz theo phương tạo một góc $\alpha=45^\circ$ với phương thẳng đứng (hình 3). Hệ số ma sát của khối trên sàn là $\mu=0,5$. Ở biên độ tối thiểu nào của chùm tia thì khối sẽ “bò” dọc theo địa điểm?

E. I. Butikov

F1027. Nguồn sáng nằm cách màn hình $l=1$ m. Một lỗ có đường kính $d=1$ cm được tạo trên màn hình bằng cách hướng nguồn. Dòng ánh sáng qua lỗ sẽ thay đổi như thế nào nếu một hình trụ trong suốt làm bằng vật liệu có chiết suất $n=1,5$ được đặt giữa màn hình và nguồn, như minh họa trong hình 4 (chiều dài hình trụ $l=1$ m, đường kính $d=1$ cm; nguồn nằm trên trục hình trụ)?

A. I. Butkov

Problems

M1011—M1015; P1023—P1027

M1011. Prove the following inequalities for any $n$ positive numbers $a_1 \geq a_2 \geq a_3 \geq ... \geq a_n$:

a) $a_1^2 - a_2^2 + a_3^2 \geq (a_1 - a_2 + a_3)^2$;
b) $a_1^2 - a_2^2 + a_3^2 - a_4^2 \geq (a_1 - a_2 + a_3 - a_4)^2$;
c) $a_1^2 - a_2^2 + ... - (-1)^n a_n^2 \geq (a_1 - a_2 + ... - (-1)^n a_n)^2$.

L. D. Kurlyandchik

M1012. Prove that a) it is possible to choose several disks on the plane so that each touches exactly 5 others and no two disks have common inner points; b) the number 5 in a) cannot be replaced by 6.

D. V. Fomin

M1013. Các điểm $M$ và $N$ được chọn trên các cạnh $AB$ và $BC$ của tam giác $ABC$. Ba đường thẳng song song đi qua $M, B$ và $N$ cắt nhau $AC$ tại các điểm $K, D$ và $L$. Chứng minh rằng diện tích hình thang (hoặc hình bình hành) $KMNL$ lớn hơn diện tích của một trong các hình tam giác $ABC$ và $DBC$ (xem hình 1).

V. V. Rojdestvenski

M1014. The natural numbers $a_1, a_2, ..., a_n$ are pairwise relatively prime. Prove that there exists an infinite set of natural numbers $b$ such that the numbers $b + a_1, b + a_2, ..., b + a_n$ are also pairwise relatively prime.

V. F. Lev

M1015. Can the polynomial $x^4 + x^3 + x^2 + x + 12$ be factorized into polynomials with integer coefficients?

S. L. Manukian