Olympic Toán toàn Liên đoàn XX

49

Olympic Toán Quốc gia XX

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học V. V. VAVILOV,
Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học S. V. REZNICHENKO,
Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học I. N. SERGEEV

Từ ngày 24 đến ngày 29/4, tại quê hương V. I. Lenin ở Ulyanovsk, vòng chung kết Olympic Toán học toàn năng lần thứ XX dành cho học sinh nhân kỷ niệm 275 năm ngày sinh của M. V. Lomonosov đã được tổ chức. Năm 1982, Ulyanovsk là người tổ chức vòng chung kết Olympic Vật lý, Toán và Hóa học toàn Liên minh dành cho học sinh và nay thành phố vinh dự đăng cai tổ chức lễ kỷ niệm Olympic Toán học toàn năng. Vòng chung kết của Olympic XX có sự tham gia của các đội gồm 14 công nhân tài nguyên đồng minh, mỗi đội từ bốn khu vực của RSFSR, một đội từ Moscow và Leningrad, một trường của Bộ Đường sắt, bảy công nhân tài nguyên chuyên ngành từ các trường vật lý và toán học, cũng như một đội từ thành phố Ulyanovsk, nhà tổ chức Thế vận hội. Tổng cộng có 163 học sinh tham gia Olympic: 46 học sinh lớp 8, 58 học sinh lớp 9 và 59 học sinh lớp 10, trong đó có 27 học sinh đoạt giải Olympic toàn Liên đoàn lần thứ XIX.

Kể từ thời điểm họ đến Ulyanovsk, các thành viên trong nhóm và lãnh đạo đã được bao quanh bởi sự chăm sóc và quan tâm của các trang trại Olympiad. Khi đăng ký tham gia Olympic, Tello đã được các thành viên ban tổ chức chào đón; Để tưởng nhớ Thế vận hội, mỗi thành viên và đội trưởng của đội đã được trao huy chương kỷ niệm, huy hiệu truyền thống, chương trình Olympic và chủ quyền. Từ Học viện Khoa học Sư phạm Liên Xô, mỗi người tham gia được tặng một thư viện tài liệu về toán học. Tại tất cả các sự kiện, Olympic đều có sự đồng hành của các ủy viên - học sinh lớp 9 của các trường thành phố, nhân viên phòng giáo dục công lập của khu vực, giáo viên của trường và giáo sư đại học.

Lễ khai mạc Olympic Toán học toàn Nga lần thứ XX diễn ra vào ngày 24 tháng 4 trên lãnh thổ của Leninsky Emory. Đầu tiên, lễ xếp hàng được tổ chức tại tượng đài V.I. Lênin và các vận động viên Olympic đặt hoa. A. L. Kruglikov đã gửi lời chào và lời chúc thành công đến các nhà toán học trẻ trên tinh thần của các tổ chức khoa học và giáo dục tại Ủy ban khu vực Ulyanovsk của CPSU. Sau đó, trước âm thanh của dàn nhạc, đoàn người tham gia Olympic tiến về Đài tưởng niệm Leninsky, nơi diễn ra lễ khai mạc Thế vận hội tại Đại lễ đường. Phát biểu của Bí thư Tỉnh ủy Ulyanovsk V.N. Sverkalov, phó. Chủ tịch Dàn nhạc Trung ương của All-Olympiad M. N. Tambiev, Phó. Chủ tịch ban giám khảo Olympic, Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học A. V. Strauss. Những người chiến thắng trong Thế vận hội toàn Nga XVIII và XIX đã gửi lời chúc thành công đến bạn bè và đối thủ của họ. Lễ khai mạc kết thúc bằng chương trình biểu diễn nghiệp dư vinh danh các thí sinh tham gia Olympic, các trưởng nhóm và thành viên ban giám khảo các đội sáng tạo xuất sắc nhất của các trường học trên địa bàn thành phố.

Hai ngày tiếp theo - 25 và 26 tháng 4 - là khó khăn nhất đối với những người tham gia Olympic, vì mỗi ngày họ phải giải 4 bài toán cạnh tranh. Điều đáng mừng là các thí sinh tham gia Olympic nhìn chung đã hoàn thành xuất sắc nhiệm vụ đề ra.

Những ngày diễn ra Olympic không hề dễ dàng đối với các thành viên ban giám khảo, những người làm việc dưới sự lãnh đạo của Viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học Cộng hòa Xã hội chủ nghĩa Xô viết Ukraine B.V. Gnedenko. Rốt cuộc, cần phải sắp xếp thời hạn để kiểm tra một số lượng lớn tác phẩm, tiến hành phân tích lời giải được đề xuất (nhiều trong số đó rất nguyên bản và thường không được ban giám khảo biết đến) và phân tích bài toán với việc duy trì các lỗi điển hình đối với những người tham gia Olympic và Liên bang Nga.

51

các điểm tạo thành tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, nếu điểm A đi qua đường tròn thứ nhất thì sao?

V. Chinik

4. Có một hình lục giác đều trên mặt phẳng dan. Mỗi cạnh được chia thành 1000 phần bằng nhau, các điểm chia được nối với nhau bằng các đoạn song song với các cạnh của hình lục giác. Chúng ta hãy chọn ba nút bất kỳ của lưới kết quả, đó là các đỉnh của một tam giác đều và tô màu chúng. Chúng ta sẽ tiếp tục tô màu ba nút theo cách này lâu nhất có thể. Chứng minh rằng nếu một nút không được tô màu thì nó không thể là đỉnh của lục giác ban đầu.

S. Duzhin

lớp 10

1. Tìm tất cả các số tự nhiên mà mỗi số đó bằng bình phương của tất cả các ước của nó.

V. Ivlev

2. Chứng minh rằng với mọi số dương $a_1, a_2, \dots, a_n$ bất đẳng thức
   $$\frac{1}{a_1} + \frac{2}{a_1 + a_2} + \frac{3}{a_1 + a_2 + a_3} + \dots + \frac{n}{a_1 + a_2 + \dots + a_n} < 4\left(\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n}\right).$$

L. Kurlyandchik

3. Qua đỉnh A của tam giác ABC có AB≠AC kẻ được nhiều đường thẳng. Chứng minh rằng bất kỳ trong số chúng có thể chứa nhiều nhất một điểm M khác các đỉnh của tam giác và thỏa mãn điều kiện $\angle ABM = \angle ACM$. Xác định đường thẳng đang xét không chứa một điểm nào.

O. Musin

4. Một hình lập phương có cạnh dài n, n ≥3, gồm $n^3$ cốc đơn vị. Chứng minh rằng trong mỗi chiếc cốc này, bạn có thể viết một số nguyên sao cho tất cả các số $n^3$ đều khác nhau và tổng các số ở bất kỳ hàng nào song song với bất kỳ cạnh nào của hình lập phương đều bằng 0.

Yu. Nesterenko, I. Serdeev

Ngày thứ hai

lớp 8

5. Ký hiệu thập phân của số tự nhiên a gồm n chữ số x giống nhau, số b - gồm n chữ số y giống nhau và số c - gồm 2n chữ số z giống nhau. Với mọi n ≥2, hãy tìm tất cả các chữ số x, y, z thỏa mãn $a^2 + b = c$.

V. Vasilov

6. Bên trong một hình mười giác lồi có hai điểm cách nhau 10 cm. Đối với mỗi điểm này, hãy tìm tổng khoảng cách từ điểm đó đến các đỉnh của hình mười hai cạnh. Chứng minh rằng số lượng kết quả nằm ở vị trí nhỏ hơn 1 m.

N. Nechetaev

7. Sữa được rót vào 30 ly. Cậu bé đang cố gắng lấy được lượng sữa bằng nhau ở tất cả các cốc. Để làm điều này, anh ta lấy hai ly bất kỳ và rót sữa từ ly này sang ly khác cho đến khi lượng sữa trong chúng bằng nhau. Có thể rót sữa vào ly để người vắt sữa không thể đạt được mục đích của mình dù có rót bao lâu?

Yu. Nesterenko, I. Serdeev

8. Một số hình chữ nhật được chia thành các đoạn thẳng, song song với các cạnh, theo hình vuông có màu trắng và đen. Đường chéo của hình chữ nhật được chia thành các đoạn màu trắng và đen. Tìm tỉ số giữa tổng chiều dài các đoạn màu trắng và tổng chiều dài các đoạn màu đen nếu kích thước của hình chữ nhật là: a) 100×99; 6) 101×99.

A. Berzin

lớp 9

5. Trong cõi đẳng có n-giác đều đặn $A_1A_2...A_n$. a) Chứng minh rằng nếu n là số chẵn thì với một điểm M tùy ý của mặt phẳng trong biểu thức $\pm \vec{MA}_1 \pm \vec{MA}_2 \pm \dots \pm \vec{MA}_n$ người ta có thể chọn dấu “cộng” và “trừ” sao cho tổng bằng 0,6) Chứng minh rằng nếu n là số lẻ thì biểu thức đã chỉ định bằng cách chọn dấu “cộng” và “trừ” chỉ có thể chuyển về 0 đối với một số hữu hạn điểm M của mặt phẳng.

S. Rukshin

6. Xem bài toán số 8, đoạn 6) cho lớp 8.

7. Các ô của bảng vuông có kích thước $n \times n$ được điền số ±1 theo các quy tắc sau:

1. các số -1 được đặt trong tất cả các ô viền của bảng;

2. số được đặt trong ô độc lập tiếp theo của bảng bằng tích của các số gần ô này nhất, nằm ở các cạnh khác nhau của ô đó và nằm cùng hàng với ô đó hoặc trong cùng một cột với ô đó. Điều này được thực hiện cho đến khi tất cả các ô trống của bảng được lấp đầy.

a) Số lượng +1 nhiều nhất có thể đạt được trong bảng là bao nhiêu?

6. +1 nhiều nhất bạn có thể nhận được trong bảng là bao nhiêu?

N. Azakhanov

8. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n đều có đẳng thức $|\sin 1| + |\sin 2| + \dots + |\sin (3n-1)| + |\sin 3n| > \frac{8}{5} n$.

V. Berzins

lớp 10

5. Chứng minh rằng tổng của tất cả các số có dạng $\frac{1}{mn}$, trong đó m, n là số tự nhiên và 1<m<n<1986, không phải là số nguyên.

D. Mitkin

6. Một hình vuông và một hình tam giác ngoại tiếp một hình tròn có bán kính 1. Chứng minh rằng diện tích phần chung của hình vuông và hình tam giác lớn hơn 3,4. Chúng ta có thể nói rằng diện tích này lớn hơn 3,5 không?

K. Bukin

7. Một đa thức p(x) được gọi là chấp nhận được nếu tất cả các hệ số của nó bằng 0,1,2 hoặc 3. Với một số nguyên dương n cho trước, hãy tìm số lượng tất cả các đa thức chấp nhận được thỏa mãn p(2)=n.

D. Flaas

8. Hãy xem xét tất cả các sổ ghi chép AXBY được mô tả xung quanh quả cầu này. Chứng minh rằng khi cố định hai điểm A và B thì tổng các góc của tứ giác lồi AXBY tức là độ lớn
   $\angle AXB + \angle XBY + \angle BYA + \angle YAX$,
   không phụ thuộc vào việc chọn X và Y.

I. Sharyzin