Lời giải bài toán M991—M995; F1003—F1007

29

PROBLEMS" and the numbers of all the solved problems; in your letter enclose an uns-tamped selfaddressed envelope — we shall use it to send you the correction results. At the end of the academic year we sum up the results of the Kvant problem contest. If you have an original problem to propose for publication, please send it to us under separate cover, in two copies (in Russian or in English), including the solution. On the envelope write NEW PROBLEM IN PHYSICS (or MATHEMATICS). Please print your name and address in BLOCK LETTERS.

P1023. A lamp hangs at the distance $l_1$ from the ceiling and $l_2$ from the floor. When it explodes, fragments fly in all directions with the same speed $v$. Find the radius of the circle on the floor within which they fall. You may assume that the collisions with the ceiling are absolutely elastic and those with the floor absolutely inelastic; no fragments reach the walls.

P1024. Estimate the variation of pressure in a sauna after water from a jar is splashed on very hot rocks placed inside the sauna. It is assumed that you are familiar with the phenomenon and can find the appropriate parameters, choose reasonable numerical values for them, so as to obtain a numerical answer.

G. V. Meledin

P1025. In the circuit shown on figure Pisc. 2, the coils with the same inductivity $L$ are superconducting, the diode $D$ is ideal, the initial charge of the capacitor is $Q_0$. Plot the dependence of the charge $Q(t)$ of the capacitor, and the currents $I_1(t)$ and $I_2(t)$ flowing through the coils, after the switch $K$ in turned on.

E. I. Butikov

P1026. A flat horizontal surface, on which a slab is placed, vibrates according to the harmonic law with frequency $f = 10$ Herz in a direction constituting an angle of $\alpha = 45^\circ$ with the vertical (see figure Pisc. 3). The friction coefficient of the slab against the surface is $\mu = 0.5$. For what minimal amplitude of vibration will the slab start to “creep” along the surface?

E. I. Butikov

P1027. A light source is placed at the distance of $l = 1$ m from a screen. An aperture of diameter $d = 1$ cm is made in the screen opposite the source. How will the flow of light through the aperture change, if a smooth transparent cylinder made of material of refraction index $n = 1.5$ is placed between the screen and the source as shown on figure Pisc. 4 (the length of the cylinder is $l = 1$ m, its diameter is $d = 1$ cm; the source is on the cylinder’s axis).

A. I. Butikov

Lời giải bài toán

M991—M995; F1003—F1007

Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $MNH$. Chứng minh $OK = OH$, tức là $O$ nằm trên đường trung trực $l$ của đoạn $KH$. Giả sử $l$ đi qua điểm $S$ - trung điểm chung của đường trung tuyến $CK$ và đường trung bình $PQ$ của tam giác $ABC$ (xem hình), do đó, là đường trung tuyến vuông góc với $PQ$, nên chỉ cần chứng minh $OP = OQ$ hoặc điều đó là đủ $\angle OPQ = \angle OQP$.

Các điểm $M$ và $H$ nằm trên đường tròn $\omega$ có ​​đường kính $AC$ và tâm $P$ ($\angle AMC = \angle AHC = 90^\circ$) nên $PM = PH$; Ngoài ra, $OM = OH$. Do đó, chúng ta lấy $OP$ vuông góc với đoạn $MH$ (và chia nó làm đôi), có nghĩa là $\angle OPQ$—góc giữa các đường thẳng $OP$ và $PQ$—bằng $90^\circ - \beta$, trong đó $\beta$ là góc giữa các đường thẳng $MH$ và $PQ$ hoặc $MH$ và $AB$ ($AB \parallel PQ$). Có hai trường hợp có thể xảy ra: $\beta = \angle AHM$, nếu $\angle AHM \leq 90^\circ$, như trong hình của chúng tôi, hoặc $\beta = 180^\circ - \angle AHM$, nếu $\angle AHM > 90^\circ$. Vì các góc $AHM$ và $ACM$ nằm trong đường tròn $\omega$ và nằm trên cùng một dây $AM$, chúng bằng hoặc bằng hai trong tổng $180^\circ$, do đó, $\beta = \angle ACM$ hoặc $\beta = 180^\circ - \angle ACM$ được chọn từ các đẳng thức mà $\beta \leq 90^\circ$. Với sự lựa chọn này

30

Hóa ra luôn là $\angle OPQ = 90^\circ - \beta = |90^\circ - \angle ACM|$. Tương tự như vậy, $\angle OQP = |90^\circ - \angle BCN|$. Nhưng $\angle ACM = \angle BCN$ theo điều kiện.

Lưu ý rằng đối với $E = B, F = A$, một phần của định lý nổi tiếng về “điểm 9 đường tròn” rút ra từ phát biểu đã được chứng minh (xem “Kính vạn hoa «Kvant» trong số 11 năm 1985): đáy của các đường cao và trung điểm của cạnh của tam giác nằm trên cùng một đường tròn.

**M992. Trong số 90 sinh viên tốt nghiệp một phép tính tổng, mỗi người có ít nhất 10 phép tính tổng khác. Chứng minh rằng một sinh viên tốt nghiệp có thể đến thăm ba người khác sao cho trong bốn người đó có ít nhất hai người khác.

M993*. a) Tìm 11 số tự nhiên liên tiếp có tổng bình phương của số tự nhiên đó.
b)* Chứng minh rằng với $2 < n < 11$ không có n số tự nhiên liên tiếp có tổng các bình phương là chính phương.

Giả sử $A$ là một sinh viên tốt nghiệp tùy ý. Nó đủ để chứng minh rằng có một sinh viên tốt nghiệp $B$ là bạn của hai người bạn $A$ cùng một lúc (khi đó $A$ có thể mời $B$ và hai người bạn này).

Nếu một sinh viên tốt nghiệp $B$ như vậy ở trong số bạn bè $A$, thì mọi thứ đều ổn. Ngược lại, mỗi người trong số $m(m \geqslant 10)$ người bạn $A$ là bạn của ít nhất 8 người tốt nghiệp (không tính $A$), bản thân họ không phải là bạn của $A$. Nếu tất cả những sinh viên tốt nghiệp này đều khác nhau, thì hóa ra sẽ có không ít hơn $8m \geqslant 80$ sinh viên tốt nghiệp khác với $A$ và bạn bè của anh ấy; nhưng số lượng sinh viên tốt nghiệp như vậy không vượt quá $90 - m - 1 \leqslant 79$. Điều này có nghĩa là hai người bạn $A$ có một người bạn chung $B$, đó là điều ta cần chứng minh.

a) Đáp số: 18, 19, …, 28 $(18^2 + 19^2 + \dots + 28^2 = 77^2)$.
6) Chúng ta phải chỉ ra rằng phương trình $(x + 1)^2 + (x + 2)^2 + \dots + (x + n)^2 = y^2$ hoặc
$$nx^2 + n(n + 1)x + \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} = y^2$$
(1)

không có lời giải trong các số nguyên $x$ và $y$, $x \geqslant 0$, $y \geqslant 1$, với $3 \leqslant n \leqslant 10$. (Bằng chứng nổi tiếng về $1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = n(n + 1)(2n + 1)/6$ được sử dụng ở đây, bằng chứng mà chúng tôi dành cho người đọc; tuy nhiên, chỉ cần kiểm tra nó bằng cách tính cho $n \leqslant 10$ là đủ.)

Nếu đẳng thức (1) được thỏa mãn thì phần dư của phép chia $y^2$ cho $n$ bằng phần dư của phép chia $a = n(n + 1)(2n + 1)/6$ cho $n$. Nhưng đối với $n = 3, 4, 9$, khi số dư tương ứng là 2, 2 và 6 ($a = 14, 30$ và 15·19), điều này là không thể đối với bất kỳ $y$ nào (xem bảng ở lề).

Với $n = 5$ và $n = 7$, số $a$ chia hết cho $n$, do đó số $y^2$ và do đó $y$, chia hết cho $n$ ($n$ là số nguyên tố). Bằng cách che chắn $y = nz$, $t = x + (n + 1)/2$, chúng ta có thể viết lại phương trình của mình thành $t^2 + (n^2 - 1)/12 = z^2$ hoặc
$$z^2 - t^2 = \frac{n^2 - 1}{12}.$$
Không có phương trình này cho các giá trị được phép của $n$, $t$ và $z$ không có lời giải, vì
$$z^2 - t^2 \geqslant z + t \geqslant 2t \geqslant 6,$$
$$\frac{n^2 - 1}{12} \leqslant \frac{7^2 - 1}{12} = 4.$$
Đối với $n = 6$, 8, 10, phương trình (1) có thể được viết lại một cách thuận tiện dưới dạng

31

$$(n+1)x^2+(n+1)nx+(n+1)\frac{n(2n+1)}{6}=x^2+y^2.$$

Do đó, tại $n=6$ chúng ta thu được rằng $x^2+y^2$ phải chia hết cho $n+1=7$. Bảng ở lề cho thấy điều này chỉ có thể thực hiện được khi $x$ và $y$ đồng thời chia hết cho 7. Nhưng trong trường hợp này, tất cả các số hạng của phương trình (2) ngoại trừ một $-(n+1)n(2n+1)/6=7\cdot 13$ phải chia hết cho $(n+1)^2=49$, điều này không thể chia hết được. Theo cách tương tự, người ta đã chứng minh rằng ngay cả với $n=10$ phương trình của chúng ta cũng không có lời giải. Cuối cùng, tại $n=8$ ở phía bên trái của (2) có một số mà khi chia cho 9 sẽ có số dư là 6 và, như có thể thấy từ bảng của chúng ta, không thể biểu diễn dưới dạng $x^2+y^2$.

♦

Đáp số: $k=2/3$. Đối với $a=b=c$ và $k=2/3$ bất đẳng thức này chuyển thành đẳng thức nên giá trị ban đầu $k$ không thể lớn hơn 2/3. Nhưng đối với $k=2/3$, có thể sử dụng các phép biến đổi đồng nhất để giảm bất đẳng thức về dạng
$$\frac{1}{6}\left(\frac{5}{2}((a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2)+(a^2-bc)^2+(b^2-ca)^2+(c^2-ab)^2\right)\geq 0,$$
do đó, nó hợp lệ với mọi $a, b, c$ và giá trị ban đầu của $k$ chính xác là 2/3.

♦

M994*. Với giá trị nào của $k$ thì bất đẳng thức $a^4+b^4+c^4+abc(c+b+c)\geq k(ab+bc+ca)^2$ đúng với tất cả các giá trị của $a, b$ và $c$?

M995. Hàm $y=f(x)$ cho mọi $x$ được xác định, liên tục và thỏa mãn điều kiện $f(f(x))=f(x)+x$. ()
a) Tìm hai hàm số $f$ (không giống nhau bằng 0). b) Chứng minh rằng không có hàm số nào khác như vậy.

a) Đáp số: $y=\frac{1+\sqrt{5}}{2}x$ và $y=\frac{1-\sqrt{5}}{2}x$. Có thể tìm thấy các hàm này bằng cách giả sử rằng $f(x)=\lambda x$, thay hàm này vào điều kiện
$$\lambda^2x=\lambda x+x$$
và giải phương trình bậc hai $\lambda^2-\lambda-1=0$ (gốc của phương trình này là $(1\pm\sqrt{5})/2$).
6) Như có thể thấy từ lời giải bài toán a), chỉ cần chứng minh rằng mọi hàm $f$ thỏa mãn điều kiện bài toán đều có dạng $f(x)=\lambda x$ là đủ. Để làm điều này, trước tiên chúng ta hãy thiết lập một số tính chất của hàm $f$.

1. $f(0)=0$. (Đặt $f(0)=c$, rồi $f(c)=f(f(0))=f(0)+0=c$, do đó $f(c)=f(f(c))=f(c)+c$, tức là $c=0$.)
2. Tại các điểm khác nhau, hàm $f$ nhận các giá trị khác nhau. (Nếu $f(x_1)=f(x_2)$ thì $f(f(x_1))=f(f(x_2))$, tức là $f(x_1)+x_1=f(x_2)+x_2$ và $x_1=x_2$.) Đặc biệt, $f$ có một gốc duy nhất $x=0$.
   Từ các tính chất này và tính liên tục của hàm $f$ suy ra:
3. trên mỗi biên nhận $x>0$ và $x<0$, hàm $f$ giữ nguyên dấu và khi đi qua 0, dấu của nó sẽ thay đổi (nếu không, các giá trị $f$ gần bằng 0 sẽ được lấy ít nhất hai lần - ở bên phải và bên trái của điểm $x=0$) và
4. hàm $f$ có hàm nghịch đảo $g$ (tất nhiên được xác định trên phạm vi $f$; bên dưới chúng ta thấy rằng $f$ nhận tất cả các giá trị thực).

Hãy đặt $f_0(x)=x$, $f_1(x)=f(x)$, $f_2(x)=f(f(x))$, …