Trường học yêu thích bài toán

43

(II) $\left\{ \begin{array}{l} p - b = r \mathrm{ctg} \frac{\beta}{2}, \\ b = 2R \sin \beta, \end{array} \right.$

(III) $\left\{ \begin{array}{l} p - c = r \mathrm{ctg} \frac{\gamma}{2}, \\ c = 2R \sin \gamma. \end{array} \right.$

Loại bỏ a khỏi hệ thống (I), chúng ta thu được $a$ danh tính
$a^3 - 2pa^2 + (p^2 + r^2 + 4Rr)a - 4pRr = 0.$

Loại trừ các góc $\beta$ và $\gamma$ tương ứng từ hệ thứ hai và thứ ba, chúng ta thu được sự tương ứng chính xác giống nhau cho $b$ và $c$. Điều này có nghĩa là các số $a, b, c$ là nghiệm của phương trình bậc ba $x^3 - 2px^2 + (p^2 + r^2 + 4Rr)x - 4pRr = 0,$, từ đó có cả một loạt các đồng đẳng thức có thể được mô tả bằng các công thức của Vieta. Ví dụ,
$$ab + ac + bc = p^2 + r^2 + 4Rr,$$
$$\frac{1}{ab} + \frac{1}{ac} + \frac{1}{bc} = \frac{1}{2Rr}.$$
S.Ts. Konrinski

Trường học yêu thích bài toán

lớp tám

1. Cạnh dài nhất của tam giác có chiều dài 5 cm, cạnh ngắn nhất có chiều dài 1 cm. Mặt hiệu quả nhất mà một hình tam giác như vậy có thể có là gì?
2. Tìm quỹ tích giao điểm các đường cao của các tam giác nội tiếp trong đường tròn cho trước.
3. Sáu đường thẳng khác nhau trên một mặt phẳng không phải tất cả đều song song và không phải tất cả đều đi qua cùng một điểm. Số giao điểm có thể có nhất của các đường này là bao nhiêu?
4. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $x, y$ sao cho $2x + 1$ chia hết cho $y$ và $2y + 1$ chia hết cho $x$.
5. Những số nào lớn hơn trong các số nguyên từ 1 đến 1000.000:
   a) chia hết cho 11 nhưng không chia hết cho 5 hoặc chia hết cho 12 nhưng không chia hết cho 7?
   b) chia hết cho 13 nhưng không chia hết cho 6 hoặc chia hết cho 15 nhưng không chia hết cho 26?
   lớp chín
6. Một đường tròn có bán kính 1 nội tiếp góc $a$. Sau đó, đường tròn thứ hai được ghi, chạm vào đường tròn thứ nhất từ ​​bên trong góc. Sau đó, họ khắc hình tròn thứ ba chạm vào hình tròn thứ hai từ bên trong góc, v.v. Tìm bán kính của hình tròn thứ 1000.
7. Trên mặt phẳng, đa giác lồi $P$. Chúng ta hãy biểu thị bằng $P_a$ một hình gồm các điểm nằm ở khoảng cách $a$ tính từ $P$ (tức là các điểm $A$ mà có một điểm $B$ bên trong hoặc trên ranh giới của đa giác sao cho $AB \leq a$). Diện tích của hình $P_1$ là $S_1$, diện tích của hình $P_2$ là $S_2$; tìm một đa giác phẳng $P$.
8. Trên mặt giấy ca-rô vẽ một hình tròn có bán kính gấp 10 lần cạnh giấy ca-rô. Được biết, đường tròn số $a, b, c$ là nghiệm của phương trình bậc ba $x^3 - 2px^2 + (p^2 + r^2 + 4Rr)x - 4pRr = 0,$ từ đó kéo theo cả dãy đồng đẳng thức có thể được mô tả bằng các công thức của Vieta. Ví dụ,
   $$ab + ac + bc = p^2 + r^2 + 4Rr,$$
   $$\frac{1}{ab} + \frac{1}{ac} + \frac{1}{bc} = \frac{1}{2Rr}.$$
   S.Ts. Konrinski

lớp mười
11. Trong không gian có một đa giác lồi $P$. Chúng ta hãy biểu thị bằng $P_a$ một hình gồm các điểm nằm ở khoảng cách $a$ tính từ $P$ (tức là các điểm $A$ mà có một điểm $B$ bên trong hoặc trên ranh giới của đa giác sao cho $AB \leq a$). Thể tích hình $P_1$ bằng $S_1$, diện tích hình $P_2$ bằng $S_2$; tìm một đa giác phẳng $P$.
12. Tìm điểm hiệu quả nhất của kính hình trụ bằng cách nghiêng dần nó. Đáy đã xuất hiện. Bạn dừng lại ở thời điểm chính xác một nửa đáy được mở ra. Bao nhiêu nước còn lại trong ly - ít hơn bốn hoặc nhiều hơn?
Ấn phẩm do D. V. Fuks biên soạn