Đại học bang Leningrad được đặt theo tên. A. A. Zhdanova

52

Đại học bang Leningrad được đặt theo tên. A. A. Zhdanava

Toán học
Bài thi viết
Tùy chọn 1
(Các khoa: toán và cơ học, vật lý, toán ứng dụng - quy trình điều khiển)

1. Hai công nhân cùng làm ra 136 sản phẩm trong 8 giờ. Nếu công nhân thứ nhất làm ít hơn 2 bộ phận mỗi giờ và công nhân thứ hai làm nhiều hơn công nhân thứ hai thì công nhân thứ hai sẽ tốn ít hơn 4 phút để sản xuất một bộ phận so với công nhân thứ nhất. Mỗi giờ công nhân thứ nhất sản xuất được bao nhiêu sản phẩm?

2. Giải bất đẳng thức $3x + \sqrt{5x + 9} < -5$.

3. Với $a$ số lớn hơn trong hai số $5a - 1$ và $|2a|$ bằng bình phương của số bé hơn?

4.1 (đối với Khoa Toán Cơ). Khoảng cách từ đáy của chiều cao rơi từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC$ đến đỉnh $B$ bằng một nửa khoảng cách của đỉnh $C$. Tìm góc $A$ nếu bạn biết rằng $\frac{AC}{AB} = a$.

4.2 (đối với bộ môn vật lý). Trên cạnh $AB$ có chiều dài $c$ của tam giác $ABC$ điểm $D$ được chọn. Qua điểm $D$, hai đường thẳng được vẽ song song với $AC$ và $BC$ tương ứng và cắt cạnh $AC$ tại điểm $F$ và cạnh $BC$ tại điểm $E$. Tìm góc $BD$ nếu bạn biết rằng $AC = b$, $BC = a$, $\frac{BE}{AF} = a$.

4.3 (đối với Khoa Toán ứng dụng - Quy trình điều khiển). Một vòng tròn được ghi trong một tam giác vuông. Điểm tiếp xúc với cạnh huyền chia cạnh huyền theo tỷ lệ $a$. Các điểm tiếp tuyến chia hai chân theo tỉ lệ nào?

5. Một quả cầu có bán kính $R$ được nội tiếp trong một hình tam giác, ở đáy của nó là một tam giác đều có góc $a$ ở đáy. Các mặt bên của paramid nghiêng với mặt phẳng của đế một góc $\beta$. Tìm thể tích của paramid.

Tùy chọn 2
(khoa hóa học)

1. Nếu thêm 3 kg chất $A$ vào hỗn hợp gồm hai chất $A$ và $B$ thì tỷ lệ phần trăm của nó sẽ tăng gấp đôi. Nếu bạn thêm 3 kg chất $B$ vào hỗn hợp ban đầu thì tỷ lệ chất $A$ sẽ giảm đi một nửa. Xác định khối lượng của $A$ và phần trăm của nó trong hỗn hợp.

2. Giải bất đẳng thức $x < \sqrt{\frac{5x + 2}{3}}$.

3. Giải phương trình

$$\cos x + \sin x = \frac{0,5 + \sqrt{\frac{3}{8}}}{\cos x}.$$

4. Tìm tỉ số bán kính của đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của một tam giác đều có góc $a$ ở đáy.

5. Tìm diện tích mặt cắt ngang của một tham số tam giác đều đi qua đỉnh của tham số đó và trung điểm của hai cạnh đáy, nếu biết độ dài cạnh đáy là $a$, và góc giữa mặt phẳng cắt và đáy là $a$.

Tùy chọn 3
(khoa địa chất và địa chất)

1. Một người đi xe đạp rời thành phố $A$ đến thành phố $B$, khoảng cách giữa bệnh sởi là 100 km. Sau đó, một người lái xe bước ra khỏi $A$, người này đương nhiên di chuyển trở lại với tốc độ tương tự và quay trở lại $A$ tại thời điểm truy cập đầu tiên $B$. Vận tốc của người đi xe đạp thứ nhất là bao nhiêu nếu tốc độ của người thứ hai là 30 km/h?

2.1 (đối với Khoa Địa chính trị). Giải hệ phương trình
$$\begin{cases} 4x + 2y = 12, \\ \sqrt{3x - 2y} = \sqrt{5 + x - 3y}. \end{cases}$$

2.2 (đối với Khoa Địa lý). Giải phương trình
$$\sqrt{x^2 - 7x} - \sqrt{x - 3} = 0.$$

3. Giải phương trình
   $$\sqrt{-\frac{3}{2}} \cos 2x = \sin x.$$

4. Giải bất đẳng thức
   $$(\log_{x+1}x) \cdot \log_{\frac{1}{x}}(x - 2) > 1.$$

5. Hai đường tròn có bán kính $r_1$ và $r_2$ ($r_1 > r_2$) được cho trên mặt phẳng. Tìm khoảng cách giữa tâm của các đường tròn nếu biết rằng nó lớn hơn $k$ lần khoảng cách giữa các điểm tiếp tuyến của tiếp tuyến chung ngoài.

Tùy chọn 4
(Thư viện Khoa Hành vi, Khoa Chứng chỉ Toán học của Khoa Vật lý)

1. Từ thành phố $A$ đến thành phố $B$, khoảng cách giữa bệnh sởi là 270 km, khiến du khách phải rời xa. Anh đã đi chặng đầu tiên của hành trình dài 120 km bằng ô tô và chặng thứ hai bằng xe máy. Người đó lái ô tô đi hết quãng đường còn lại trong 1 giờ. Vận tốc của xe máy nhỏ hơn vận tốc của ô tô 15km/h. Tìm vận tốc của ô tô biết vận tốc trung bình của người đó là 54 km/h.

2. Giải phương trình
   $$\sqrt{2x + 1} + \sqrt{6x + 4} = 1.$$

3.1 (đối với giấy phép của Sở Khoa học và Toán học). Giải phương trình
$$\sin x + 2 \sin^3 x + \sqrt{2} \sin 2x = 0.$$

3.2. Giải bất đẳng thức
$$\frac{1 - \sin x}{\sin 2x} \leq \frac{\sqrt{3}}{3}.$$

4.1 (đối với cơ quan giám sát). Một tam giác vuông có diện tích 24 cm và có hình tròn. Điểm tiếp xúc với cạnh huyền chia cạnh huyền theo tỉ lệ 2:3. Tìm độ dài các cạnh của tam giác.