Kiểm tra khả năng chia hết cho các số có dạng 10n ± 1

39

Toán 8, 9, 10

Ghi chú “Trắc nghiệm tính chia hết cho các số dạng 10n±1” dưới đây dành cho học sinh lớp 8, ghi chú “Giới hạn ngoại giao thứ nhất” dành cho học sinh lớp 9 và lớp 10, ghi chú “Công thức Viete” dành cho học sinh lớp 8 đến lớp 10.

Kiểm tra tính chia hết cho các số có dạng 10n±1

Năm 1884, trên một trong những số của “Tạp chí Toán học Tiểu học” xuất bản ở Kiev, có bài viết của người sáng lập tạp chí, Giáo sư V.P. Ermkov, “Dấu hiệu chia hết của số” đã được xuất bản. Bài báo cho thấy dấu hiệu của sự chia hết được mô tả dưới đây bằng các số có dạng 10n±1.

Để tìm hiểu xem một số N đã cho có chia hết cho số m=10n+1 hay không, bạn cần:
A. bỏ chữ số cuối cùng của số N;
B. trừ số kết quả tích của chữ số bị loại bỏ với n;
B. Thực hiện các phép tính A và B với số thu được;
D. làm điều này cho đến khi (thao tác cuối cùng B) còn lại một số nhỏ hơn hoặc bằng 0;
D. nếu số còn lại là 0 thì N chia cho m=10n+1; ngược lại N không chia hết cho m.
Hãy chứng minh điều đó. Nếu k là chữ số cuối cùng của N thì phép toán A và B biến N thành số
$$\frac{N-k}{10} - kn = \frac{N-k-10kn}{10} = \frac{N-km}{10}.$$
Rõ ràng, số này chia hết cho m khi và chỉ khi N chia hết cho m. Các phép toán tiếp theo sẽ giảm số này mà không thay đổi khả năng chia hết của nó cho m, đó là D theo sau.

Ví dụ

$$N = 11934, m = 51:$$
$$11934 \rightarrow 1193 \rightarrow 1173 \rightarrow 117 \rightarrow 102 \rightarrow 10 \rightarrow 0$$

$$N = 15314, m = 61:$$
$$15314 \rightarrow 1531 \rightarrow 1507 \rightarrow 150 \rightarrow 108 \rightarrow 10 \rightarrow 38$$

Ta thấy rằng 11.934 chia hết cho 51 nhưng 15.314 không chia hết cho 61.

Lưu ý rằng nếu, trong trường hợp chia hết, chúng ta viết các chữ số bị loại bỏ theo thứ tự ngược lại, chúng ta sẽ nhận được một phần