Признак делимости на числа вида 10n ± 1

39

Математика 8, 9, 10

Публикуемая ниже заметка «Признак делимости на числа вида 10n±1» предназначаем восмиклассикам, заметка «Первый делательный предел» — девятиклассик и десятиклассикам, заметка «Формулы Виета» — учащимся восмых — десяты классов.

Признак делимости на числа вида 10n±1

В 1884 году в одном из номеров издавшегося в Киеве «Журнала элементарной математики» была помещена статья основателя журнала профессора В. П. Ермакова «Признаки делимости чисел». В статье были показаны описываемые ниже признаки делимости на числа вида 10n±1.

Чтобы узнать, делится ли данное число N на число m=10n+1, нужно:
А. отбросить от числа N последнюю цифру;
В. вычесть из полученного числа произведение отброшенной цифры на n;
В. с полученным числом проделать операции A и B;
Г. делать это до тех пор, пока (последняя операция B) не остается число, меньше или равное 0;
Д. если оставшееся число есть 0, то N делится на m=10n+1; в противном случае N не делится на m.
Докажем это. Если k — последняя цифра числа N, то операции A и B превращают число N в число
$$\frac{N-k}{10} - kn = \frac{N-k-10kn}{10} = \frac{N-km}{10}.$$
Очевидно, что это число делится на m тогда и только тогда, когда N делится на m. Дальнейшие операции уменьшают число, не меняя его делимость на m, откуда и следует Д.

Примеры

$$N = 11934, m = 51:$$
$$11934 \rightarrow 1193 \rightarrow 1173 \rightarrow 117 \rightarrow 102 \rightarrow 10 \rightarrow 0$$

$$N = 15314, m = 61:$$
$$15314 \rightarrow 1531 \rightarrow 1507 \rightarrow 150 \rightarrow 108 \rightarrow 10 \rightarrow 38$$

Мы видим, что 11 934 делится на 51, а 15 314 не делится на 61.

Заметим, что если в случае делимости записать отброшенные цифры в обратном порядке, то получится част-