Ленинградский электротехнический институт им. В. И. Ульянова (Ленина)

56

5. Две сферы объемом $V_1$ и $V_2$ содержены короткой трубкой, в которой имеется изолирующая пористая перегородка. С ее помощью в сосудах установляется равенство давления, но не температур. Система нахождения при температуре $T_0$ и содержит газ под давлением $p_0$. Затем температура первой сферы изменяется до $T_1$, а второй — до $T_2$. Какое давление установится в системе? Тепловым распределением сфера претенбрец.

6. Из колодца глубиной $H$ качают воду насосом мощностью $N$. КПД насоса $\eta$. За какое время откачается обем воды $V$?

7. Как должны соответствия расстояния между двумя точными зарядами в керосине и в вакууме, чтобы сила взаимодействия зарядов была одинаковой в обихах случях?

8. Какова сила взаимодействия между протоном и электромом на первой орбитите в модели атома Бора? Расчет удобно проводить с помощью микрокалькулятора.

9. Электрон, нахождение в однородном магнитном поле, движется по окружности радиусом $r$. Индукция магнитного поля $B$. Направление вектора индукции перепределения плоскости окружности. Найдите кинетическая энергию электрона.

10. Считая радиус atomного ядра равным $R=1,2\cdot 10^{-15}\cdot A^{1/3}$ м, где $A$ — массовое число, определяте плотность ядрного вещества, выраженную в числе нуклонов в $1\text{ m}^3$ и в кг/$\text{m}^3$. Масса нуклона $m_0=1,67\cdot 10^{-27}$ кг. Какова будет масса 1 см$^3$ вещества, состоящего из одних ядер?

Публикацию подготовили М. И. Калинина, В. В. Лаптев

Ленинградский электротехнический институт им. В. И. Ульянова (Ленина)

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1

1. Дана функция $f(x)=\text{tg}^2 x+16 \cos^2 x$.
   a) Найдите наименший перiod функции $f$.
   b) Решите уравнение $f(x)=9$.
   b) Найдите минимум функции $f$.
2. Дана функция $f(x)=\log_2 \frac{x(x+1)}{x+2}$.
   a) Найдите область определения функции $f$.
   b) Решите уравнение $f(x)=1$.
   b) Решите неравенство $f(x)>0$.
   г) При каких значениях $a$ уравнение $f(x)=\log_2 (x+a)$ имеет решение?
3. Окружности радиусов 1 и $R$ с центрами в точках $A$ и $B$ касаются друг друга внешним образом. Примяя $l$ касается этих окружностей в двух различных точках $C$ и $D$ соответственно.
   a) Докажите, что отношение $\frac{AB}{CD}$ равно $k(R)=\frac{R+1}{2\sqrt{R}}$.
   b) Найдите величины $R$, если $k(R)=\frac{5}{3}$.
   b) Докажите, что $k(R) \geq 1$.

Вариант 2

1. Дана функция $f(x)=Ax^2+x+B\cdot \ln x$.

a) Найдите $A$ и $B$, если известно, что $f(1)=2$, $f'(1)=4$.
b) При каких $A$ и $B$ точки $x=1$ и $x=2$ являются точками экстремума для функции $f$?
b) При каких $A$ и $B$ функция возрастает на всей своей области определения?
2. Дана функция $f(x)=\log_2 x+\log_2 2$.
a) Найдите область определения функции $f$.
b) Решите уравнение $f(x)=1$.
b) Решите неравенство $f(x)>1$.

3. Дан треугольник $ABC$, в котором $CB=1$, $\hat{C}=\pi/2$, $\hat{B}=\beta$, $CH$ — высота треугольника, точка $D$ лежит на отрезке $AH$, $DH=HB$.
   a) Какие значения может принимать угол $\beta$?
   b) Докажите, что $AD=\frac{1}{\cos \beta}-2 \cos \beta$.
   b) Какие значения может принимать угол $\beta$, если известно, что отрезки $AD$ и $CD$ равны?

Вариант 3

1. Дана функция $f(x)=9^x-2\cdot 3^x-3$.
   a) Решите уравнение $f(x)=60$.
   b) Решите неравенство $f(x) \geq 0$.
   b) Найдите наименшее значение функции $f$.
   г) Сколько решений имеет уравнение $f(x)=a$ в зависимости от величины $a$?

2. Дана функция $f(x)=x^4-(x-1)^4$.
   a) Имеет ли функция $f$ экстремумы?
   b) Решите уравнение $f(x)+1=0$.
   b) Решите неравенство $f(x)>1$.

3. В единичную окружность вписан треугольник $ABC$ такой, что $AB=AC$, $\hat{A}=2\alpha$, $AD$ — высота треугольника. Обозначим $H(\alpha)=AB-AD$.
   a) Докажите, что $H(\alpha)=2(\cos \alpha-\cos^2 \alpha)$.
   b) Найдите все такие $a$, что $H(\alpha)=4/9$.
   b) Найдите наибольшее значение величины $H$.

Физика
Задачи письменного экзамена

1. Тело брошено с некоторым высотой в горизонтальном направлении со скоростью $v_0$. Найдите скорость тела через $t$ секунд после брасания. Приведите два способа решения.
2. К концам однородного стержня приложены две противоположно направленные силы $F_1=40$ Н и $F_2=100$ Н. Определите силу натяжения стержня в поперечном сечении, которое делит стержень на две части в отшшении 1:2.
3. Тело массой $m$ поднимают на наклонной плоскости высотой $h$. Угол у основания наклонной плоскости $\beta$, коэффициент тремя между телом и плоскостью $\mu$. Определите работу силы трения и работу силы тяжести.
4. Металлический шарик массой $m=20$ г, падающий со скоростью $v=5$ м/с, ударяется пруго о стальную плиту и отскивавает от нее в прямом противоположном направлении с такой же по модулю скоростью. Найдите импульс, прибретенный шариком, и среднюю силу, сообщившую шарику этот импульс, если соударение длилось $t=0,1$ с.
5. Резиновую камеру на берегу до нормального давления. На какую глубину опустить камеру в воду, чтобы ее объем уменьшился вдвое? Термература воздуха $T_1=300$ К, температура воды $T_2=277$ К, плотность воды $\rho=1000$ кг/м$^3$.
6. На расстоянии $R$ от точного заряда $+q$ расположен проводящий шар радиусом $r$

57

соединенный тонкой длиной проволокой с землей. Определите величины отрицательного заряда, индукрованного на шарре. Влиянием проволоки пренебречь.

7. Электрический плиту, расчитанную на напряжение $U_1=220$ В, требуется передать, не меняя и не укорачивая спирали, на напряжение $U_2=110$ В так, чтобы ее мощность оставалась прежней. Что нужно сделать? Дайте аналогичное решение и эскиз схемы плиту после переделки.

8. Электрон влетает во взаимно перpendикулярные электрические ($E=1000$ В/m) и магнитное ($B=0,01$ Тл) поля. Каковы должны быть направление и скорость движения электрона для того, чтобы он движался прямолинейно?

Избранные школьные задачи

1. $\sqrt{99}/4$. У каза и е. Не забудьте, чтолина тревжей стороны не превозходит 5.

2. Круг без границ, концентричный данной окружности и имеющий второе больший радиус. У каза и е. Если угол $A$ треугольника $ABC$ равен $a$, то угол между высотами, проведенными из вершин $B$ и $C$, равен $\pi-a$. Поэтому точка пересечения высот лежит на окружности, равной данной и пересекающей с ней в точках $B$ и $C$.

3. 5. Решение е. Если одна из данных шести прямых $l$ проходит только через одну точку пересечения $A$, то остальные пять прямых либо проходят через $A$ (пустых $m_1$), либо параллельны (пустых $m_2$). Имеем: $m_1+m_2=5$, $m_1>0$, $m_2>0$, и число точек пересечения равно $1+m_1m_2$; последнее есть 5 или 7. Предположим, что каждая прямая проходит по крайней мере через две точки пересечения. Если точка пересечения меньше чем 5, то их 4. Обозначим их через $A$, $B$, $C$, $D$; тогда наш прямые — это прямые $AB$, $AC$, $AD$, $BC$, $BD$ и $CD$. Эти прямые не должны иметь точку пересечения, отличных от $A$, $B$, $C$, $D$, поэтому $AB\parallel CD$, $AC\parallel BD$ и $AD\parallel BC$. Из первого и третього следующего, что $ABCD$ — параллелограмм, но диагонали $AC$ и $BD$ параллелограмма не могут быть параллельны. Противоречие.

4. $(1,1), (1,3), (3,1), (3,7), (7,3).$ Решение е. $2x+1$ нечетно и делится на $y$, поэтому $y$ нечетно; аналогично $x$ нечетно. Числа $x$ и $y$ взаимно просты: если $x$ и $y$ делятся на $p$, то $2x$ и $2x+1$ делятся на $p$, и,значит, 1 делится на $p$. Число $2x+2y+1$ делится на $x$ и на $y$; значит, оно делится на $xy$, следовательно, $2x+2y+1 \geqslant xy$. Пусть $x \leqslant y$; тогда либо $2x+2y+1 < 5y$, либо $x=y=1$. В обих случаях $xy < 5y$ и $x < 5$. Остатся две возможность: $x=1$ и $3$ делится на $y$ или $x=3$ и $7$ делится на $y$.

5. а) Первых больше. 6) Первых больше. Решение е. Если $p$ и $q$ взаимно просты и $N$ делится на $pq$, то среди чисел 1, …, $N$ имеетсяровно $N/p$, делящих на $p$, ировно $N/pq$, делящих на $pq$. Значит, среди чисел 1, …, $N$ имеетсяровно $(N/p)-(N/pq)=N(q-1)/pq$ чисел, делящих на $p$, но не делящих на $q$. Тепер обратимся к вопросам а) и б). а) Число 997 920 делится на 11·5 и на 12·7.

6. В однородном магнитном поле ($B=0,01$ Тл), линии индекции которого вертикальны, сосальзывает с наклонной плоскости металлической палочки длиной $l=1$ м. Определите разность потенциалов на концах палочки, если угол наклона плоскости к горизонту $\alpha=30^\circ$.

7. Оптическая система состоит из двух собирающих линия с фокусными расстояниями $F_1=20$ см и $F_2=10$ см. Между лицами расстояние $l=30$ см. Предмет находится на расстоянии $d_1=30$ см от первой линии. На каком расстоянии от второй линии получится изображение?

Публикацию подготовили А. Н. Коготцов, М. А. Марамзин, С. В. Фомин

Избранные школьные задачи

1. $\sqrt{99}/4$. У каза и е. Не забудьте, чтолина тревжей стороны не превозходит 5.

2. Круг без границ, концентричный данной окружности и имеющий второе больший радиус. У каза и е. Если угол $A$ треугольника $ABC$ равен $a$, то угол между высотами, проведенными из вершин $B$ и $C$, равен $\pi-a$. Поэтому точка пересечения высот лежит на окружности, равной данной и пересекающей с ней в точках $B$ и $C$.

3. 5. Решение е. Если одна из данных шести прямых $l$ проходит только через одну точку пересечения $A$, то остальные пять прямых либо проходят через $A$ (пустых $m_1$), либо параллельны (пустых $m_2$). Имеем: $m_1+m_2=5$, $m_1>0$, $m_2>0$, и число точек пересечения равно $1+m_1m_2$; последнее есть 5 или 7. Предположим, что каждая прямая проходит по крайней мере через две точки пересечения. Если точок пересечения меньше чем 5, то их 4. Обозначим их через $A$, $B$, $C$, $D$; тогда наш прямые — это прямые $AB$, $AC$, $AD$, $BC$, $BD$ и $CD$. Эти прямые не должны иметь точку пересечения, отличных от $A$, $B$, $C$, $D$, поэтому $ABCD$ — параллелограмм, но диагонали $AC$ и $BD$ параллелограмма не могут быть параллельны. Противоречие.

4. $(1,1), (1,3), (3,1), (3,7), (7,3).$ Решение е. $2x+1$ нечетно и делится на $y$, поэтому $y$ нечетно; аналогично $x$ нечетно. Числа $x$ и $y$ взаимно просты: если $x$ и $y$ делятся на $p$, то $2x$ и $2x+1$ делятся на $p$, ировно $N/pq$, делящих на $pq$. Значит, среди чисел 1, …, $N$ имеетсяровно $(N/p)-(N/pq)=N(q-1)/pq$ чисел, делящих на $p$, но не делящих на $q$. Тепер обратимся к вопросам а) и б). а) Число 997 920 делится на 11·5 и на 12·7.

В силу сказанного среди чисел 1, …, 997 920 имеется 997 920·4/55 = 72 576, делящих на 12, но не делящих на 7. Первых больше, и оставшиеся до миллиона 2080 чисел этого баланса не изменят: среди них делящих на 12 менее 200.

6. Аналогично предыдущего среди чисел 1, …, 999 960, делящих на 13, но не делящих на 6, есть 64 100, а делящих на 15, но не делящих на 26 — столбко же (потому что 5/13·6 = 25/15·26). Поскольку вычитание числа 999 960 не меняет делимости ни одна из чисел 13, 5, 15, 26, средя остальных до миллиона чисел интерсуulos нас столько же, сколько среди чисел 1, …, 40. А среди этих чисел переlix имеет три (13, 26, 39), а вторых — два (15, 30).

6. $\left(\frac{1-\sin(\alpha/2)}{1+\sin(\alpha/2)}\right)^{999}$. Указа и е. Гомотетия с центром в верхине угла, переводящая 1-ю окружность во 2-ю, переводит 2-ю окружность в 3-ю, 3-ю в 4-ю и т. д. Простой подчет показывает, что коэффициент этой готовности равен $1-\sin(\alpha/2)/1+\sin(\alpha/2)$.

7. $2S_1-S_2+2\pi$. Решение е. $P_a$ состоит из $P$, нескольких прямой уголговольников общей площадью $ap$, где $p$ — перimetр многоугольника $P$, и нескольких секторов, составляющих круг радиуса $a$ (рис. 1). Следовательно, $S_a=S+ap+π^2$. Решая относительно $S$ и $p$ системы $S_1=S+p+\pi$, $S_2=S+2p+4\pi$, получаем: $S=2S_1-2S_2+2\pi$ (и $p=S_2-S_1+3\pi$).

8. 79 или 80. Решение е. Okружность пересечает 20 горизонтальных линий и 20 вертикальных, каждую оборот она 80 раз переходит из клетки в клетку. У нее есть 4 возможности дважды

60

ник является квадратом со сторонами $\frac{1}{3\sqrt{2}}$ (рис. 7, а), то для стороны сечения $a+b$ из равенства $a^2+b^2=\frac{1}{18}$ получаем оценку $\frac{1}{18} = a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\geqslant(a+b)^2-\frac{(a+b)^2}{2} = \frac{(a+b)^2}{2}$, откуда $a+b\leqslant\frac{1}{3}$. Отсюда следует, что параллелепипеды с «квадратными» основаниями могут быть вписаны в парамиду лишь тогда, когда секущая плоскость удалена от плоскости основания на расстояние $h$, не меньше чем $\frac{2}{3}$ и не больше, чем $1-\frac{1}{3\sqrt{2}}$. Квадрат длины диагонали параллелепипеда при этом равен $d^2=\frac{1}{9}+h^2$.

Если основание параллелепипеда — прямоугольник со сторонами $x$ и $y$ (рис. 7, б), то $xy=\frac{1}{18}$, а сторона сечения парамиды плоскостью, в которой лежит верхнее основание, равна $\frac{x+y}{\sqrt{2}}\geqslant\sqrt{2}\cdot\sqrt{xy}=\frac{1}{9}$; отсюда следует, что все такие сечения удалены от плоскости основания на расстояние $h$, не превыходит $\frac{2}{3}$.

При $0<h\leqslant\frac{2}{3}$ квадрат длины диагонали равен $d^2=h^2+x^2+y^2=\left(1-\frac{x+y}{\sqrt{2}}\right)^2+x^2+y^2=\frac{3}{2}(x+y)^2-(x+y)\sqrt{2}+\frac{8}{9}$.

Нанмененные значения $d^2$ достигается при $x+y=\frac{\sqrt{2}}{3}$, то есть при $h=\frac{2}{3}$.

Нанбольшее значение функции $d^2$ достигается при $x+y=\sqrt{2}$, но при этом «пропадает» параллелепипед ($h=0$).

Вариант 2

1. $\left\{\log_3 \frac{6+\sqrt{33}}{3}\right\}$.
2. $\{0\}$.
3. $a\in[4;\infty]$.
4. $\sin 2\alpha=\pm\frac{3}{8}\sqrt{7}$.
5. Таких tetrahedров два. $V_1=\frac{2}{3}(1+\sqrt{5})$; $V_2=\frac{2}{3}\sqrt{22+10\sqrt{5}}$. Указание. Из условия следует, что tetrahedры, описанные в условиям задачи «устроены» так, как показано на рисунке 8. (Здесть $d$ — наибольшее ребро, $0<k<1$ — коэффициент подобия треугольников.) Поскольку $\sqrt{2+2\sqrt{5}}/2\sqrt{2+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$, построку либо $k=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$, либо $k^2=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$. Первый случай невозможен (не существует треугольника со сторонами $d$, $kd$, $k^2d$). Во втором случае ($k=\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$) получаем 2 tetrahedра с $d=\sqrt{2+2\sqrt{5}}$ и $kd=2\sqrt{2+2\sqrt{5}}$. Для вычисления объема полезно заметить, что треугольник со сторонами $d$, $kd$ и $k^2d$ — прямойугольный ($k^4=k^2+1$).

Вариант 3

1. $-311; -11\left[\cup\right]1; \frac{3}{2}\left[.\right]$.
2. $\{(-4,5); 3)\}$.
3. $x=\frac{\pi}{3}+(2n+1)\pi$, $n\in\mathbb{Z}$.
4. $x_D=1,2$.
5. $\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{6}$. Указание. По теореме синусов радиусокружности, описанной около треугольника ADC, равен радиусу окружности, описанной около треугольника ABC, поэтому угол CAD может принадлежать значения $5\pi/12$ и $7\pi/12$. В первом из них $BD \perp AC$. Во втором случае через точку $D$ проведите прямую, параллельную $AC$, а через точку $B$ — плоскость, перпендикулярную $AC$. Эта плоскость пересечет $l$ в точке $K$. Найдите отношение $DK/BD=\cos BDK$.

Физика

1. $v_1=\sqrt{\frac{E_0m_2m_3}{m_1(m_1m_2+m_1m_3+m_2m_3)}}$;
2. $v_2=\sqrt{\frac{E_0m_1m_3}{m_2(m_1m_2+m_1m_3+m_2m_3)}}$;
3. $v_3=\sqrt{\frac{E_0m_1m_2}{m_3(m_1m_2+m_1m_3+m_2m_3)}}$.
4. $p=2Mv^2n\cos^2\alpha/N_A=1,01\cdot10^5$ Па (здесть $M=28\cdot10^{-3}$ кг/mоль — молярная масса азота, $N_A=6,02\cdot10^{23}$ моля $^{-1}$ число Авогадро).
5. $\Delta U=(3/2)(m/M)R\Delta T=3,11\cdot10^3$ Дж;
6. $A=(m/M)R\Delta T=2,08\cdot10^3$ Дж;
7. $Q=\Delta U+A=5,19\cdot10^3$ Дж.
8. $\Delta W=-\frac{2\pi\varepsilon_0R_1R_2(\varphi_1-\varphi_2)^2}{R_1+R_2}$;
   уменьшение энергии связиано с выделением джоулева телла при перераспределении зарядов на проводники.
9. $\varepsilon=(A+W)/W=4,5$.
10. $\varphi_A=\mathcal{E}_2-\frac{(\mathcal{E}_2-\mathcal{E}_1)C_1}{C_1+C_2}=2,7$ В.
11. $l=v\Delta t=1,1$ м;

61

$$s = \sqrt{\left( \frac{2m_pv \sin \alpha}{q_pB} \right)^2 + (v \cos \alpha \Delta t)^2} = 0,59 \text{ m}.$$
Указание. Прототип движения по винтовой линии и за время $\Delta t$ он сделает 1,5 оборота.
8. $x \approx R/(n-1)$.
9. $x = h \left( \frac{\sin \alpha}{\sqrt{n^2 - \sin^2 \alpha}} \right) = 0,19 \text{ m}$.
10. См. рис. 9.

Ленинградский государственный педагогический институт им. А. И. Герцена

Математика
Вариант 1

1. {1}. 2. а) $-3/5$; 6) 4/5.
2. {4} $\cup$ [5; 7].
3. 7, 24, 25.
4. $3a^2/4, a^3\sqrt{2}/32$.

Вариант 2

1. $\sqrt{a^2}-1$. 2. 4 мин. 3. $x_1 = -\frac{\pi}{4} + \pi n; x_2 = \pi/2 + 2\pi k, x_3 = 2\pi l (k, l, n \in \mathbb{Z})$.
2. $]1/100; \infty[$.
3. $75\sqrt{3}/4$.

Вариант 3
2. {0; 1/2}. 3. $]5/9; 1] \cup ]6; \infty[$.
4. 150 r; 450 r;
5. $\pi b^2 \sqrt{e^2 - 4b^2 \sin^2 \alpha/2/4 \cos^2 \alpha/2}$.

Вариант 4
2. {3/2}. 3. $]-6; 1[$.
4. {10}. 5. 192.

Физика

1. $H = v^2/(60g) = 2,13 \cdot 10^5 \text{ m} = 213 \text{ km}$;
   $t = v/(30g) = 38 \text{ c}; g_H = gR^2/(R + H)^2 = 9,19 \text{ m/c}^2$.
2. $t = \pi \sqrt{R/g} = 2,53 \cdot 10^3 \text{ c} = 42,2 \text{ min}$.
3. $F_{\text{тр}} = mg \sin \alpha$, где $0 \leqslant \alpha < \text{arc tg} \mu$;
   $F_{\text{тр}} = \mu mg \cos \alpha$, где arc tg $\mu \leqslant \alpha \leqslant \pi/2$.
4. Нет, нельзя.
5. $p = \frac{p_0 T_1 T_2 (V_1 + V_2)}{T_0 (V_1 T_2 + V_2 T_1)}$.
6. $t = \varrho V g H / (\eta N)$.
7. $r_K / r_B = \sqrt{1 / \varepsilon_K}$.
8. $F = \frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0 h^2} = \frac{m^2 e^6}{(4\pi \varepsilon_0)^3 h^4} = 8,3 \cdot 10^{-8} \text{ H}$
   (здесь $r_1 = \frac{4\pi \varepsilon_0 h^2}{me^2}$ — радиус первого борвской орбиты, $\varepsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/m}$ — электрическая постоянная, $h = 1,05 \cdot 10^{-34} \text{ Дж·с}$ — постоянная Планка, $m = 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$ — масса электрона, $e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$ — его заряд).
9. $E_k = e^2 r^2 B^2/(2m)$.
10. $N = 1,38 \cdot 10^{44} \text{ m}^{-3}$;
    $\varrho = m_0 N = 2,3 \cdot 10^{17} \text{ кг/m}^3$; $m = \varrho V_0 = 2,3 \cdot 10^{11} \text{ кг}$ (здесь $V_0 = 1 \text{ cm}^3$).

Ленинградский электротехнический институт им. В. И. Ульянова(Ленинна)

Математика
Вариант 1

1. a) π.

6. $x_1 = \frac{\pi}{4}(2k+1), x_2 = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{4} + \pi l (k, l \in \mathbb{Z})$.
   b) 7. Указание. Сделайте замену переменной $v = \cos^2 x$.

2. a) $]-2; -1[ \cup ]0; \infty[$;

6. $x \in \left\{ \frac{1 - \sqrt{17}}{2}; \frac{1 + \sqrt{17}}{2} \right\}$;
   b) $]- \sqrt{2}; -1[ \cup ] \sqrt{2}; \infty[$;

г) $a \in ]-1; 0[ \cup ]1; \infty[$. Указание сущность, если величина $x = \frac{-2a}{a+1}$ удовлетворяет условиям $x > -a, x \in ]-2; -1[ \cup ]0; \infty[$.
3. 6) $R \in \{1/9; 9\}$.
b) Указание. Гипотенуза всегда больше катета.

Вариант 2

1. a) $A = B=1$.

6. $A = -1/6, B = -2/3$.
   b) $A \geqslant 0; B \geqslant 0$. Указание. Надо найти $A$ и $B$ такие, что $2Ax + 1 + \frac{B}{x} \geqslant 0$ при $x > 0$.

2. a) $]0; 1[ \cup ]1; \infty[$;

6. $x \in \{\sqrt{2}; 4\}$;
   b) $x \in \{1/2; 2\}$;
   r) $a \in ]- \infty; -2] \cup [2; \infty[$. Указание. Сделайте замену переменной $v = \log_2 x$ и исследуйте соответствующую функцию аргумента $v$.

3. a) $\beta \in \left[ \frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2} \right[$. Указание. При $\beta < \frac{\pi}{4}$ точка $D$ не попадает на гипотенуза.

6. Указание. Используйте равенство $AD = AB - 2BH$.
   b) $\beta = \frac{\pi}{3}$. Указание. Фактически надо найти $\beta$ такое, что $AD=1$.
   Вариант 3

1. a) $x=2$;

6. $x \in ]1; \infty[$;
   b) $-4$. Указание. Сделайте замену переменной $v = 3^x$ и найти минимум выражения $v^2 - 2v - 3$.
   r) при $a \in ]- \infty; -4[$ нет решения; при $a \in [-4] \cup [-3; \infty[$ одно решение, при $a \in ]-4; -3[$ два решения. Указание. В обозначении $n$. В задача равносильна находится числа положительных корней уравнения $v^2 - 2v - 3=a$.

2. a) Экстремумов нет.

6. $x=0$;
   b) $x \in ]1; \infty[$. Указание. Из п. a) видно, что функция $f$ возвращает и $f(1)=1$.

3. 6. $a_1 = \arccos \frac{1}{3}, a_2 = \arccos \frac{2}{3}$. Указание. По условию задачи $0 < a < \frac{\pi}{2}$; в) 1/2.

Физика

1. $v = \sqrt{v_0^2 + g^2 t^2}$; вектор $\vec{v}$ составляет с горизонтом угол $a = \arctg (g/t)$.
2. $T = (F_1 + 2F_2)/3 = 80 \text{ H}$.
3. $A_1 = -\mu mgh \text{ ctg } \beta; A_2 = -mgh$.
4. $P = 2mv = 0,2 \text{ кг} \cdot \text{m/c}; F = 2mv/t = 2 \text{ H}$.
5. $h = \frac{p_0}{q_0} (2 \frac{T_2}{T_1} - 1) = 8,7 \text{ м}$ (здесь $p_0 = 101 325 \text{ Па}$ — нормальное давление).
6. $Q = qr/(R+r)$.
7. Две положительные спиралы следует соединить параллельно.
8. $v = E/B = 10^5 \text{ m/c}; \vec{v} \perp \vec{E}$ и $\vec{B}$.
9. $\Delta \varphi = 0,02 \text{ B}$.
10. $f_2 = 7,5 \text{ cm}$.

В поисках оптимального раскрой (см. «Квант» № 3)

1. Для доказательства достаточно какихое выражение вида $sin (2t + \theta_k)$ разложить по формуле для синуса суммы; собрав отдельно слагаемые, содержащие sin $2t$, и слагаемые, содержащие cos $2t$, мы представим сумму $T(t)$ в виде

62

$T(t) = P \sin 2t + Q \cos 2t$, где числа $P$ и $Q$ от $t$ не зависит. Затем, пользоваться примемом введения вспомогательного угла, представим $T(t)$ в требуемом виде.

2. Если функция $f(t) = \sin(2t + \theta)$ (рис. 10) на некотором интервале имеет точку минимума, то в такой точке значение $f(t)$ обращано быть равным $-1$. Но на интервале $(t_0 - \varepsilon; t_0 + \varepsilon)$ функция нигде не принимает значения $-1$ (она там по условию неотрицательна). Поэтому для функции $\sin(2t + \theta)$ нет на интервале $(t_0 - \varepsilon; t_0 + \varepsilon)$ никаких точек минимума. Следовательно, найдется там такое значение аргумента $t_1$, для которого верно требуемое неравенство.

3. Приименим ту же идею «малогошевления» к варианту II. Ввод обозначения: $BAK_0 = t_0$, $S_{ACD} = \sigma$, видим, что $S_{\Pi_0} = \sigma + T(t_0)$, где

$$T(t_0) = S_{AK_0}C + S_{CL_0D} + S_{DN_0A} = \frac{1}{2} AC^2 \cdot \sin(2t_0 + 2\lambda) - \frac{1}{2} CD^2 \sin(2t_0 + 2\lambda - 2\beta) + \frac{1}{2} AD^2 \sin(2t_0 + 2\lambda + 2\alpha).$$

В силу задачи 1 эту сумму можно представить в виде

$$T(t_0) = \varrho \sin(2t_0 + \theta),$$

(*)

где $\varrho$ и $\theta$ от $t_0$ не зависит, $\varrho > 0$. Поворачивая опорную прямую $AK_0$ (рис. 11) вокруг точки $A$ на малый угол, убеждаемся, что при этом описанный прямой будет по-прежнему иметь на своей контуре точки $A$, $C$, $D$. Говоря точнее, можно выбрать настолько малый интервал $(t_0 - \varepsilon; t_0 + \varepsilon)$, что пока угол $t(t = BAK)$ принадлежит этому интервалу, соответствующей опорной прямой прямойки $\Pi(FKLN)$ будет иметь вершину $F$ в точке $A$, а внутрен стороны $KL$ и $LN$ — соответственно точки $C$ и $D$. Понятно, что

$$S_{\Pi} = \sigma + T(t), \quad T(t) = \varrho \sin(2t + \theta),$$

(**)

где $\varrho$ и $\theta$ — те же, что и в формуле (*). Но в силу утверждения из задачи 2 возможно подобрать такой угол $t$ в интервале $(t_0 - \varepsilon; t_0 + \varepsilon)$, что $\sin(2t + \theta) < \sin(2t_0 + \theta)$.

Для соответствующего описанного прямойника $S_{\Pi} < S_{\Pi_0}$, т. е. прямойник $P_0$ и в варианте II не является оптимальным.

4. Пусть на контуре описанного прямойника $P_0$ (рис. 12) расположены вершины $A$, $C$, $D$, $E$ многоугольника $M$; пусть $AB$ — сторона $M$, а $t_0$ — угол ее наклона к стороне $AK_0$. Пошевелим немного опорную прямую $AK_0$, повернуть ее вокруг вершины $A$ на малый угол. В результате прямая $AK_0$ займет новое положение $AK$, а угол $t_0$ немного увеличится (или уменьшится); его новое значение обозначим через $t$. Соответственно повернется немного (и, быть может, несколько деформаруется) прямойник $P_0$; новый описанный прямойник обозначим через $P$. Однако если угол поворота достаточно мал (т. е. если $t$ достаточно мал отличается от $t_0$), то картина качественно не изменится: четыре вершины $A$, $C$, $D$, $E$ остаются внутриними точками четырех различных сторон опорного прямойника $P_0$, а остальные вершины $M$ будут внутри $P$. Так будет обостrated дело, пока угол $t$ будет оставаться внутри некоторого достаточно малого интервала $(t_0 - \varepsilon; t_0 + \varepsilon)$. Обозначим углы и площадь вспомогательного четыреххугольника $ACDE$ через $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, $\sigma$, пусть $CAB = \lambda$. Нетрудно подчитать, что $S_{\Pi_0} = \sigma + T(t)$, где $T(t_0) = \varrho \sin(2t + \theta)$,

где $\varrho$ и $\theta$ — числа, не зависит от $t_0$ (а зависит только от элементов многоугольника $M$ (точнее, от длины отрезков $AC$, $CD$, $DE$, $EA$ и от углов $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, $\sigma$). Аналогично найдем, что $S_{\Pi} = \sigma + T(t)$, где $T(t_0) = \varrho \sin(2t + \theta)$.

Рассуджда, как в предыдущих двух вариантах, заключаем $A$ и $B$ — нетупые углы; пусть $F$ — вершина многоугольника $M$, наиболее удобная.

63

ленняя от прямой AB, и $S_{ABF} = \sigma$. Описанный около M прямогольник $\Pi_0$, чей контур содержит в качестве своей стороны отрезок AB; имеет площадь 2$\sigma$. Пусть $\Pi$ — произвольный другой описанный прямогольник. Тогда он накрывает $\Delta ABF$, причем отрезок AB уже не является для $\Pi$ сторонами. Если BF или AF (для определенности — BF) — сторона M, то угол при вершине F в многоугольнике тупой, и поэтому описанный прямогольник $\Pi$, построенный на прямой BF, не имеет своего отрезок BF, так что $S_n > 2\sigma$. Если же ни BF, ни AF, ни AB не служат сторона для описанного прямогольника $\Pi$, то — как мы уже видели (случай треугольника) — $S_\Pi > 2\sigma$. Значит, только один описанный прямогольник, а именно $\Pi_0$, имеет наименьшую возможную площадь (2$\sigma$).

6. Так как у M не может быть более трех нетупых углов, то в нашем случае две стороны многоугольника M, к которым прилегают нетупые углы, — смejные. Пусть это будет AB и BC (рис. 14). Описанный около M прямогольник $\Pi_1$, имеющий свой стороны отрезок AB, будет, очевидно, иметь площадь 2$\sigma$, где $\sigma = S_{ABC}$. То же верно для прямогольника $\Pi_2$, для которого стороны служит BC. Всякий же другой описанный прямогольник $\Pi$ будет содержать треугольник ABC, причем ни одна сторона этого треугольника не оказывается стороны прямогольника $\Pi$. Поэтому $S_\Pi > 2\sigma$. Тем самым показано, что только $\Pi_1$ и $\Pi_2$ — оптимальные прямогольники для M.

Калейдоскоп «Кванта»
(см. «Квант» № 3)

Вопросы и задачи

1. Наличие пор в стенках сосуда приводит к увеличению свободной поверхности жидкости, и больше число высокоэнергичных молекул могут покинуть ее, тем самым «охлаждая» содержимое сосуда.
2. Хлеб чертевет, часть влаги испаряется, и вес хлеба уменьшается.
3. Увеличение свободной поверхности жидкости увеличивает скорость ее испарения.
4. Вода из-за большой тепломкости проревается медленнее воздуха, поэтому она холоднее. При выходе из воды капельки ее, оставшиеся на теле, испарются, кожа охладается, и воздух каждой холоднее воды.
5. При кипении в прорике будет насыщенный пар, вода в стакане и в прорике будет на одном уровне.
6. Поскольку в обихах сосуда температура 100 °C, из внешнего сосуда во внутренний энергия передаваться не будет, и вода в стакане не закипит.
7. Можно, если понжать в сосуда с водой давление до давления насыщенного пара при данной температуре.
8. Температура плавления бронзы ниже железа.
9. График I—I относится к стеклу, II—II — к металлу.
10. Движение воды в реке постояно выносит со дня на ее поверхности более теплое воды.
11. Да, если вода нагревается в термтически закупренном сосуде. В этом случае ее температура может достигнуть 374 °C, температура же плавления свинца 327 °C.
12. За счет потенциальной энергией взаимодействия молекул, убывающей при их перестройке в процессе кристализации.

Микроопыт
Medная проводка пережет led быстрее. Однако из принин, обусловливающих это явление, — хорошо теплопроводность меди, обеспечивающая подвод телла из окружающей среды к месту контакта лед — медь.

Задачи ХLIX Московской городской математической олимпиды
(см. «Квант», 1986, № 9, c. 57)

Подробные указания и решения этих задач включают в сборник «Московские математические олимпиды», выпущенный в конце прошлогода года издательством «Просвещение».

Избранные задачи Ленинградской городской олимпиды по математике
(см. «Квант», 1986, № 9, c. 57)

1. Рассмотрите проекции вершин на самую длину сторону.
2. Рассмотрите номера дней, дающие фиксированный остаток при делении на 100.
3. Пусть минимальные пути из A в B до и после закрытия одной авиалинии (ребра) различны и состоит соответствием из $a+p+b$, $a+q+b$ ребер; а и b ребер — общие, p и q обязают цикл, $1 \leq p < q$. Расмотрим пути от A и B до самых далеких от них точки цикла. Можно доказать что $a+(p+q-1)/2 \leq N$ и $b+(p+q-1)/2 \leq N$, откуда (поскольку $p \geq 1$) $a+q+b \leq 2N$.
4. В качестве этих точек M можно взять $4^4 = 256$ концов векторов $\overrightarrow{OM} = k_1\overrightarrow{v_1} + k_2\overrightarrow{v_2} + k_3\overrightarrow{v_3} + k_4\overrightarrow{v_4}$, где $k_i$ принимают значения 0, 1, 2 и 3 (1≤i≤4); векторы $v_i$ «обещают положения» (так что все 256 точек M различны), а прямые — их тоже 256 — переходит через все точки M параллельно векторам $v_i$. (Аналогично решение задачи с заменой 4 на 3 — проекция на плоскость проводного куба $2 \times 2 \times 2$, разделенного на клетки $1 \times 1 \times 1$; наш пример — проекция «4-мерного куба $3 \times 3 \times 3$».)
5. a) Ответ: первый. Выиграшная стратегия: идти по бисекторике угла прямогольника к вершине. 6) Ответ: второй. Одана из выигшших стратегии: дивитаться параллельно диагоналям и, обойдя прямогольник, заставить первоого вернуть к исходной точке.
   Если первой ход на четном расстоянии от параллельной ему стороны квадрата, есть более простая стратегия: продолжить отрезок, проводенный первыим.
6. Легко доказать «от противного».
7. Ответ: 987 (16-e число ряда 1, 1, 2, 3, 5, … чисел Фибоначчи). Если $a_k$ — количество четных чисел, для которых шаг 1 алгоритма выполняется $k$ раз, то $a_k+1 = a_k+a_{k-1}$.
8. Ответ: 16+64$\sqrt{2}$. Пример строится летко. Для доказательства оценки удобно клетки доски $9 \times 9$ раскрасти в шахматном порядке в черный и белый цвет (углы — белые) и затем еще 16 белых клеток показать в красный цвет тоже в «шахматном порядке» (углы остатся белыми). Тогда средние 50—2=48 ходов из 25 белых клеток лишь 32 ходов месту в красные клетки.
9. Рассмотрите проекции на диаметр объедининия; нужно примая перпендикулярна диаметр.
10. Добавьте сумму $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{9}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{999}+\sqrt{1000}}$ (меньшую исходной) и