Ленинградский государственный педагогический институт им. А. И. Герцена

55

10. Задана оптическая ось линзы $OO'$, светящая точка $S$ и ее изображение в линзе $S'$ (рис. 2). Найдите построением с помощью линейки и карандаша положение фокуса линзы.

Публикацию подготовили
В. А. Опарин, С. П. Преображенский,
И. В. Русанов, Ю. А. Хватов

Ленинградский государственный педагогический институт им. А. И. Герцена

Математика
Писменный экзамен

Вариант 1
(математический факультет)

1. Решите уравнение
   $$\log_{x+1}(x-0,5)=\log_{x-0,5}(x+1).$$
2. Найдите $\cos 2\alpha$, если известно, что $2\mathrm{ctg}^2\alpha+7\mathrm{ctg}\alpha+3=0$ и угол $\alpha$ удовлетворяет неравенству:
   a) $\frac{3\pi}{2} < \alpha < \frac{7\pi}{4}$; b) $\frac{7\pi}{4} < \alpha < 2\pi.$
3. Решите систему неравенств
   $$\sqrt{x^2-9x+20} \leq \sqrt{x-1} \leq \sqrt{x^2-13}.$$
4. В треугольник виссана окружность радиуса 3. Вычислите длины сторона треугольника, если одна из них разделена точкой касания на отрезки с длинами 4 и 3.
5. В правильную четырехугольную парамиду виссан куб так, что четыре его вершины находится на апофемах парамиды и четыре в плоскости основания. Все ребра парамиды равны $a$. Вычислите полную поверхность и объем куба.

Вариант 2
(физический факультет)

1. Упростите выражение
   $$\frac{1}{\sqrt{a-1}} - \sqrt{a+1} : \frac{1}{\sqrt{a+1}} - \sqrt{a-1} : \frac{1}{(a-1)\cdot\sqrt{a+1}} - \frac{1}{(a+1)\cdot\sqrt{a-1}}.$$
2. Два тела начали движение одновременно и движутся прямолинейно настругу друг друга. Однако из них проходит в каждой минуту 7 м, другой в первую минуту прошло 24 м, а в каждую последующую проходит на 4 м меньше, чем в предыдущую. Через сколько минут оба тела встретились, если первоначальное расстояние между ними было равно 100 м?
3. Решите уравнение
   $$1 + \sin 2x = \sin x + \cos x.$$
4. Решите неравенство
   $$3^{\lg x} + 2 < 3^{\lg x^2} + 5 - 2.$$
5. Основание прямой призмы — треугольник со стороны 5 и 3 и углом $120^\circ$ между ними. Найбольшая из плоскей боковых граней равна 35. Найдите объем призмы.

Вариант 3
(xимический факультет)

1. Проверьте равенство
   $$\sin 20^\circ \cdot \cos 10^\circ + \cos 160^\circ \cdot \cos 100^\circ = 1.$$
2. Решите уравнение
   $$3 \cdot 16^x + 2 \cdot 81^x = 5 \cdot 36^x.$$
3. При каких значениях $p$ оба корня уравнения $x^2+2(p+1)x+9p-5=0$ отрицательны?
4. Смешали 30 %-ный расчет соляной кислоты с 10 %-ным и получили 600 г 15 %-ного растворора. Сколько граммов каждого растворора было взято?
5. В цилиндр виссана прямая призма, основанием которого служит равноведенный треугольник с тупым углом, равным $a$. Найдите объем цилиндра, если известно, что боковая сторона основания призмы равна $b$, а диагональ больше боковой грани равна $l$.

Вариант 4
(индивидуно-педагогический факультет)

1. Доказите точность
   $$\cos \alpha \cdot \cos \beta - \cos(\alpha + \beta) = \mathrm{tg} \alpha \cdot \mathrm{tg} \beta.$$
2. Решите уравнение
   $$\log_2(2x-1) + \log_2(x+5) = \log_213.$$
3. Решите неравенство
   $$\left(\frac{1}{5}\right)^{x^2+5x} > 25^{-3}.$$
4. Упростите и вычислите значение выражения
   $$\sqrt[6]{4x \cdot (11+4\sqrt{6})} \cdot \sqrt[3]{4\sqrt{2x}-2\sqrt{3x}}$$ при $x=50.$
5. Основание прямой с помощью равенств у которой стороны равны 10 и 18, а площадь равна 90. Высота прямых проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 6. Определите боковую поверхность этой прямой.

Физика
Задание устного экзамена

1. Чтобы покинут Землю, пакета должна развить скорость $v=11,2$ km/c. На какой высоте и через какой промежуток времени при вертикальном подъеме это произойдет, если пакета будет движаться с постояннымускопенем $a=30g$? Каково на этой высотеускопенем свободного падения? Радиус Земли $R=6,37 \cdot 10^6$ м. Считать, что действующая на камень сила тяжесте меняет по закону $F=mgr/R$, где $r$ — расстояние от камня массой $m$ до центра Земли.
2. Если бы через центр Земли удалось прорыть сквозной канал, то сколько времени попадилось бы свободно padающему камню, чтобы достичь противоположного конца канала? Радиус Земли $R=6,37 \cdot 10^6$ м. Считать, что действующая на камень сила тяжесте меняет по закону $F=mgr/R$, где $r$ — расстояние от камня массой $m$ до центра Земли.
3. Найдите зависимость модели силы трения скольжения тела массой $m$ от поверхности наклона плоскости $a$ в интервале $0 \leq a \leq \pi/2$. Коэффициент трения скольжения равен $\mu$.
4. Можно ли достичь.body из колодца глубиной $h=12$ м с помощью насса, расположенного на поверхности Земли и способного создавать в опущенной в колодце трубе скольго угода низкое давление воздуха?