Viện kỹ thuật điện Leningrad được đặt theo tên. V. I. Ulyanova (Lênin)

56

5. Hai quả cầu có thể tích $V_1$ và $V_2$ được chứa trong một ống ngắn có vách ngăn xốp cách nhiệt. Với sự trợ giúp của nó, sự cân bằng về áp suất chứ không phải nhiệt độ được thiết lập trong các bình. Hệ thống ở nhiệt độ $T_0$ và chứa khí dưới áp suất $p_0$. Sau đó, nhiệt độ của quả cầu thứ nhất thay đổi thành $T_1$ và quả cầu thứ hai - thành $T_2$. Áp lực nào sẽ được thiết lập trong hệ thống? Sự phân bố nhiệt của quả cầu là giả định.

6. Nước được bơm từ giếng có độ sâu $H$ bằng máy bơm có công suất $N$. Hiệu suất bơm $\eta$. Sẽ mất bao lâu để bơm ra lượng nước $V$?

7. Khoảng cách giữa hai điện tích chính xác trong dầu hỏa và trong chân không phải tương ứng như thế nào để lực tương tác giữa các điện tích là như nhau trong cả hai trường hợp?

8. Lực tương tác giữa một proton và một electron trên quỹ đạo thứ nhất trong mô hình Bohr của nguyên tử là bao nhiêu? Thật thuận tiện khi thực hiện phép tính bằng máy tính vi mô.

9. Một electron đặt trong từ trường đều chuyển động theo một đường tròn có bán kính $r$. Cảm ứng từ trường $B$. Hướng của vectơ cảm ứng phân bố lại mặt phẳng của đường tròn. Tìm động năng của electron.

10. Giả sử bán kính của hạt nhân nguyên tử bằng $R=1,2\cdot 10^{-15}\cdot A^{1/3}$ m, trong đó $A$ là số khối, hãy xác định mật độ của vật chất hạt nhân, biểu thị bằng số nucleon trong $1\text{ m}^3$ và tính bằng kg/$\text{m}^3$. Khối lượng nucleon $m_0=1,67\cdot 10^{-27}$ kg. Khối lượng 1 cm$^3$ của một chất chỉ gồm hạt nhân sẽ là bao nhiêu?

Ấn phẩm được biên soạn bởi M. I. Kalinina, V. V. Laptev

Viện kỹ thuật điện Leningrad được đặt theo tên. V. I. Ulyanova (Lênin)

Toán học
Bài thi viết
Tùy chọn 1

1. Cho hàm $f(x)=\text{tg}^2 x+16 \cos^2 x$.
   a) Tìm chu kỳ nhỏ nhất của hàm số $f$.
   b) Giải phương trình $f(x)=9$.
   b) Tìm giá trị cực tiểu của hàm số $f$.
2. Cho hàm $f(x)=\log_2 \frac{x(x+1)}{x+2}$.
   a) Tìm miền xác định của hàm $f$.
   b) Giải phương trình $f(x)=1$.
   b) Giải bất đẳng thức $f(x)>0$.
   d) Với những giá trị nào của $a$ thì phương trình $f(x)=\log_2 (x+a)$ có lời giải?
3. Các đường tròn có bán kính 1 và $R$ có tâm tại các điểm $A$ và $B$ chạm vào nhau từ bên ngoài. Lấy $l$ chạm vào các vòng tròn này lần lượt tại hai điểm khác nhau $C$ và $D$.
   a) Chứng minh tỉ số $\frac{AB}{CD}$ bằng $k(R)=\frac{R+1}{2\sqrt{R}}$.
   b) Tìm các giá trị của $R$ nếu $k(R)=\frac{5}{3}$.
   b) Chứng minh rằng $k(R) \geq 1$.

Tùy chọn 2

1. Cho hàm $f(x)=Ax^2+x+B\cdot \ln x$.

a) Tìm $A$ và $B$ nếu biết rằng $f(1)=2$, $f'(1)=4$.
b) Với điểm $A$ và $B$ thì điểm $x=1$ và $x=2$ là điểm cực trị của hàm số $f$?
b) Với $A$ và $B$ thì hàm số tăng trên toàn bộ miền định nghĩa của nó?
2. Cho hàm $f(x)=\log_2 x+\log_2 2$.
a) Tìm miền xác định của hàm $f$.
b) Giải phương trình $f(x)=1$.
b) Giải bất đẳng thức $f(x)>1$.

3. Cho một tam giác $ABC$, trong đó $CB=1$, $\hat{C}=\pi/2$, $\hat{B}=\beta$, $CH$ là đường cao của tam giác, điểm $D$ nằm trên đoạn $AH$, $DH=HB$.
   a) Góc $\beta$ có thể nhận những giá trị nào?
   b) Chứng minh rằng $AD=\frac{1}{\cos \beta}-2 \cos \beta$.
   b) Góc $\beta$ có thể nhận những giá trị nào nếu biết các đoạn $AD$ và $CD$ bằng nhau?

Tùy chọn 3

1. Cho hàm $f(x)=9^x-2\cdot 3^x-3$.
   a) Giải phương trình $f(x)=60$.
   b) Giải bất đẳng thức $f(x) \geq 0$.
   b) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm $f$.
   d) Phương trình $f(x)=a$ có bao nhiêu lời giải tùy thuộc vào giá trị của $a$?

2. Cho hàm $f(x)=x^4-(x-1)^4$.
   a) Hàm số $f$ có cực trị không?
   b) Giải phương trình $f(x)+1=0$.
   b) Giải bất đẳng thức $f(x)>1$.

3. Một tam giác $ABC$ nội tiếp trong một vòng tròn đơn vị sao cho $AB=AC$, $\hat{A}=2\alpha$, $AD$ là các đường cao của tam giác. Hãy biểu thị nó bằng $H(\alpha)=AB-AD$.
   a) Chứng minh rằng $H(\alpha)=2(\cos \alpha-\cos^2 \alpha)$.
   b) Tìm tất cả $a$ sao cho $H(\alpha)=4/9$.
   b) Tìm giá trị lớn nhất của $H$.

Vật lý
Bài toán thi viết

1. Một vật được ném lên một độ cao nhất định theo phương nằm ngang với vận tốc $v_0$. Tìm tốc độ của cơ thể $t$ giây sau khi ném. Cho hai cách lời giải.
2. Hai lực ngược chiều nhau $F_1=40$ N và $F_2=100$ N tác dụng vào hai đầu của một thanh đồng chất. Xác định lực căng của thanh tại mặt cắt ngang chia thanh thành hai phần tỉ lệ 1:2.
3. Một vật có khối lượng $m$ được nâng lên trên một mặt phẳng nghiêng có độ cao $h$. Góc ở đáy mặt phẳng nghiêng là $\beta$, hệ số 3 giữa vật và mặt phẳng nghiêng là $\mu$. Xác định công do ma sát thực hiện và công do trọng trường thực hiện.
4. Một quả cầu kim loại có khối lượng $m=20$ g, rơi với tốc độ $v=5$ m/s, đập vào một tấm thép và bật ra theo hướng ngược chiều với cùng vận tốc tuyệt đối. Tìm xung lực mà quả bóng nhận được và lực trung bình truyền xung lực này tới quả bóng nếu va chạm kéo dài $t=0,1$ s.
5. Bóng cao su trên bờ để áp suất bình thường. Hỏi phải hạ thùng nước xuống độ sâu bao nhiêu để thể tích của nó giảm đi một nửa? Nhiệt độ không khí $T_1=300$ K, nhiệt độ nước $T_2=277$ K, mật độ nước $\rho=1000$ kg/m$^3$.
6. Ở khoảng cách $R$ tính từ điện tích chính xác $+q$ có một quả cầu dẫn điện có bán kính $r$

57

được nối với đất bằng một sợi dây mỏng. Xác định độ lớn điện tích âm sinh ra trên mảnh vỡ. Bỏ qua ảnh hưởng của dây dẫn.

7. Bếp điện được thiết kế cho điện áp $U_1=220$ V phải được chuyển mà không thay đổi hoặc rút ngắn các đường xoắn ốc sang điện áp $U_2=110$ V để công suất của bếp được giữ nguyên. Cần phải làm gì? Đưa ra lời giải tương tự và bản phác thảo sơ đồ của tấm sau khi thay đổi.

8. Một electron bay vào các trường điện ($E=1000$ V/m) và từ trường ($B=0,01$ T) vuông góc lẫn nhau. Để nó chuyển động thẳng đều thì electron phải có hướng và tốc độ như thế nào?

Trường học yêu thích bài toán

1. $\sqrt{99}/4$. U kaza và e. Đừng quên rằng chiều dài của cạnh thứ ba không vượt quá 5.

2. Một vòng tròn không có ranh giới, đồng tâm với một vòng tròn nhất định và có bán kính lớn thứ hai. U kaza và e. Nếu góc $A$ của tam giác $ABC$ bằng $a$ thì góc giữa các đường cao vẽ từ đỉnh $B$ và $C$ sẽ bằng $\pi-a$. Do đó, giao điểm của các đường cao nằm trên một đường tròn bằng đường tròn đã cho và cắt đường tròn đó tại các điểm $B$ và $C$.

3. 5. Lời giải e. Nếu một trong sáu đường thẳng đã cho $l$ chỉ đi qua một giao điểm $A$ thì năm đường thẳng còn lại sẽ đi qua $A$ (trống $m_1$) hoặc song song (trống $m_2$). Chúng ta có: $m_1+m_2=5$, $m_1>0$, $m_2>0$ và số giao điểm là $1+m_1m_2$; cái sau là 5 hoặc 7. Giả sử mỗi đường đi qua ít nhất hai điểm giao nhau. Nếu giao điểm nhỏ hơn 5 thì có 4 giao điểm. Chúng ta hãy biểu thị chúng bằng $A$, $B$, $C$, $D$; thì các dòng của chúng ta là các dòng $AB$, $AC$, $AD$, $BC$, $BD$ và $CD$. Những đường này không được có điểm giao nhau ngoài $A$, $B$, $C$, $D$, vì vậy $AB\parallel CD$, $AC\parallel BD$ và $AD\parallel BC$. Từ cái thứ nhất và thứ ba, sau đây $ABCD$ là hình bình hành, nhưng các đường chéo $AC$ và $BD$ của hình bình hành không thể song song. Sự mâu thuẫn.

4. $(1,1), (1,3), (3,1), (3,7), (7,3).$ Lời giải e. $2x+1$ là số lẻ và chia hết cho $y$, nên $y$ là số lẻ; tương tự $x$ là kỳ quặc. Các số $x$ và $y$ là số nguyên tố cùng nhau: nếu $x$ và $y$ chia hết cho $p$ thì $2x$ và $2x+1$ chia hết cho $p$ và do đó 1 chia hết cho $p$. Số $2x+2y+1$ chia hết cho $x$ và cho $y$; điều này có nghĩa là nó chia hết cho $xy$, do đó $2x+2y+1 \geqslant xy$. Hãy $x \leqslant y$; sau đó là $2x+2y+1 < 5y$ hoặc $x=y=1$. Trong cả hai trường hợp $xy < 5y$ và $x < 5$. Điều này để lại hai khả năng: $x=1$ và $3$ chia cho $y$ hoặc $x=3$ và $7$ chia cho $y$.

5. a) Có nhiều thứ đầu tiên hơn. 6) Có nhiều cái đầu tiên hơn. Lời giải e. Nếu $p$ và $q$ là số nguyên tố cùng nhau và $N$ chia hết cho $pq$ thì trong các số 1, …, $N$ có chính xác $N/p$ chia cho $p$, và chính xác là $N/pq$ chia cho $pq$. Điều này có nghĩa là trong số các số 1, …, $N$ có chính xác $(N/p)-(N/pq)=N(q-1)/pq$ số chia hết cho $p$ nhưng không chia hết cho $q$. Bây giờ chúng ta chuyển sang câu hỏi a) và b). a) Số 997 920 chia hết cho 11·5 và ​​12·7.

6. Trong một từ trường đều ($B=0,01$ T), các đường cảm ứng thẳng đứng, một thanh kim loại có chiều dài $l=1$ m trượt khỏi một mặt phẳng nghiêng. Xác định hiệu điện thế ở hai đầu thanh nếu góc nghiêng của mặt phẳng so với đường chân trời là $\alpha=30^\circ$.

7. Hệ thống quang học bao gồm hai đường thu có tiêu cự $F_1=20$ cm và $F_2=10$ cm. Khoảng cách giữa các mặt là $l=30$ cm. Vật nằm cách đường thẳng đầu tiên $d_1=30$ cm. Hình ảnh sẽ thu được ở khoảng cách nào từ dòng thứ hai?

Ấn phẩm được biên soạn bởi A. N. Kogotsov, M. A. Maramzin, S. V. Fomin

Trường học yêu thích bài toán

1. $\sqrt{99}/4$. U kaza và e. Đừng quên rằng chiều dài của cạnh thứ ba không vượt quá 5.

2. Một vòng tròn không có ranh giới, đồng tâm với một vòng tròn nhất định và có bán kính lớn thứ hai. U kaza và e. Nếu góc $A$ của tam giác $ABC$ bằng $a$ thì góc giữa các đường cao vẽ từ đỉnh $B$ và $C$ sẽ bằng $\pi-a$. Do đó, giao điểm của các đường cao nằm trên một đường tròn bằng đường tròn đã cho và cắt đường tròn đó tại các điểm $B$ và $C$.

3. 5. Lời giải e. Nếu một trong sáu đường thẳng đã cho $l$ chỉ đi qua một giao điểm $A$ thì năm đường thẳng còn lại sẽ đi qua $A$ (trống $m_1$) hoặc song song (trống $m_2$). Chúng ta có: $m_1+m_2=5$, $m_1>0$, $m_2>0$ và số giao điểm là $1+m_1m_2$; cái sau là 5 hoặc 7. Giả sử mỗi đường đi qua ít nhất hai điểm giao nhau. Nếu giao điểm nhỏ hơn 5 thì có 4 giao điểm. Chúng ta hãy biểu thị chúng bằng $A$, $B$, $C$, $D$; thì các dòng của chúng ta là các dòng $AB$, $AC$, $AD$, $BC$, $BD$ và $CD$. Các đường thẳng này không được có điểm giao nhau ngoài $A$, $B$, $C$, $D$ nên $ABCD$ là hình bình hành nhưng các đường chéo $AC$ và $BD$ của hình bình hành không thể song song. Sự mâu thuẫn.

4. $(1,1), (1,3), (3,1), (3,7), (7,3).$ Lời giải e. $2x+1$ là số lẻ và chia hết cho $y$, nên $y$ là số lẻ; tương tự $x$ là kỳ quặc. Các số $x$ và $y$ là số nguyên tố cùng nhau: nếu $x$ và $y$ chia hết cho $p$ thì $2x$ và $2x+1$ chia hết cho $p$ và chính xác $N/pq$ chia hết cho $pq$. Điều này có nghĩa là trong số các số 1, …, $N$ có chính xác $(N/p)-(N/pq)=N(q-1)/pq$ số chia hết cho $p$ nhưng không chia hết cho $q$. Bây giờ chúng ta chuyển sang câu hỏi a) và b). a) Số 997 920 chia hết cho 11·5 và ​​12·7.

Theo những gì đã nói, trong số các số 1, …, 997.920 có 997.920 4/55 = 72.576, chia cho 12, nhưng không chia cho 7. Có nhiều số đầu tiên hơn, và 2080 số còn lại lên đến một triệu sẽ không làm thay đổi số dư này: trong số đó có ít hơn 200 chia cho 12.

6. Tương tự như trên, trong các số 1, …, 999.960 chia cho 13 nhưng không chia cho 6 thì có 64.100, chia cho 15 nhưng không chia cho 26 thì có một cột (vì 13/5 6 = 25/15 26). Vì phép trừ số 999.960 không làm thay đổi tính chia hết của bất kỳ số nào trong số 13, 5, 15, 26, nên trong số hàng triệu số còn lại có nhiều số xen kẽ như trong số các số 1, …, 40. Và trong số những số này Perelix có ba (13, 26, 39) và số thứ hai - hai (15, 30).

6. $\left(\frac{1-\sin(\alpha/2)}{1+\sin(\alpha/2)}\right)^{999}$. Nghị định và e. Một đồng nhất có tâm ở đầu góc, chuyển vòng tròn thứ 1 sang vòng tròn thứ 2, chuyển vòng tròn thứ 2 sang vòng tròn thứ 3, thứ 3 sang vòng tròn thứ 4, v.v. Một phép tính đơn giản cho thấy hệ số của mức sẵn sàng này là $1-\sin(\alpha/2)/1+\sin(\alpha/2)$.

7. $2S_1-S_2+2\pi$. Lời giải e. $P_a$ bao gồm $P$, một số góc vuông có tổng diện tích $ap$, trong đó $p$ là chu vi của đa giác $P$ và một số cung tạo nên một hình tròn có bán kính $a$ (hình 1). Vì vậy, $S_a=S+ap+π^2$. Giải $S$ và $p$ các hệ $S_1=S+p+\pi$, $S_2=S+2p+4\pi$, ta thu được: $S=2S_1-2S_2+2\pi$ (và $p=S_2-S_1+3\pi$).

8. 79 hoặc 80. Lời giải e. Vòng tròn cắt 20 đường ngang và 20 đường thẳng đứng, mỗi vòng nó đi từ ô này sang ô khác 80 lần. Cô ấy có 4 khả năng hai lần

60

nick là một hình vuông có các cạnh $\frac{1}{3\sqrt{2}}$ (hình 7, a), sau đó đối với cạnh của phần $a+b$ từ đẳng thức $a^2+b^2=\frac{1}{18}$, chúng ta thu được ước tính $\frac{1}{18} = a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\geqslant(a+b)^2-\frac{(a+b)^2}{2} = \frac{(a+b)^2}{2}$, từ đó $a+b\leqslant\frac{1}{3}$. Theo đó, các hình bình hành có đáy “vuông” chỉ có thể được nội tiếp trong một paramid khi mặt phẳng cắt được di chuyển khỏi mặt phẳng của đáy ở khoảng cách $h$, không nhỏ hơn $\frac{2}{3}$ và không lớn hơn $1-\frac{1}{3\sqrt{2}}$. Bình phương chiều dài đường chéo của hình bình hành bằng $d^2=\frac{1}{9}+h^2$.

Nếu đáy của hình bình hành là một hình chữ nhật có các cạnh $x$ và $y$ (hình 7, b), thì $xy=\frac{1}{18}$, và cạnh của tiết diện paramid với mặt phẳng chứa đáy trên bằng $\frac{x+y}{\sqrt{2}}\geqslant\sqrt{2}\cdot\sqrt{xy}=\frac{1}{9}$; Theo đó, tất cả các phần như vậy phải được loại bỏ khỏi mặt phẳng của đế một khoảng $h$, không vượt quá $\frac{2}{3}$.

Tại $0<h\leqslant\frac{2}{3}$ bình phương chiều dài đường chéo là $d^2=h^2+x^2+y^2=\left(1-\frac{x+y}{\sqrt{2}}\right)^2+x^2+y^2=\frac{3}{2}(x+y)^2-(x+y)\sqrt{2}+\frac{8}{9}$.

Các giá trị được áp dụng của $d^2$ đạt được ở $x+y=\frac{\sqrt{2}}{3}$, tức là ở $h=\frac{2}{3}$.

Giá trị lớn hơn một chút của hàm $d^2$ đạt được ở $x+y=\sqrt{2}$, nhưng đồng thời, đường song song ($h=0$) “biến mất”.

Tùy chọn 2

1. $\left\{\log_3 \frac{6+\sqrt{33}}{3}\right\}$.
2. $\{0\}$.
3. $a\in[4;\infty]$.
4. $\sin 2\alpha=\pm\frac{3}{8}\sqrt{7}$.
5. Có hai tứ diện như vậy. $V_1=\frac{2}{3}(1+\sqrt{5})$; $V_2=\frac{2}{3}\sqrt{22+10\sqrt{5}}$. Gợi ý. Nó tuân theo điều kiện là các khối tứ diện được mô tả trong điều kiện bài toán được “sắp xếp” như trong hình 8. (Ở đây $d$ là cạnh lớn nhất, $0<k<1$ là hệ số tương tự của các tam giác.) Vì $\sqrt{2+2\sqrt{5}}/2\sqrt{2+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$, hàng là $k=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ hoặc $k^2=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$. Trường hợp đầu tiên là không thể (không có tam giác nào có cạnh $d$, $kd$, $k^2d$). Trong trường hợp thứ hai ($k=\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$), chúng ta nhận được 2 tứ diện với $d=\sqrt{2+2\sqrt{5}}$ và $kd=2\sqrt{2+2\sqrt{5}}$. Để tính thể tích, cần lưu ý rằng một tam giác có các cạnh $d$, $kd$ và $k^2d$ là tam giác vuông ($k^4=k^2+1$).

Tùy chọn 3

1. $-311; -11\left[\cup\right]1; \frac{3}{2}\left[.\right]$.
2. $\{(-4,5); 3)\}$.
3. $x=\frac{\pi}{3}+(2n+1)\pi$, $n\in\mathbb{Z}$.
4. $x_D=1,2$.
5. $\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{6}$. Gợi ý. Theo định lý sin, bán kính đường tròn mô tả xung quanh tam giác ADC bằng bán kính đường tròn mô tả xung quanh tam giác ABC nên góc CAD có thể thuộc các giá trị $5\pi/12$ và $7\pi/12$. Trong số đó đầu tiên $BD \perp AC$. Trong trường hợp thứ hai, vẽ một đường thẳng song song với $AC$ qua điểm $D$ và một mặt phẳng vuông góc với $AC$ qua điểm $B$. Mặt phẳng này sẽ cắt nhau $l$ tại $K$. Tìm tỉ số $DK/BD=\cos BDK$.

Vật lý

1. $v_1=\sqrt{\frac{E_0m_2m_3}{m_1(m_1m_2+m_1m_3+m_2m_3)}}$;
2. $v_2=\sqrt{\frac{E_0m_1m_3}{m_2(m_1m_2+m_1m_3+m_2m_3)}}$;
3. $v_3=\sqrt{\frac{E_0m_1m_2}{m_3(m_1m_2+m_1m_3+m_2m_3)}}$.
4. $p=2Mv^2n\cos^2\alpha/N_A=1,01\cdot10^5$ Pa (ở đây $M=28\cdot10^{-3}$ kg/mol là khối lượng mol của nitơ, $N_A=6,02\cdot10^{23}$ mol $^{-1}$ số Avogadro).
5. $\Delta U=(3/2)(m/M)R\Delta T=3,11\cdot10^3$ J;
6. $A=(m/M)R\Delta T=2,08\cdot10^3$ J;
7. $Q=\Delta U+A=5,19\cdot10^3$ J.
8. $\Delta W=-\frac{2\pi\varepsilon_0R_1R_2(\varphi_1-\varphi_2)^2}{R_1+R_2}$;
   sự giảm năng lượng liên kết do giải phóng cơ thể Joule trong quá trình phân phối lại điện tích cho dây dẫn.
9. $\varepsilon=(A+W)/W=4,5$.
10. $\varphi_A=\mathcal{E}_2-\frac{(\mathcal{E}_2-\mathcal{E}_1)C_1}{C_1+C_2}=2,7$ V.
11. $l=v\Delta t=1,1$ m;

61

$$s = \sqrt{\left( \frac{2m_pv \sin \alpha}{q_pB} \right)^2 + (v \cos \alpha \Delta t)^2} = 0,59 \text{ m}.$$
Gợi ý. Nguyên mẫu di chuyển dọc theo một đường xoắn ốc và trong thời gian $\Delta t$ nó sẽ quay được 1,5 vòng.
8. $x \approx R/(n-1)$.
9. $x = h \left( \frac{\sin \alpha}{\sqrt{n^2 - \sin^2 \alpha}} \right) = 0,19 \text{ m}$.
10. Xem hình 9.

Học viện sư phạm bang Leningrad được đặt theo tên. A. I. Herzen

Toán học
Tùy chọn 1

1. {1}. 2. a) $-3/5$; 6) 4/5.
2. {4} $\cup$ [5; 7].
3. 7, 24, 25.
4. $3a^2/4, a^3\sqrt{2}/32$.

Tùy chọn 2

1. $\sqrt{a^2}-1$. 2,4 phút. 3. $x_1 = -\frac{\pi}{4} + \pi n; x_2 = \pi/2 + 2\pi k, x_3 = 2\pi l (k, l, n \in \mathbb{Z})$.
2. $]1/100; \infty[$.
3. $75\sqrt{3}/4$.

Tùy chọn 3
2. {0; 1/2}. 3. $]5/9; 1] \cup ]6; \infty[$.
4. 150 r; 450 r;
5. $\pi b^2 \sqrt{e^2 - 4b^2 \sin^2 \alpha/2/4 \cos^2 \alpha/2}$.

Tùy chọn 4
2. {3/2}. 3. $]-6; 1[$.
4. {10}. 5. 192.

Vật lý

1. $H = v^2/(60g) = 2,13 \cdot 10^5 \text{ m} = 213 \text{ km}$;
   $t = v/(30g) = 38 \text{ c}; g_H = gR^2/(R + H)^2 = 9,19 \text{ m/c}^2$.
2. $t = \pi \sqrt{R/g} = 2,53 \cdot 10^3 \text{ c} = 42,2 \text{ min}$.
3. $F_{\text{тр}} = mg \sin \alpha$, trong đó $0 \leqslant \alpha < \text{arc tg} \mu$;
   $F_{\text{тр}} = \mu mg \cos \alpha$, trong đó cung tg $\mu \leqslant \alpha \leqslant \pi/2$.
4. Không, bạn không thể.
5. $p = \frac{p_0 T_1 T_2 (V_1 + V_2)}{T_0 (V_1 T_2 + V_2 T_1)}$.
6. $t = \varrho V g H / (\eta N)$.
7. $r_K / r_B = \sqrt{1 / \varepsilon_K}$.
8. $F = \frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0 h^2} = \frac{m^2 e^6}{(4\pi \varepsilon_0)^3 h^4} = 8,3 \cdot 10^{-8} \text{ H}$
   (ở đây $r_1 = \frac{4\pi \varepsilon_0 h^2}{me^2}$ là bán kính của quỹ đạo Borv thứ nhất, $\varepsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/m}$ là hằng số điện, $h = 1,05 \cdot 10^{-34} \text{ Дж·с}$ là hằng số Planck, $m = 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$ là khối lượng của electron, $e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$ là điện tích của nó).
9. $E_k = e^2 r^2 B^2/(2m)$.
10. $N = 1,38 \cdot 10^{44} \text{ m}^{-3}$;
    $\varrho = m_0 N = 2,3 \cdot 10^{17} \text{ кг/m}^3$; $m = \varrho V_0 = 2,3 \cdot 10^{11} \text{ кг}$ (ở đây $V_0 = 1 \text{ cm}^3$).

Viện kỹ thuật điện Leningrad được đặt theo tên. V. I. Ulyanova (Leninna)

Toán học
Tùy chọn 1

1. a) π.

6. $x_1 = \frac{\pi}{4}(2k+1), x_2 = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{4} + \pi l (k, l \in \mathbb{Z})$.
   b) 7. Gợi ý. Thực hiện thay đổi cho biến $v = \cos^2 x$.

2. a) $]-2; -1[ \cup ]0; \infty[$;

6. $x \in \left\{ \frac{1 - \sqrt{17}}{2}; \frac{1 + \sqrt{17}}{2} \right\}$;
   b) $]- \sqrt{2}; -1[ \cup ] \sqrt{2}; \infty[$;

d) $a \in ]-1; 0[ \cup ]1; \infty[$. Gợi ý là một thực thể nếu đại lượng $x = \frac{-2a}{a+1}$ thỏa mãn điều kiện $x > -a, x \in ]-2; -1[ \cup ]0; \infty[$.
3. 6) $R \in \{1/9; 9\}$.
b) Gợi ý. Cạnh huyền luôn lớn hơn chân.

Tùy chọn 2

1. a) $A = B=1$.

6. $A = -1/6, B = -2/3$.
   b) $A \geqslant 0; B \geqslant 0$. Gợi ý. Chúng ta cần tìm $A$ và $B$ sao cho $2Ax + 1 + \frac{B}{x} \geqslant 0$ cho $x > 0$.

2. a) $]0; 1[ \cup ]1; \infty[$;

6. $x \in \{\sqrt{2}; 4\}$;
   b) $x \in \{1/2; 2\}$;
   r) $a \in ]- \infty; -2] \cup [2; \infty[$. Gợi ý. Thực hiện thay đổi biến $v = \log_2 x$ và kiểm tra hàm đối số tương ứng $v$.

3. a) $\beta \in \left[ \frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2} \right[$. Gợi ý. Với $\beta < \frac{\pi}{4}$, điểm $D$ không rơi vào cạnh huyền.

6. Gợi ý. Sử dụng đẳng thức $AD = AB - 2BH$.
   b) $\beta = \frac{\pi}{3}$. Gợi ý. Trên thực tế, chúng ta cần tìm $\beta$ sao cho $AD=1$.
   Tùy chọn 3

1. a) $x=2$;

6. $x \in ]1; \infty[$;
   b) $-4$. Gợi ý. Thực hiện thay đổi biến $v = 3^x$ và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $v^2 - 2v - 3$.
   r) với $a \in ]- \infty; -4[$ không có lời giải; với $a \in [-4] \cup [-3; \infty[$ một lời giải, với $a \in ]-4; -3[$ hai lời giải. Gợi ý. Trong ký hiệu $n$. Trong bài toán tương đương với việc tìm số nghiệm dương của phương trình $v^2 - 2v - 3=a$.

2. a) Không có cực đoan.

6. $x=0$;
   b) $x \in ]1; \infty[$. Gợi ý. Từ phần a) rõ ràng hàm $f$ cũng trả về $f(1)=1$.

3. 6. $a_1 = \arccos \frac{1}{3}, a_2 = \arccos \frac{2}{3}$. Gợi ý. Theo điều kiện bài toán $0 < a < \frac{\pi}{2}$; c) 1/2.

Vật lý

1. $v = \sqrt{v_0^2 + g^2 t^2}$; vectơ $\vec{v}$ tạo một góc $a = \arctg (g/t)$ với đường chân trời.
2. $T = (F_1 + 2F_2)/3 = 80 \text{ H}$.
3. $A_1 = -\mu mgh \text{ ctg } \beta; A_2 = -mgh$.
4. $P = 2mv = 0,2 \text{ кг} \cdot \text{m/c}; F = 2mv/t = 2 \text{ H}$.
5. $h = \frac{p_0}{q_0} (2 \frac{T_2}{T_1} - 1) = 8,7 \text{ м}$ (ở đây $p_0 = 101 325 \text{ Па}$ là áp suất bình thường).
6. $Q = qr/(R+r)$.
7. Hai hình xoắn ốc dương nên được kết nối song song.
8. $v = E/B = 10^5 \text{ m/c}; \vec{v} \perp \vec{E}$ và $\vec{B}$.
9. $\Delta \varphi = 0,02 \text{ B}$.
10. $f_2 = 7,5 \text{ cm}$.

Để tìm kiếm cách cắt tối ưu (xem «Kvant» số 3)

1. Để chứng minh điều đó, chỉ cần khai triển một số biểu thức có dạng $sin (2t + \theta_k)$ theo công thức tính sin của tổng là đủ; bằng cách tập hợp riêng các số hạng chứa sin $2t$ và các số hạng chứa cos $2t$, chúng ta biểu diễn tổng $T(t)$ dưới dạng

62

$T(t) = P \sin 2t + Q \cos 2t$, trong đó các số $P$ và $Q$ không phụ thuộc vào $t$. Sau đó, bằng cách sử dụng kỹ thuật giới thiệu góc phụ, chúng ta trình bày $T(t)$ ở dạng yêu cầu.

2. Nếu hàm $f(t) = \sin(2t + \theta)$ (hình 10) có điểm tối thiểu trên một khoảng nhất định thì tại thời điểm đó, giá trị của $f(t)$ được đặt bằng $-1$. Nhưng trên khoảng $(t_0 - \varepsilon; t_0 + \varepsilon)$ hàm không lấy giá trị $-1$ ở bất kỳ đâu (nó không âm theo điều kiện). Do đó, đối với hàm $\sin(2t + \theta)$ không có điểm tối thiểu trên khoảng $(t_0 - \varepsilon; t_0 + \varepsilon)$. Do đó, có một giá trị của đối số $t_1$ mà bất đẳng thức yêu cầu là đúng.

3. Hãy áp dụng ý tưởng tương tự về “chuyển động thấp” cho phương án II. Ký hiệu đầu vào: $BAK_0 = t_0$, $S_{ACD} = \sigma$, chúng ta thấy rằng $S_{\Pi_0} = \sigma + T(t_0)$, trong đó

$$T(t_0) = S_{AK_0}C + S_{CL_0D} + S_{DN_0A} = \frac{1}{2} AC^2 \cdot \sin(2t_0 + 2\lambda) - \frac{1}{2} CD^2 \sin(2t_0 + 2\lambda - 2\beta) + \frac{1}{2} AD^2 \sin(2t_0 + 2\lambda + 2\alpha).$$

Do bài toán 1, tổng này có thể được biểu diễn dưới dạng

$$T(t_0) = \varrho \sin(2t_0 + \theta),$$

(*)

trong đó $\varrho$ và $\theta$ không phụ thuộc vào $t_0$, $\varrho > 0$. Bằng cách xoay đường tham chiếu $AK_0$ (hình 11) xung quanh điểm $A$ một góc nhỏ, chúng tôi đảm bảo rằng đường thẳng được mô tả sẽ vẫn có các điểm $A$, $C$, $D$ trên đường viền của nó. Chính xác hơn, bạn có thể chọn một khoảng nhỏ $(t_0 - \varepsilon; t_0 + \varepsilon)$ sao cho trong khi góc $t(t = BAK)$ thuộc khoảng này, thì đường thẳng tham chiếu tương ứng $\Pi(FKLN)$ sẽ có đỉnh $F$ tại điểm $A$, và các cạnh trong $KL$ và $LN$ sẽ có các điểm $C$ và $D$. Rõ ràng là

$$S_{\Pi} = \sigma + T(t), \quad T(t) = \varrho \sin(2t + \theta),$$

(**)

trong đó $\varrho$ và $\theta$ giống như trong công thức (*). Nhưng nhờ phát biểu từ bài toán 2, có thể chọn góc $t$ trong khoảng $(t_0 - \varepsilon; t_0 + \varepsilon)$ sao cho $\sin(2t + \theta) < \sin(2t_0 + \theta)$.

Đối với đường thẳng được mô tả tương ứng $S_{\Pi} < S_{\Pi_0}$, tức là đường thẳng $P_0$ cũng không tối ưu trong phương án II.

4. Đặt các đỉnh $A$, $C$, $D$, $E$ của đa giác $M$ nằm trên đường viền của đường thẳng được mô tả $P_0$ (hình 12); gọi $AB$ là cạnh $M$ và $t_0$ là góc nghiêng của nó so với cạnh $AK_0$. Hãy di chuyển đường thẳng tham chiếu $AK_0$ một chút và xoay nó quanh đỉnh $A$ một góc nhỏ. Kết quả là đường thẳng $AK_0$ sẽ có vị trí mới $AK$ và góc $t_0$ sẽ tăng (hoặc giảm) một chút; chúng tôi biểu thị giá trị mới của nó bằng $t$. Theo đó, đường thẳng $P_0$ sẽ xoay một chút (và có thể bị biến dạng một chút); chúng tôi biểu thị đường thẳng được mô tả mới bằng $P$. Tuy nhiên, nếu góc quay đủ nhỏ (tức là nếu $t$ khác đủ so với $t_0$), thì ảnh sẽ không thay đổi về chất: bốn đỉnh $A$, $C$, $D$, $E$ vẫn là các điểm bên trong của bốn cạnh khác nhau của đường thẳng tham chiếu $P_0$, và các đỉnh còn lại $M$ sẽ nằm trong $P$. Bằng cách này, vấn đề sẽ trở nên trầm trọng hơn cho đến khi góc $t$ vẫn nằm trong một khoảng khá nhỏ $(t_0 - \varepsilon; t_0 + \varepsilon)$. Hãy biểu thị các góc và diện tích của tứ giác phụ $ACDE$ bằng $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, $\sigma$, gọi $CAB = \lambda$. Không khó để tính toán rằng $S_{\Pi_0} = \sigma + T(t)$, trong đó $T(t_0) = \varrho \sin(2t + \theta)$,

trong đó $\varrho$ và $\theta$ là số, không phụ thuộc vào $t_0$ (mà chỉ phụ thuộc vào các phần tử của đa giác $M$ (chính xác hơn là vào độ dài của các đoạn $AC$, $CD$, $DE$, $EA$ và vào các góc $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, $\sigma$). Tương tự, chúng tôi cũng thấy rằng $S_{\Pi} = \sigma + T(t)$, trong đó $T(t_0) = \varrho \sin(2t + \theta)$.

Lập luận, như trong hai phương án trước, chúng ta kết luận rằng $A$ và $B$ là các góc không tù; đặt $F$ là đỉnh thuận tiện nhất của đa giác $M$.

63

lười biếng từ AB thẳng và $S_{ABF} = \sigma$. Một hình chữ nhật $\Pi_0$ được mô tả gần M, có đường viền chứa đoạn AB làm cạnh của nó; có diện tích là 2$\sigma$. Cho $\Pi$ là một hình chữ nhật ngoại tiếp khác tùy ý. Sau đó, nó bao phủ $\Delta ABF$ và đoạn AB không còn là cạnh của $\Pi$. Nếu BF hoặc AF (cụ thể là BF) là một cạnh của M, thì góc tại đỉnh F trong đa giác là tù, và do đó hình chữ nhật được mô tả $\Pi$, dựng trên đường thẳng BF, không có đoạn BF riêng, vì vậy $S_n > 2\sigma$. Nếu cả BF, AF và AB đều không đóng vai trò là cạnh của hình chữ nhật được mô tả $\Pi$, thì - như chúng ta đã thấy (trường hợp hình tam giác) - $S_\Pi > 2\sigma$. Điều này có nghĩa là chỉ có một hình chữ nhật được mô tả, cụ thể là $\Pi_0$, có diện tích nhỏ nhất có thể (2$\sigma$).

6. Vì M không thể có nhiều hơn ba góc không tù, nên trong trường hợp của chúng ta, hai cạnh của đa giác M mà các góc không tù kề nhau sẽ kề nhau. Đặt nó là AB và BC (hình 14). Hình chữ nhật $\Pi_1$ được mô tả gần M, có các cạnh AB, rõ ràng sẽ có diện tích 2$\sigma$, trong đó $\sigma = S_{ABC}$. Điều tương tự cũng đúng với hình chữ nhật $\Pi_2$, mà BC đóng vai trò là cạnh. Mọi hình chữ nhật được mô tả khác $\Pi$ sẽ chứa tam giác ABC và không một cạnh nào của tam giác này là cạnh của hình chữ nhật $\Pi$. Vì vậy $S_\Pi > 2\sigma$. Điều này cho thấy chỉ $\Pi_1$ và $\Pi_2$ là hình chữ nhật tối ưu cho M.

Kính vạn hoa «Kvant»
(xem «Kvant» số 3)

Câu hỏi và bài toán

1. Sự hiện diện của các lỗ trên thành bình dẫn đến sự gia tăng bề mặt tự do của chất lỏng và một số lượng lớn hơn các phân tử năng lượng cao có thể rời khỏi nó, do đó “làm mát” chất chứa trong bình.
2. Bánh mì co lại, một phần hơi ẩm bốc hơi và trọng lượng của bánh mì giảm đi.
3. Sự gia tăng bề mặt tự do của chất lỏng làm tăng tốc độ bay hơi của nó.
4. Do có nhiệt dung cao nên nước chảy chậm hơn không khí nên lạnh hơn. Khi rời khỏi nước, những giọt còn sót lại trên cơ thể bay hơi, da nguội đi, không khí lạnh hơn nước.
5. Khi đun sôi sẽ có hơi nước bão hòa trong cốc tiên tri, nước trong cốc và trong tiên lượng ngang nhau.
6. Vì nhiệt độ bên trong bình là 100 ° C nên năng lượng sẽ không được truyền từ bình ngoài sang bình trong và nước trong cốc sẽ không sôi.
7. Có thể thực hiện được nếu bạn tạo áp suất cho bình bằng nước đến áp suất hơi bão hòa ở nhiệt độ nhất định.
8. Điểm nóng chảy của đồng thấp hơn sắt.
9. Đồ thị I—I tượng trưng cho thủy tinh, II—II tượng trưng cho kim loại.
10. Sự chuyển động của nước sông liên tục mang lại nước ấm hơn cho bề mặt của nó từ ngày này sang ngày khác.
11. Có, nếu nước được đun nóng trong bình kín nhiệt. Trong trường hợp này, nhiệt độ của nó có thể đạt tới 374 °C, trong khi điểm nóng chảy của chì là 327 °C.
12. Do năng lượng tương tác tiềm năng giữa các phân tử giảm trong quá trình tái cấu trúc của chúng trong quá trình kết tinh.

Kinh nghiệm vi mô
Dây đồng sẽ cắt qua đèn LED nhanh hơn. Tuy nhiên, một trong những nguyên nhân gây ra hiện tượng này là do tính dẫn nhiệt của đồng rất tốt, đảm bảo cung cấp cho cơ thể từ môi trường đến nơi tiếp xúc giữa băng và đồng.

Bài toán ХLIX Olympic Toán học Thành phố Moscow
(xem «Kvant», 1986, số 9, trang 57)

Chi tiết gợi ý và lời giải trong số bài toán này có trong bộ sưu tập “Olympic Toán học Moscow”, được xuất bản vào cuối năm ngoái bởi nhà xuất bản “Prosveshcheniye”.

Đã chọn bài toán Olympic Toán Thành phố Leningrad
(xem «Kvant», 1986, số 9, trang 57)

1. Xét hình chiếu của các đỉnh ở cạnh dài nhất.
2. Xét các số ngày có số dư cố định khi chia cho 100.
3. Đặt các đường dẫn tối thiểu từ A đến B trước và sau khi đóng một hãng hàng không (cạnh) là khác nhau và bao gồm sự tương ứng của các cạnh $a+p+b$, $a+q+b$; cạnh a và b là chung, p và q yêu cầu một chu trình, $1 \leq p < q$. Hãy xem xét các đường đi từ A và B đến các điểm của chu trình xa chúng nhất. Có thể chứng minh rằng $a+(p+q-1)/2 \leq N$ và $b+(p+q-1)/2 \leq N$, từ đó (kể từ $p \geq 1$) $a+q+b \leq 2N$.
4. Vì các điểm M này chúng ta có thể lấy các đầu $4^4 = 256$ của vectơ $\overrightarrow{OM} = k_1\overrightarrow{v_1} + k_2\overrightarrow{v_2} + k_3\overrightarrow{v_3} + k_4\overrightarrow{v_4}$, trong đó $k_i$ lấy các giá trị 0, 1, 2 và 3 (1<i<4); các vectơ $v_i$ “vị trí hứa” (sao cho tất cả 256 điểm của M đều khác nhau) và các đường thẳng—cũng có 256 điểm trong số đó—đi qua tất cả các điểm của M song song với các vectơ $v_i$. (Tương tự như lời giải bài toán với 4 được thay bằng 3 - hình chiếu lên mặt phẳng của khối dây $2 \times 2 \times 2$, được chia thành các ô $1 \times 1 \times 1$; ví dụ của chúng ta là hình chiếu của “khối lập phương 4 chiều $3 \times 3 \times 3$”.)
5. a) Đáp số: đầu tiên. Chiến lược chiến thắng là đi theo đường phân giác của góc hình chữ nhật đến đỉnh. 6) Đáp số: giây. Một trong những chiến lược chiến thắng là di chuyển song song với các đường chéo và bỏ qua hình chữ nhật, buộc người đầu tiên quay trở lại điểm xuất phát.
   Nếu nước đi đầu tiên cách cạnh hình vuông song song với nó một khoảng bằng nhau thì có một chiến lược đơn giản hơn: tiếp tục đoạn được vẽ trước.
6. Dễ dàng chứng minh bằng phản chứng.
7. Đáp số: 987 (Số thứ 16 của dãy 1, 1, 2, 3, 5,… dãy số Fibonacci). Nếu $a_k$ là số số chẵn mà bước 1 của thuật toán được thực hiện $k$ lần, thì $a_k+1 = a_k+a_{k-1}$.
8. Đáp số: 16+64$\sqrt{2}$. Ví dụ được xây dựng letko. Để chứng minh đánh giá, nên tô màu các ô bảng $9 \times 9$ theo hình bàn cờ đen và trắng (các góc màu trắng) và sau đó hiển thị 16 ô màu trắng khác màu đỏ, cũng theo “mẫu bàn cờ” (các góc sẽ vẫn trắng). Khi đó, trung bình 50-2=48 bước di chuyển từ 25 ô màu trắng chỉ để lại 32 bước di chuyển trong các ô màu đỏ.
9. Xem xét các hình chiếu lên đường kính liên kết; Bạn cần giữ nó vuông góc với đường kính.
10. Thêm số tiền $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{9}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{999}+\sqrt{1000}}$ (ít hơn số tiền ban đầu) và