Bất đẳng thức tuyến tính và bài toán M1085

38

Bất đẳng thức tuyến tính và bài toán M1085

Trong bài toán M1085 “Bài toán-ka” chúng ta đang nói về sự đan xen của các đường thẳng trên một mặt phẳng. Một số vòng hoa là hình chiếu của một hệ thống các đường không giao nhau trong không gian (hình 1, ​​​​a), và một số tương ứng với những vật thể “không thể” (hình 1, b). Chúng tôi đã nhận được một lá thư từ nhà toán học người Canada Walter Whiteley, người, trong khuôn khổ công việc khoa học của mình, đã đến LOB để nghiên cứu những vấn đề rối rắm như vậy. Cách tiếp cận của ông dựa trên việc sử dụng các bất đẳng thức tuyến tính.

Chúng ta sẽ giả sử rằng đám rối nằm trong mặt phẳng ngang (x, y) và không có đường thẳng nào đi qua điểm gốc. Hãy hướng trục OZ theo chiều dọc lên trên. Làm cách nào để đặt vị trí của dòng thứ i trong không gian? Hình chiếu của nó lên mặt phẳng (x, y) đã được cho trước, do đó đường thẳng nằm trong mặt phẳng thẳng đứng đi qua hình chiếu này. Để xác định vị trí của một đường thẳng trong không gian, chỉ cần xác định một mặt phẳng khác mà nó nằm trong đó là đủ - ví dụ, một mặt phẳng đi qua gốc tọa độ. Mặt phẳng này được cho bởi phương trình z=px+qy. Vì vậy, các đường trong không gian được đưa ra nếu đối với mỗi đường của đám rối các hệ số p_i và q_i riêng của nó được chọn.

Gọi (x_i,j_y) là tọa độ giao điểm của đường đám rối thứ i và thứ j. Khi đó, độ cao của điểm của đường thẳng thứ i trong không gian nằm phía trên điểm (x_i,j_y) là z=p_i x_i+q_i y_i, và đối với điểm tương ứng của đường thẳng thứ j là z=p_j x_j+q_j y_j. Nếu giao điểm giống như tại hình 2, a, thì p_i x_i+q_i x_j>p_j x_j+q_j x_i.

và nếu nó giống như trong hình 2, b thì bất đẳng thức ngược lại: p_i x_i+q_i x_j<p_j x_j+q_j x_i.

Tập các bất đẳng thức (1) và (2) cho tất cả các cặp chỉ số (i, j) tạo thành hệ bất đẳng thức tuyến tính với các ẩn số p_1,…,p_n, q_1,…,q_n. Nếu hệ thống này có lời giải thì sản phẩm vòng hoa là hình chiếu của các đường không gian và nếu hệ thống không nhất quán thì sản phẩm vòng hoa mô tả một vật thể “không thể”.

W. Whiteley cũng đưa ra một cách tiếp cận khác - về mặt vật lý - cho bài toán này. Hãy tưởng tượng rằng các đám rối thẳng được làm bằng dây cứng có thể uốn cong một chút. Sau đó, dựa trên bất kỳ hình ảnh nào, có thể tạo ra một đám rối dây “gần như” nằm trong mặt phẳng ngang.

Chúng ta hãy biểu thị bằng f_i_j độ lớn của lực đàn hồi tác dụng lên dây thứ j thẳng từ phía thứ i. Các lực này tác dụng tại các điểm tiếp tuyến của các đường thẳng và hướng dọc theo trục thẳng đứng Oz. Đối với giao lộ như tại hình 2, a, f_i_j<0 (3)
(lực hướng xuống dưới) và chẳng hạn như trên hình 2, b, f_i_j>0. (4)

Ngoài ra, lực tác dụng bằng phản lực:

f_i_j=-f_ji. (5)

Mỗi đường thẳng của đám rối làm cỏ sẽ cân đối. Điều này có nghĩa là tổng lực tác dụng lên đường thứ i bằng không:

f_1i+f_2i+…+f_ni=0 (i=1, 2,…, n). (6)

Tổng mômen của lực tác dụng lên đường thẳng thứ i so với trục OX và OY cũng bằng 0:

f_1i x_1i+f_2i x_2i+
+…+f_ni x_ni=0 (i=1, 2,…, n). (7)

f_1i y_1i+f_2i y_2i+
+…+f_ni y_ni=0 (i=1, 2,…, n). (8)

(Cuối cùng xem trang 60)