Ảnh quang học và mặt phẳng xạ ảnh

8

HÌNH ẢNH QUANG HỌC
VÀ MÁY BAY DỰ ÁN

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
V. N. DUVROVSKY,
Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
Y. A. SMORODINSKY

Mặt phẳng dự án

Bây giờ chúng ta sẽ chú ý hơn đến những điểm mà cho đến nay chúng ta chỉ đề cập ngắn gọn. Các điểm này là các tiêu điểm m và n, song song với “đường thấu kính” l và đi qua tiêu điểm F và F’ (hình 1). Những điểm này có liên quan đến chúng ta: người ta đã nói rằng các điểm của đường đầu tiên không được mô tả theo bất kỳ cách nào, bởi vì các tia phát ra từ chúng trở nên song song. Tương tự, các điểm của đường thẳng thứ hai dường như không đại diện cho bất cứ điều gì: các tia sáng song song với thấu kính hội tụ vào chúng. Tuy nhiên, người ta có thể không đồng ý với sự “phân biệt đối xử” như vậy. Xét cho cùng, việc nhìn thấy một nguồn sáng chính xác cũng giống như nhìn thấy những tia sáng mà nó phát ra, và một chùm tia song song không tệ hơn chùm tia trung tâm. Do đó, điều tự nhiên là coi bất kỳ chùm tia song song nào, như một chùm tia, phát ra từ một điểm xa vô tận nào đó - “tâm” của nó (câu hỏi toán học về một “ngôi sao ở xa”) và điểm của đường n, tại đó nó được hội tụ, là hình ảnh của tâm xa vô tận này. Không có chủ nghĩa thần bí nào ở đây: trong mọi trường hợp, các điểm ở vô cực là có thật cũng như các đường thẳng song song là có thật. Đồng thời, họ sẽ mang lại cái nhìn hoàn thiện cho tất cả các công trình của chúng tôi.

Hãy để chúng tôi đưa ra những định nghĩa chặt chẽ hơn. Đối với mỗi đường thẳng d của mặt phẳng, chúng ta thêm chính xác một điểm mới U_d và điểm tương tự được thêm vào tất cả các đường thẳng song song. Và tất cả những điểm mới được gộp lại thành một đường thẳng u “xa vô cùng”. Thủ tục này được gọi là hoàn thành mặt phẳng.

Trên mặt phẳng đã hoàn thành, “tiên đề của đường thẳng” được giữ nguyên—qua hai điểm bất kỳ, chỉ có thể kiểm tra được một đường thẳng. Ví dụ: nếu một trong hai điểm là điểm M “thông thường” và điểm kia là điểm ở vô cực U_d, thì đường thẳng chứa chúng đi qua M và song song với d; hệ quả duy nhất của nó là tiên đề về sự tương đương. Các kỹ thuật thỏa mãn tính chất đối xứng: hai đường thẳng bất kỳ có chính xác một điểm chung (thường hoặc vô hạn). Nói cách khác, trên một mặt phẳng hoàn chỉnh, hai đường thẳng luôn cắt nhau. Bất kỳ tập hợp điểm nào trong đó có thể nhìn thấy một hệ thống tập hợp con nhất định - “đường thẳng”, thỏa mãn hai thuộc tính * này được gọi là mặt phẳng dự án (trừu tượng). Định nghĩa rất chung chung này cho phép có nhiều cách hiểu khác nhau, bao gồm cả những “mặt phẳng” của một số điểm hữu hạn (ví dụ, xem lời giải bài toán M1113 trong «Kvant» Số 11 - 12 cho năm 1988). Việc bổ sung mặt phẳng bình thường bằng các điểm ở xa vô hạn sẽ mang lại tính thực tế của mặt phẳng thiết kế; Đây là chiếc máy bay duy nhất chúng ta đang nói đến.

Nhưng hãy quay trở lại với quang học. Bây giờ chúng ta có thể nói rằng đường lý tưởng của chúng ta tạo ra một ảnh p(A) cho

*) Để loại trừ những ví dụ hoàn toàn không thú vị, người ta thường thêm một điều nữa vào chúng: có 4 điểm, không có 3 điểm nào thẳng hàng.