Định luật Archimedes từ góc nhìn của một nhà toán học

44

LUẬT ARCHIMEDES TỪ QUAN ĐIỂM TOÁN HỌC

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
S. L. TABACHNIKOV

Chắc hẳn mọi người đều quen thuộc với câu chuyện Archimedes hét lên “Eureka!” nhìn ra khỏi bồn tắm… Nguyên nhân của công việc là do ông đã phát hiện ra định luật:
Một vật chìm trong chất lỏng sẽ mất đi mọi thứ bằng trọng lượng của nó khi bao bọc chất lỏng trong thể tích của nó.
Tất nhiên, thật thú vị khi khám phá ra một quy luật đơn giản và tao nhã như vậy. Tuy nhiên, tôi muốn thuyết phục bạn rằng luật này về bản chất là rất rõ ràng. Thẩm phán cho chính mình.
hình 1 thể hiện một vật chìm trong chất lỏng màu đỏ. Và bên cạnh đó thể tích chính xác của chất lỏng được hiển thị. Khối lượng (màu xanh) này tất nhiên là bất động. Điều này có nghĩa là lực hấp dẫn tác dụng lên nó được bù lại bằng một lực hướng lên từ chất lỏng. Lực tương tự tác dụng lên vật màu đỏ. Điều này có nghĩa là nó sẽ mất đi trọng lượng khi chứa chất lỏng trong thể tích của nó.

Đó là tất cả bằng chứng của định luật Archimedes. Tôi không nghĩ rằng chính Archimedes cũng biết lý do này, nhưng tôi chắc chắn rằng ông ấy sẽ đánh giá cao sự đơn giản của nó. Tuy nhiên, nó khó có thể làm hài lòng một nhà vật lý - xét cho cùng, không một lời nào được nói về bản chất của lực nổi. Đúng hơn, đây là lý luận của một nhà toán học…

Tôi khuyên bạn nên thử sức mình trong vai Archimedes. Hãy tưởng tượng rằng toàn bộ không gian chứa đầy nước và hai bong bóng khí đang trôi nổi trong nước này (và không có gì khác trên thế giới) - hình 2. Những bong bóng này sẽ hành xử như thế nào: chúng sẽ chuyển động về phía nhau, đẩy nhau hay chỉ đơn giản là đứng yên tại chỗ (tất nhiên, chúng ta bỏ qua lực ma sát trên mặt nước)? Nào, hãy thử đoán đáp số!

Bây giờ chúng ta hãy cùng nhau giải quyết bài toán này. Hãy bắt đầu bằng việc thay không khí trong một trong các bong bóng bằng nước và chúng ta sẽ không chạm vào bong bóng thứ hai. Khi đó, chỉ có một bong bóng khí nổi trong nước, và ở vị trí của bong bóng thứ hai sẽ có một thể tích nước A được phân bổ (hình 3). Rõ ràng là toàn bộ nước, kể cả thể tích A, sẽ đứng yên. Chúng ta hãy nhẩm xác định một thể tích nước B, đối xứng với một bong bóng khí so với A, và đặt câu hỏi: những lực nào tác dụng lên thể tích A?

Thứ nhất, đây là lực hút f của bọt khí hướng về bên trái, thứ hai là lực hút F của khối B hướng về bên phải. Tất cả các lực khác cân bằng lẫn nhau: ví dụ, khối B và G đối xứng ở hình 3 hút khối A với các lực bằng nhau.

Bây giờ chúng ta hãy làm một phép tính nhỏ. Ta ký hiệu khối lượng của bọt khí là p và q, khối lượng của thể tích nước là P và Q. Không khí nhẹ hơn nước nên số ký hiệu bằng chữ nhỏ nhỏ hơn số ký hiệu bằng chữ lớn: p < P và q < Q. Ta cần

45

biết lực mà các vật thể khác nhau bị hút vào nhau. Đáp số được cho bởi định luật vạn vật hấp dẫn:
Hai vật có khối lượng m và M đặt cách nhau một khoảng R thì hút nhau với một lực kmM/R2.
(k là hệ số dương không đổi, giá trị mà chúng ta sẽ không cần). Trong tính toán của chúng tôi, khoảng cách R sẽ không thay đổi, do đó k/R² có thể được coi là một hệ số không đổi và, để đơn giản, không được viết ra.

Vì vậy, chúng ta sẽ giả sử rằng các vật m và M hút nhau với lực mM. Do đó f=pQ và F=PQ. Chúng ta thấy rằng f<F. Tuy nhiên, thể tích nước A hoàn toàn không nghĩ đến việc chuyển động sang bên phải - nó đứng yên. Điều này có nghĩa là từ phía chất lỏng, nó chịu tác dụng của một lực F−f=PQ−pQ hướng vào bong bóng khí. Lực này có thể được gọi là “Archimedes”, và phát biểu được đưa ra hoàn toàn xứng đáng với cái tên “định luật Archimedes”.

Bây giờ đã đến thời điểm quyết định của cuộc thảo luận của chúng ta. Chúng ta lại thay thế thể tích nước A bằng bọt khí. Những lực nào đang tác dụng lên bong bóng này? Lực hấp dẫn g hướng về bong bóng đầu tiên hướng về bên trái (hình 4), lực hấp dẫn G hướng về thể tích nước B hướng về bên phải và lực Archimedean F−f hướng về bên trái. Các lực còn lại cân bằng lẫn nhau.

Việc tìm các lực g và G không khó hơn f và F. Đặt tên là: g=pq và G=Pq. Bây giờ chúng ta đã biết tất cả các lực tác dụng lên bong bóng A và chúng ta có thể tìm kết quả của chúng - đây là lực tác dụng lên bên trái
g−G+F−f=pq−Pq+PQ−pQ=
=(P−p)(Q−q)>0.

Vì vậy, một bong bóng khí này thu hút một bong bóng khác và sớm hay muộn sẽ hòa vào nó. Đầu ra này có khớp với đáp số của bạn không?

Một nhà vật lý có lẽ sẽ nghĩ khác. Lấy mật độ của nước bằng 0; thì mật độ và khối lượng của vật nhẹ hơn nước sẽ âm. Đặc biệt, tiêu cực

Khối lượng của các bong bóng của chúng ta đã biết và lực hấp dẫn giữa chúng, tỷ lệ thuận với tích khối lượng của chúng, là dương. Hơn nữa, một nhà vật lý sẽ tiên đoán rằng nếu có hai vật ở trong nước - một vật nhẹ hơn và vật kia nặng hơn nước - thì chúng sẽ đẩy nhau! Bạn sẽ tự mình xác định liệu dự đoán của nhà vật lý này có đúng hay không nếu bạn giải được bài toán sau.

1. Hãy thay bong bóng khí bằng một quả bóng kim loại. Lực Archimedean tác dụng lên một thể tích nước tùy ý là gì?
2. Bong bóng khí và quả cầu kim loại sẽ hoạt động như thế nào trong nước?
3. Câu hỏi tương tự cho hai quả bóng kim loại.