Bài toán M2116—M2123; F2123—F2129

25

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Bài toán trong toán học và vật lý

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán từ số này phải được gửi chậm nhất là ngày 1 tháng 5 năm 2009 đến địa chỉ: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Lời giải bài toán từ các số tạp chí khác nhau hoặc trong các chủ đề khác nhau (toán học và vật lý) hãy gửi vào các phong bì khác nhau. Trên phong bì, ở cột “Tới”, viết: “Bài toán Kvant Số 1–2009” và các số bài toán, lời giải mà bạn đang gửi, ví dụ “M2116” hoặc “F2123”. Trong cột “Từ”, vui lòng viết họ và tên của bạn một cách rõ ràng. Trong thư, vui lòng gửi kèm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn và bộ tem được yêu cầu (trong phong bì này bạn sẽ nhận được kết quả xác minh lời giải). Lời giải bài toán trong toán học và vật lý cũng có thể được gửi đến các địa chỉ email tương ứng là math@kvant.info và Phys@kvant.info. Vui lòng gửi các điều kiện của mỗi bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản trong một phong bì riêng thành hai bản cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này (đánh dấu trên phong bì: “Bài toán Kvant, bài toán mới trong vật lý” hoặc “Bài toán Kvant, bài toán mới trong toán học”). Ở đầu mỗi chữ cái hãy cho biết mã số trường, lớp bạn đang theo học. Bài toán M2118 và M2121 đã được đưa ra tại Olympic Hình học toàn Nga lần thứ IV mang tên I.F. Sharygin, bài toán M2119, M2120 và M2123 – tại Giải đấu Thành phố XXX.

Bài toán M2116–M2123, F2123–F2129

M2116. Một bộ domino hoàn chỉnh được bày trên bàn theo một chuỗi khép kín và đối với tất cả các cặp domino lân cận, mô đun chênh lệch điểm trên các ô vuông mà chúng chạm vào sẽ được tính toán. Chúng ta hãy biểu thị bằng S tổng của tất cả các môđun sai phân như vậy. Rõ ràng giá trị nhỏ nhất của S là 0 (điều này xảy ra khi chuỗi khép kín được sắp xếp theo quy tắc domino). Giá trị lớn nhất mà tổng S có thể nhận là bao nhiêu? A. Gribalko

M2117. Có cấp số cộng nào của 2008 số tự nhiên khác nhau mà tích của nó bằng lũy ​​thừa thứ 2009 của số tự nhiên không? G. Galperin

M2118. Chứng minh rằng trong tam giác ABC có góc A bằng $120^\circ,$, khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến giao điểm của các đường cao là AB + AC. V.Protasov

M2119. Trong dãy vô hạn $a_{1}, a_{2}, a_{3},^{K}$, số $a_{1}$ bằng 1 và mỗi số tiếp theo $a_{n}$ được xây dựng từ $a_{n} -_{1}$ trước đó theo quy tắc: nếu ước số lẻ lớn nhất của số n có số dư là 1 khi chia cho 4, thì $a_{n} = a_{n} -_{1} + 1$, nếu số dư là 3 thì $a_{n} = a_{n} -_{1} - 1$. Chứng minh rằng mọi số trong dãy này đều là số dương và mỗi số tự nhiên xuất hiện trong dãy đó vô số lần. A. Zaslavsky

M2120. Một đa thức P(x) có hệ số thực sao cho phương trình P(m) + P(n) = 0 có

có vô số lời giải trong các số nguyên m và n. Chứng minh rằng đồ thị của hàm số y = P(x) có tâm đối xứng. A. Shapovalov

M2121. Các cạnh đối diện của lục giác lồi ABCDEF song song. Hãy gọi nó là “độ cao” - các vectơ có các đầu nằm trên đường thẳng chứa các cạnh đối diện, vuông góc với chúng và hướng từ AB đến DE, từ EF đến BC và từ CD đến AF. Chứng minh rằng một đường tròn có thể vẽ được xung quanh hình lục giác này khi và chỉ khi tổng “chiều cao” của nó bằng vectơ 0. A. Zaslavsky

M2122. a) Chứng minh rằng mọi số tự nhiên n lớn hơn 17 đều có thể phân tích thành tổng của ba số hạng tự nhiên nguyên tố cùng nhau, mỗi số lớn hơn 1. b*) Tìm hiểu xem có một tập hợp hữu hạn hay vô hạn các số tự nhiên không thể biểu diễn dưới dạng tổng của ba số hạng tự nhiên nguyên tố cùng nhau trong một tập hợp, bất kỳ hai số nào trong số đó không nguyên tố cùng nhau. V. Letsko

M2123. Bài kiểm tra bao gồm 30 câu hỏi, mỗi câu có 2 lựa chọn đáp số (một câu đúng, một câu sai). Trong một lần thử, Vitya trả lời tất cả các câu hỏi, sau đó anh được biết mình đã trả lời đúng bao nhiêu câu hỏi. Liệu Vitya có thể hành động theo cách đảm bảo tìm ra tất cả đáp số chính xác không muộn hơn sau lần thử thứ 24 (và trả lời đúng tất cả các câu hỏi ở lần thử thứ 25)? V. Kleptsyn