Phản xạ từ gương hình trụ mỏng

47

PHÒNG THÍ NGHIỆM “QUANTA”

Phản xạ từ gương hình trụ mỏng

A.ANDREEV, A.PANOV

TRONG CUỘC SỐNG HÀNG NGÀY, CHÚNG TA THƯỜNG XỬ LÝ GƯƠNG phẳng; gương cầu và gương parabol được sử dụng trong các thiết bị quang học nhưng chúng ta hiếm khi gặp gương hình trụ. Có lẽ trong một điểm thu hút được gọi là “phòng cười” hoặc trong máy soi hình anamorphic - thiết bị để xem hình ảnh bị biến dạng (anamorphic) đặc biệt (hình1). Đồng thời, một số lượng lớn các vật thể xung quanh chúng ta có dạng hình trụ - đó là tất cả các loại thùng chứa hình trụ, ống dẫn, cành cây, dây xe điện và nhiều thứ khác. Một số trong số chúng là những chất phản xạ tốt. Gương hình trụ mỏng. Cách dễ nhất để nghiên cứu sự phản xạ là từ một gương hình trụ mỏng, bán kính tiết diện của nó khá nhỏ so với khoảng cách tới người quan sát. Một ví dụ điển hình về những chiếc gương như vậy là dây xe điện được chiếu sáng bằng đèn pha ô tô hoặc đèn đường. Chúng ta hãy xem xét trường hợp đơn giản nhất, khi một chùm tia mỏng song song chiếu vào một gương hình trụ mỏng, che phủ hoàn toàn đường kính của gương. Hóa ra các tia sáng phản xạ tạo thành một hình nón, trục của nó là gương và một trong những nguồn phát là sự tiếp nối của chùm ánh sáng tới. Để chứng minh nhận định này, chỉ cần sử dụng nguyên lý Fermat là đủ. Và đây là xác nhận thực nghiệm - nó được trình bày ở hình 2. Một chiếc gương hình trụ mỏng ở đây là một chiếc kim thông thường mà chùm tia laze chiếu vào.

Hình1. Sử dụng gương hình trụ làm kính soi hình

Giao điểm của hình nón của tia phản xạ với màn hình phẳng có thể là bất kỳ phần hình nón nào - hình elip, hình parabol hoặc hình hyperbol, tất cả phụ thuộc vào vị trí của màn hình. Nếu tia tới vuông góc với gương thì hình nón phản xạ biến thành mặt phẳng (hình3).

Hãy để chúng tôi mô tả một số tình huống đơn giản trong đó tuyên bố chúng tôi đưa ra được sử dụng. Thật dễ dàng để tưởng tượng điều gì sẽ xảy ra khi toàn bộ gương hình trụ mỏng mở rộng được chiếu sáng bởi một chùm tia song song. Trong trường hợp này, toàn bộ không gian sẽ được lấp đầy bởi các hình nón giống hệt nhau gồm các tia phản xạ và gương hình trụ sẽ là trục chung của các hình nón này. Nếu gương được chiếu sáng bởi một nguồn điểm thì chúng ta cũng sẽ thu được hệ thống các hình nón đồng trục, chỉ có điều chúng sẽ không còn giống nhau nữa. Tại điểm gương gần nguồn nhất thì hình nón sẽ là một mặt phẳng, tức là có góc mở $180^\circ.$ Khi đỉnh của hình nón di chuyển ra xa nguồn thì góc mở của hình nón sẽ giảm xuống $0^\circ.$ Nếu gương hình trụ là một đoạn dây mỏng thì dây có thể uốn cong và khi phản xạ từ gương hình trụ cong như vậy ta sẽ thu được hệ nón. Nhưng chúng sẽ không còn đồng trục nữa và trục của mỗi hình nón phản xạ sẽ đóng vai trò là tiếp tuyến với gương - một đường thẳng, cùng với điểm phản xạ, cũng chứa một đoạn dây nhỏ.

Vòng tròn phát sáng từ cành cây. Cành trơ trụi, ẩm ướt của nhiều loài cây có khả năng phản xạ tốt. Nếu bạn nhìn qua tán cây như vậy ở ngọn đèn đường, bạn sẽ thấy rằng các phần phản chiếu của cành cây tạo thành một mô hình phát triển thành một hệ thống tập trung.

Hình2. Một chiếc gương hình trụ mỏng - một chiếc kim: bên trái trên màn hình có một hình elip, bên phải - một hyperbol

Hình3. Khi tia tới vuông góc với gương thì tia phản xạ sẽ lấp đầy toàn bộ mặt phẳng

48

KVANT 2009/№1

Hình4. Các vùng phản chiếu của cành tạo thành mô hình các vòng tròn đồng tâm

Hình5. Bên trái là “vương miện” của cây, bên phải là vùng phản chiếu của các “nhánh”

vòng tròn ical (hình4). Một trong những lời giải thích cho thực tế này được đưa ra trong cuốn sách nổi tiếng “Ánh sáng và màu sắc trong thiên nhiên” của M. Minnart. Ở đây chúng tôi sẽ đưa ra một lý do khác, dựa trên thực tế là mỗi nhánh riêng biệt có thể được coi là một tấm gương hình trụ mỏng. Mô hình máy tính. Hãy mô hình vương miện của một cái cây bằng một bộ gương hình trụ mỏng ngẫu nhiên - các đoạn có chiều dài đơn vị nằm giữa nguồn điểm và người quan sát. Mỗi điểm của đoạn đó sau khi phản xạ sẽ phát ra một hình nón. Chúng ta muốn tìm một điểm trên đoạn này sao cho một trong các biểu thức của hình nón tương ứng rơi vào mắt người quan sát. Trên thực tế, do phạm vi của nguồn, sự phản ánh mà chúng ta cần sẽ không chỉ xảy ra từ điểm này mà còn từ một phần nhỏ của nhánh chứa điểm này. Trên hình 5 bên trái có một vương miện được biểu thị bằng một tập hợp các đoạn đơn ngẫu nhiên, trục người quan sát nguồn vuông góc với mặt phẳng hình. Ở bên phải có các đoạn nhỏ (1/10 chiều dài) phản chiếu tia sáng vào mắt người quan sát. Nhìn chung, các phần này thực sự tạo thành một mẫu tương tự như mẫu được hiển thị trong hình 4. Chúng ta cũng hãy lưu ý rằng trong “vương miện” có những đoạn riêng lẻ không khớp với các vòng tròn đồng tâm. Nhưng chúng đều có chiều dài ngắn, nghĩa là chúng gần như song song với trục người quan sát nguồn. Mô hình làm từ ghim. Bây giờ, nếu tất cả các nhánh nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục được chỉ định thì các phần của chúng phản chiếu vào mắt người quan sát sẽ tiếp tuyến

mi thành các vòng tròn đồng tâm. Điều này suy ra từ thực tế là tại điểm phản xạ, từ đó tia sáng tới người quan sát, tia tới vuông góc với cành cây và hình nón phản xạ là mặt phẳng vuông góc với cành cây. Đây là một mô hình khác, lần này là mô hình vật lý, xác nhận thực tế này (hình6). Ở đây, những chiếc ghim thông thường nằm trên kính được sử dụng làm vật phản xạ. Vết xước trên kính. Nhân tiện, những chiếc ghim hoàn toàn không cần thiết; bạn có thể vượt qua chỉ với một mảnh kính - những vết xước trên đó sẽ được phản chiếu (hình7). Ví dụ này cũng được mô tả trong cuốn sách của Minnaert, và tác giả cho biết thêm rằng các vết xước trên kính đã đủ mỏng để ánh sáng biểu hiện tính chất sóng của nó khi tương tác với chúng. Ánh sáng nhiễu xạ lên chúng và chúng ta thấy chúng có màu sắc của quang phổ. Nhìn qua một cuộn dây. Cuối cùng là mẫu mới nhất. Chúng ta đã nói rằng gương hình trụ có thể cong. Lần này, chúng ta hãy lấy toàn bộ cuộn dây rối làm gương phản xạ và nhìn qua nguồn sáng (hình8). Chúng tôi nhìn thấy các kiểu vòng giống nhau và tin chắc rằng cuộn dây mô phỏng thành công đặc tính phản chiếu của tán cây theo cách tương tự. Dây chúng tôi sử dụng trong thí nghiệm khá mỏng - đường kính của nó chỉ 0,2 mm. Do đó, một mẫu nhiễu xạ tương ứng cũng xuất hiện ở đây. Để nhìn thấy nó, bạn cần điều chỉnh mắt (hoặc điều chỉnh ống kính máy ảnh) đến vô cực. Chúng ta sẽ không đi vào chi tiết (thí nghiệm này sẽ được thảo luận chi tiết trong

Hình6. Các chân được sử dụng làm vật phản xạ ở đây.

Hình 7. Nhẫn phát sáng làm từ vết xước trên kính

64

KVANT 2009/№1

Bây giờ chúng ta hãy xem xét một hình chữ nhật riêng biệt được chia thành 4 ô. Gọi độ dài các cạnh của nó là x (theo chiều ngang) và y (theo chiều dọc). Rõ ràng là một trong các ô màu trắng có chiều dài cạnh ngang ít nhất là x/2. Để xác định, hãy đặt ô này là ô phía trên bên trái. Sau đó, đường ngang chia hình chữ nhật có thể được di chuyển xuống cho đến khi tỷ lệ diện tích của ô phía trên bên trái (màu trắng) và ô phía dưới bên trái (màu đen) bằng 2. Trong trường hợp này, điều kiện bài toán (diện tích của bất kỳ ô trắng nào không lớn hơn hai lần diện tích của ô đen bất kỳ) sẽ vẫn được thỏa mãn và tổng diện tích của các ô trắng sẽ chỉ tăng (hoặc không thay đổi). Đường thẳng không thể di chuyển xa hơn (điều kiện bài toán sẽ bị vi phạm). Tương tự, sau đó, bạn có thể di chuyển đường thẳng đứng sang bên phải (cho đến khi diện tích ô phía trên bên trái lớn gấp 2 lần diện tích ô phía trên bên phải). Khi đó các cạnh của hình vuông trên cùng bên trái sẽ là 2x/3 và 2y/3, diện tích các ô màu trắng sẽ là 4xy/9 + xy/9 = 5xy/9, và diện tích các ô màu đen sẽ là xy – 5xy/9 = 4xy/9. Chúng tôi thấy rằng tỷ lệ diện tích của ô trắng so với diện tích của ô đen là 5/4 và không thể lớn hơn. Vẫn còn phải đưa ra một ví dụ khi ở mỗi hình chữ nhật trong số 16 hình chữ nhật, tỷ lệ yêu cầu là 5/4. Chúng ta hãy chia bảng sao cho 16 hình chữ nhật của chúng ta là những hình vuông giống hệt nhau, trong mỗi hình chữ nhật, hình vuông phía trên bên trái là hình vuông và các cạnh của nó dài gấp 2 lần cạnh của hình vuông phía dưới bên phải. Rõ ràng là bạn có thể chia bảng theo cách này và bạn sẽ nhận được ví dụ mong muốn. 2. Không cần thiết. Hãy để chúng tôi đưa ra một ví dụ không khó để mô tả. Chúng ta sẽ giả sử rằng có ba hướng trong không gian: lên-xuống, phải-trái, tiến-lùi. Đầu tiên, lấp đầy tất cả không gian bằng các hình khối theo cách thông thường. Bây giờ hãy chọn một trong các hình khối. Liền kề với nó là sáu cột vô tận dày một khối lập phương: hai cột song song tương ứng ở bên trái và bên phải, hướng lên và xuống, hai cột khác - phía trước và phía sau, hướng sang trái và phải, và hai cột nữa - bên dưới và phía trên, hướng qua lại. Chúng ta hãy di chuyển mỗi cột dọc theo hướng của nó bằng một nửa chiều dài cạnh của khối lập phương (di chuyển hai cột đầu tiên lên trên, hai cột tiếp theo - sang trái, hai cột tiếp theo - về phía trước). Toàn bộ không gian sẽ vẫn được lấp đầy, nhưng khối được chọn sẽ không chia sẻ toàn bộ cạnh với bất kỳ cạnh nào khác. 3. Người chơi thứ hai luôn có thể thắng. Chúng ta hãy xem xét hai trường hợp. Cho N > 2 lẻ. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng người thứ hai có thể kết hợp hai cọc lớn nhất hiện có với mỗi nước đi tiếp theo của mình. Đầu tiên, người thứ nhất chắc chắn sẽ tạo được một đống hai hạt, sau đó người thứ hai sẽ tạo được một đống ba hạt, và tình huống sau khi người thứ hai di chuyển sẽ như thế này: đống lớn nhất có số hạt lẻ và mỗi đống còn lại có một hạt. Trong tình huống như vậy, người đầu tiên có hai lựa chọn. Hoặc anh ta sẽ xếp một đống hai quả hạch - và sau đó quả thứ hai sẽ thêm nó vào đống lớn nhất. Hoặc anh ta sẽ tăng đống lớn nhất lên một hạt - khi đó sẽ có số hạt chẵn trong đó, và vì N là số lẻ nên sẽ còn lại ít nhất một đống hạt và hạt thứ hai sẽ có thể thêm một hạt vào đống lớn nhất. Kết quả là tình huống được mô tả lại xảy ra. Chúng ta thấy rằng người thứ hai luôn có nước đi. Các cọc cuối cùng sẽ cạn kiệt và cọc đầu tiên sẽ thua. Cho N > 2 chẵn. Lưu ý rằng sau khi bất kỳ người chơi nào di chuyển, số lượng đống sẽ giảm đi một. Vì vậy, trước khi người chơi thứ hai di chuyển, số đống luôn là số lẻ. Hãy để người thứ hai hành động theo cách tương tự như trong

trong trường hợp N lẻ, cho đến khi còn lại ba đống trước khi anh ta di chuyển. Nếu hai cọc “nhỏ”, mỗi cọc có một đai ốc, anh ta chỉ cần kết hợp các cọc “nhỏ” và để lại cọc đầu tiên với hai cọc có số đai ốc chẵn - và anh ta thua; nếu có một và hai hạt trong đống “nhỏ”, thì thêm một hạt vào đống lớn nhất (và hạt đầu tiên lại thua). 4. Gọi O là giao điểm các đường chéo của hình thang ABCD. Vì tứ giác $A_{1}$ BCD nội tiếp trong đường tròn nên ta có BO $OD = A_{1} O$ ⟧ OC (do sự giống nhau của tam giác $BOA_{1}$ và COD). Tương tự, BỘ CH OD = AO CH $OC_{1}, AO$ CH OC = = BỘ CH $OD_{1}$ và AO CH $OC = B_{1} O$ CH OD. Từ hai đẳng thức đầu tiên, chúng ta thu được $OC AO = OC_{1} A_{1} O$, từ hai đẳng thức còn lại, chúng ta thu được $BO OD = B_{1} O OD_{1}$. Lưu ý rằng điều kiện song song các cạnh BC và AD của hình thang ABCD có thể viết dưới dạng BO/OD = OC/AO (từ sự đồng dạng của các tam giác BOC và DOA). Nhưng sau đó (từ phần trước) $BO_{1} OD_{1} = OC_{1} A_{1} O$, tức là các cạnh $B_{1} C_{1}$ và $A_{1} D_{1}$ song song với nhau. Tương tự, chúng ta kiểm tra xem tính không song song của các cạnh AB và CD bao hàm tính không song song của các cạnh $A_{1} B_{1}$ và $C_{1} D_{1}$. Điều này có nghĩa là $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ là hình thang, đó là điều ta cần chứng minh. 7. Xem lời giải bài toán M2123 “Bài toán Kvant trong một trong những số tiếp theo của tạp chí.

©

SỐ ĐÃ ĐƯỢC CHUẨN BỊ

S.A. Dorichenko, A.A. Egorov, S.P. Konovalov, A.Yu. Kotova, V.A. Tikhomirova, A.I. Chernoutsan

SỐ PHÁT HÀNH

D.N.Grishukova, V.V.Ivanyuk, A.E.Patskhveria, M.V.Sumnina

BIÊN TẬP HUYỀN THOẠI

E.V.Morozova

NHÓM MÁY TÍNH

E.A.Mitchenko, L.V.Kalinicheva

Tạp chí «Kvant» được đăng ký với Ủy ban Báo chí Nga. Reg. Số Thánh 0110473

Địa chỉ biên tập: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant» Tel.: 930-56-48 E-mail: admin@kvant.info, math@kvant.info, Phys@kvant.info Trang web: kvant.info

In tại OJSC Huân chương Lao động Đỏ “Nhà máy in Chekhov” 142300 Chekhov, khu vực Moscow, Trang web: www.chpk.ru E-mail: marketing@chpk.ru Fax: 8(49672) 6-25-36, fax: 8(499) 270-73-00 Bộ phận bán hàng dịch vụ đa kênh: 8(499) 270-73-59