Sự kỳ diệu của số phức

Sự kỳ diệu của số phức

A.KANUNIKOV

MỘT số lượng đáng kinh ngạc các bài báo và sách giáo khoa khoa học phổ biến đã được VIẾT BẰNG CÁC SỐ PHỨC; đã có công bố trên [4, 5, 6] và trên tạp chí «Kvant». Bí quyết của sự nổi tiếng như vậy là gì và tại sao một bài báo khác lại được viết? Khía cạnh chính mang tính khoa học: số phức có mặt khắp nơi, chúng được thiết lập vững chắc trong các lĩnh vực toán học và vật lý khác nhau. Một học sinh có thể đánh giá cao sức mạnh của bộ máy số phức, vẻ đẹp và sự phong phú của các ứng dụng của chúng bằng cách sử dụng ví dụ bài toán của toán tiểu học. Cũng rất hữu ích và hấp dẫn khi nghiên cứu lịch sử của vấn đề: các số phức xuất hiện và phát triển như thế nào, ngay cả những bộ óc vĩ đại lúc đầu cũng không tin vào chúng, nhưng theo thời gian họ đã quen và ngưỡng mộ sức mạnh đáng kinh ngạc của chúng. Rất thường xuyên, những kết luận mà các nhà khoa học đưa ra đều đi trước những bằng chứng xác thực, đôi khi hàng thế kỷ… Điều này khiến số phức chỉ khẳng định danh tiếng của chúng là bí ẩn và thần bí, nhưng đồng thời nó cũng đẩy nhanh việc xây dựng nền tảng toán học và phát triển các lý thuyết khoa học mới. Mục đích chính của bài viết được tiết lộ bởi tiêu đề của nó. Chúng tôi muốn làm bạn ngạc nhiên, bạn đọc thân mến, bằng cách kể một số câu chuyện hay về số phức, đồng thời có ý nghĩa khoa học quan trọng. Bạn càng biết ít về số phức thì kết quả mang lại cho bạn càng bất ngờ, hiệu ứng bất ngờ càng mạnh. Hãy tưởng tượng rằng bạn đã đến xem buổi biểu diễn của một ảo thuật gia và ngồi xuống - những chú thỏ ẩn trong mũ đang háo hức chờ đợi sự xuất hiện và tiếng vỗ tay của bạn! Lúc đầu, chỉ cần có hiểu biết cơ bản về số phức là đủ:

i là những “số” (biểu thức, bản ghi) có dạng a + bi, trong đó $a, b \in^{R}, i$ là đơn vị ảo thỏa mãn quan hệ $i^{2} = - 1 ; i$ số a + bi có thể coi là một điểm ( a, b ) trên mặt phẳng tọa độ $R^{2} ; i$ số phức được cộng và nhân theo quy tắc thông thường, khi mở ngoặc ( a + bi )( c + di ) chúng ta sử dụng định nghĩa số i và nhận $ac - bd + ( ad + bc ) i ; i$ cho số z = a + bi được xác định: phần thực Re z = a, phần ảo Im z = b, số liên hợp

$z = a - bi$ và mô-đun $z = a^{2} + b^{2}$ (hình 1).

Hình 1

Chúng ta sẽ nói về số phức một cách chi tiết và có hệ thống hơn trong cùng số tạp chí (trang 28).

§1. Tổng bình phương bị phân hủy! Với những hậu quả sâu rộng…

Khi lần đầu nhìn thấy các công thức nhân viết tắt, điều khiến tôi ấn tượng là chúng đều được chia thành từng cặp… tất cả ngoại trừ một: