Olympic Vật lý Mátxcơva 2017

42

KVANT 2017/№5

của tam giác ABC lấy điểm E sao cho AE = CE, $\angle$ AEC $= 60 ^\circ$ và các điểm B và E nằm trong hai nửa mặt phẳng khác nhau đối với AC. Chứng minh rằng $\angle$ AFD $= 90 ^\circ$, trong đó F là trung điểm của đoạn BE. O. Kosukhin

5. Một bảng có kích thước $2017 \times 2017$ chứa đầy các chữ số khác 0. Trong số 4034 số có ký hiệu thập phân trùng với

Các hàng và cột của bảng này lần lượt được đọc từ trái sang phải và từ trên xuống dưới, tất cả trừ một đều chia hết cho số nguyên tố p và số còn lại không chia hết cho p. Tìm tất cả các giá trị có thể có của p. A. Galatenko

Ấn phẩm được chuẩn bị bởi E. Epifanov

Olympic Vật lý Mátxcơva 2017

Vòng lý thuyết thứ hai

lớp 7

1. Tại sân bay Sheremetyevo, trên đoạn đường dài giữa hai nhà ga, có hai thang cuốn song song với nhau - các thang cuốn nằm ngang có cùng chiều dài. Cậu học sinh Vasya, khi tham dự Olympic Vật lý Quốc tế, nhận thấy chiếc máy du lịch đầu tiên đang di chuyển và chiếc thứ hai đã tắt, và trong khi chờ chuyến bay, cậu quyết định vui đùa một chút. Anh bắt đầu chạy đi chạy lại dọc theo những người lữ hành, mỗi lần lại quay về điểm xuất phát. Lần đầu tiên, Vasya chạy đến đó trên một chiếc máy du lịch đang chuyển động và quay lại trên một chiếc xe đứng yên. Lần thứ hai anh ta chạy đến đó trên một chiếc xe du lịch đứng yên và quay lại trên một chiếc xe đang chuyển động. Sự khác biệt về thời gian di chuyển của Vasya trong lần chạy đầu tiên và lần thứ hai là $\Delta t_{1} = 25$ s. Lần thứ ba, Vasya chạy theo cả hai hướng dọc theo máy du lịch đang chuyển động và lần thứ tư, theo cả hai hướng dọc theo máy du lịch đứng yên. Sự khác biệt về thời gian di chuyển của Vasya trong lần chạy thứ ba và thứ tư hóa ra bằng $\Delta t_{2} = 5$ s. Vasya phát triển một tốc độ không đổi so với thiết bị di chuyển, tốc độ của nó cũng không đổi và bằng u = 1 m/s. Tìm vận tốc v của Vasya so với máy du lịch và xác định chiều dài của máy du lịch. Hãy xem xét rằng Vasya dành thời gian không đáng kể cho việc tăng tốc, phanh và rẽ. M. Zamyatnin

2. Ra khỏi nhà, bố, con gái Masha và con trai Vanya chạy đến bến xe buýt, quãng đường là s = ​​430 m. Tốc độ của Vanya là v = 2 m/s, tốc độ của Masha là 2v và tốc độ của bố là 4v. Nếu bố đặt bất kỳ đứa trẻ nào lên cổ thì tốc độ của ông giảm xuống còn 3v. Bố không thể bế hai con cùng một lúc. Trong thời gian tối thiểu cả gia đình có thể có mặt ở bến xe buýt? Chúng ta có thể cho rằng trẻ ngồi trên cổ bố, việc tăng tốc và phanh xe diễn ra nhanh chóng. A. Bychkov

3. Ba bình hình trụ thẳng đứng giống hệt nhau giao tiếp với nhau ở gần đáy bằng cách sử dụng các ống hẹp có vòi, ban đầu được đóng lại (hình1,a). Bình bên trái và bình bên phải chứa nước dưới các pít-tông mỏng nằm ngang, bình giữa rỗng. Các vòi mở đồng thời và cùng lúc cả hai piston bắt đầu chuyển động xuống dưới với tốc độ không đổi. Trong trường hợp này, độ chênh lệch mức pít-tông tăng theo phương thẳng đứng với vận tốc v. Sử dụng đồ thị phụ thuộc chiều cao h của mực nước ở bình giữa

Hình 1

44

KVANT 2017/№5

sự phụ thuộc $d_{12} ( t )$ được mô tả bằng một đường màu xanh lam. Giá trị bằng số của giá trị $d_{0}$ vẫn chưa được biết, nhưng người ta biết rằng $t_{1} = 30$ s và $t_{2} = 40 c.$ Khi xác định khoảng cách giữa những người bơi, chiều rộng của các làn bơi không được tính đến và người ta tin rằng các vận động viên đã di chuyển gần như dọc theo một đường thẳng. Lần lượt của mỗi người bơi diễn ra rất nhanh. 1) Thời gian về đích của mỗi người bơi là bao lâu? 2) Tiếp tục (hoàn thành) cả hai đồ thị cho đến thời gian 60 giây. P. Kryukov

3. Một tải trọng không đồng nhất có khối lượng 4m được treo bằng hệ khối như hình hình 5. Các ren và khối rất

Hình 5

Các phần ren nhẹ, tự do thẳng đứng, không có ma sát ở các trục của khối. Một đối trọng có khối lượng m được gắn vào đầu tự do của sợi dây ném qua các khối. Một đoạn của cùng một sợi nằm giữa tải và khối bên phải đi qua một lỗ nhỏ trên vách ngăn cố định. Khi sợi chỉ trượt trong lỗ xuất hiện một lực ma sát F = 10 N tác dụng lên sợi chỉ từ phía vách ngăn. 1) Tại giá trị nào của khối lượng đối trọng m thì hệ có thể giữ cân bằng? 2) Trọng tâm của một tải trọng không đồng nhất phải đặt ở đâu để có thể đạt được trạng thái cân bằng? 3) Độ lớn của lực ma sát $F_{1}$ là bao nhiêu và nó hướng vào $m = m_{1} = 0,7$ kg theo hướng nào? Mô đun gia tốc trọng trường có thể coi bằng g = 10 m $с^{2}$. M. Zamyatnin

4. Ở Moscow, thuộc quận Ochkovo, có một nhà máy nhiệt điện mạnh tên là CHP-25. Công suất điện tối đa của trạm này là $W_{1} = = 1370$ MW. Ngoài việc tạo ra điện, trạm này có thể đồng thời cung cấp nhiệt với công suất $W_{2} = = 4088$ Gcal/h để cung cấp nước nóng cho các khu vực lân cận của thành phố và sưởi ấm cho các ngôi nhà. Trạm hoạt động bằng khí metan tự nhiên $( CH_{4} ),$ khi đốt cháy $m_{0} = 16$ g giải phóng một lượng nhiệt Q = 797 kJ. 20% năng lượng thu được từ quá trình đốt cháy nhiên liệu luôn được thải vào khí quyển qua đường ống cùng với các sản phẩm đốt cháy. Ở chế độ mùa hè, khi không cần sưởi ấm ngôi nhà, trạm hoạt động với 80% công suất điện tối đa, đồng thời, 30% lượng nhiệt thoát ra trong quá trình đốt khí metan vẫn phải được thải vào khí quyển bằng cách làm bay hơi nước trong các thiết bị đặc biệt - tháp giải nhiệt. Nhiệt dung riêng bay hơi của nước là L = 2256 kJ/kg, 1 calo xấp xỉ 4,2 J. 1) Tiêu thụ nhiên liệu của trạm (kg/s) vào mùa đông là bao nhiêu? 2) Hiệu suất sử dụng nhiệt năng khi chuyển hóa thành điện năng vào mùa đông là bao nhiêu? 3) Lượng nước được chuyển thành hơi mỗi giây (tính bằng l/s) trong tháp giải nhiệt của trạm vào mùa hè? 4) Nguồn năng lượng nào được cung cấp cho người tiêu dùng nước nóng trong nhà vào mùa hè? I. Semerikov, S. Varlamov

lớp 9

1. Tên lửa di chuyển ra khỏi bề mặt nằm ngang của Trái đất với tốc độ v được định hướng hoàn toàn theo phương thẳng đứng. Một chiếc máy bay đang bay song song với bề mặt về phía tây với tốc độ v 3. 1) Với tốc độ tuyệt đối tối thiểu u là bao nhiêu và một máy bay bốn cánh nên bay theo hướng nào (so với Trái đất) để so với nó, tên lửa và máy bay có vận tốc ngược chiều nhau? 2) Vận tốc nên hướng một góc nào so với đường chân trời (so với Trái đất)?

58

KVANT 2017/№5

$n \ge 2$, chúng ta sẽ chia nó thành hai, tích sẽ không giảm, vì $2 n \ge n + 2$. Sẽ chỉ còn lại hai và ba. Thay thế ba số hai bằng hai số ba, chúng ta sẽ tăng tích số. Kết quả là chúng ta có được 12 bộ ba. Như vậy, số lượng băng đảng không quá $3^{12}$.

TOUR NÓI DÀNH CHO LỚP 11

1. 3. Hãy xây dựng biểu đồ sau: các đỉnh là người chơi, các cạnh là trò chơi đã chơi. Theo điều kiện, biểu đồ này giống nhau cho cả hai giải đấu. Hãy nhìn vào giải đấu đầu tiên và chọn ra những trò chơi mà người chiến thắng chưa từng thắng trước đó (ví dụ: đây là trò chơi đầu tiên). Sau đó, các cạnh tương ứng tạo thành một đường dẫn và các cạnh còn lại liền kề với đường dẫn này ở một đầu. Đặc biệt, nếu chúng ta loại bỏ tất cả các đỉnh treo thì chỉ còn lại đường đi của chúng ta không có các đỉnh cực trị. Bây giờ hãy xem biểu đồ này giống như biểu đồ giải đấu cúp. Nếu chúng tôi loại bỏ các đỉnh treo khỏi nó, biểu đồ giải đấu của những người chiến thắng $2^{n-} 1$ ở giai đoạn đầu tiên sẽ vẫn còn. Rõ ràng đó là một đường đi chỉ dành cho n £ 3, nếu không, người chiến thắng trong giải đấu sẽ có trình độ ít nhất là 3. Do đó, n £ 3. Vẫn còn phải đưa ra một ví dụ cho n = 3. Hãy đánh số những người tham gia từ 1 đến 8 và các cặp trong cúp như sau (người thua được liệt kê đầu tiên, người chiến thắng thứ hai): 1–2, 3–4, 5–6, 7–8, 2–4, 6–8, 4–8. Sau đó, khi chơi tiếp, các cặp có thể như sau (người chiến thắng lại được liệt kê ở vị trí thứ hai): 1–2, 2–4, 3–4, 4–8, 7–8, 8–6, 6–5. 2. Không. Chúng tôi thậm chí sẽ chỉ ra rằng điều này không đúng trong một trong hai trường hợp: a) xương sườn thứ trăm là xương sườn gốc và b) xương sườn thứ trăm là xương sườn bên. a) Lấy 51 giác đều $A_{1} A_{2}$ … $A_{51} c$ tâm C. Gọi $\omega$ và Ω lần lượt là đường tròn ngoại tiếp và đường tròn ngoại tiếp. Xét một hình cầu S có tâm C, giao với mặt phẳng của 51 giác dọc theo đường tròn $\omega$, và xét hình nón có đáy Ω mà hình cầu này nội tiếp. Gọi O là đỉnh của hình nón này. Khi đó hình chóp 50 cạnh $OA_{1} A_{2}$ … $A_{50}$ có tất cả các cạnh bên và 49 cạnh của đáy chạm vào hình cầu S, nhưng cạnh $A_{1} A_{50}$ thì không. b) Vẽ đa giác, hình cầu và hình nón tương tự như ở điểm a). Bây giờ để các đường $A_{1} A_{51}$ và $A_{49} A_{50}$ cắt nhau tại điểm B. Khi đó, hình chóp $OA_{1} A_{2}$ … $A_{49} B$ là điểm bắt buộc: tất cả các cạnh của nó, ngoại trừ cạnh bên OB, chạm vào hình cầu S. 4. Không. Rõ ràng là các hàng của bảng có thể được sắp xếp lại theo ý muốn và các cột cũng vậy. Hãy sắp xếp lại tất cả những thứ lặt vặt-

Tất cả các cột ở bên trái và tất cả các hàng lẻ ở phía dưới. Kết quả là bảng ban đầu sẽ là một bảng được chia thành 4 ô vuông giống hệt nhau - hai ô đối diện là màu trắng, còn lại là màu đen. Giả sử sau khi sơn lại có 50+k ô đen ở mỗi hàng, mỗi cột; thì trong mỗi cột và mỗi hàng có k ô trắng được tô màu lại nhiều hơn ô đen. Để một ô ở một trong các ô vuông màu đen được đổi màu. Như đã lưu ý ở trên, mỗi ô vuông màu trắng có a + 50k ô được tô màu lại, sau đó ô vuông màu đen còn lại cũng có ( a + 50 k ) - 50 k = a ô được tô màu lại. Điều này có nghĩa là tổng số ô được tô màu lại là 2a + + 2 ( a + 50 k ) = 4 ( a + 25 k ), tức là chia hết cho 4 nên không thể bằng 2018. 5. Gọi M là trung điểm của BC, Y và Z lần lượt là các điểm đối xứng với X qua đường thẳng BC và điểm M (hình20).

Hình 20

Sau đó

– BZC = – BYC = – BXC $= 180 \infty -$ – $BA_{H} C$, từ đó các điểm $A_{H}, B, C, Y$ và Z nằm trên cùng một đường tròn Ω với tâm O và bán kính R. Hơn nữa, vì $A_{H} A_{M} P BC$ và $A_{M} X : XM = 2$, ta thu được $A_{H} X : XY = A_{M} X : 2 XM = 1$, tức là X – giữa $A_{H} Y$. Gọi T là trung điểm của YZ. Khi đó OTYX là hình chữ nhật nên TX = OY = R. Từ tính đối xứng theo BC ta thu được OB = OC = TB = TC = R. Do đó, T là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BXC, tức là theo bổ đề đinh ba, đây là trung điểm của cung BC của đường tròn $( A_{I} BC ).$ Gọi $K = A_{H} Y \cap BC$, YY¢ là đường kính của đường tròn Ω, và P và S là trung điểm tương ứng là KM và $A_{H} A_{M}$. Lưu ý rằng $YZ = 2 KM = = A_{H} A_{M} = A_{H} Y$ ¢. Điều này có nghĩa là TX cắt các đoạn KM và $A_{H} A_{M}$ tại trung điểm P và S của chúng, cũng như P = YY ¢ $\cap BC$. Khi đó BP ◊ PC = YP ◊ PY ¢ = = TP ◊ PS (đẳng thức cuối cùng đúng do tính đối xứng của các đoạn YY¢ và TS tương đối