Olympic Toán LXXX Moscow

Thế Vận Hội

Olympic Toán LXXX Moscow

lớp 8

1. Thay thế các chữ cái trong biểu thức $AB^{C} = DE^{F}$ bằng số sao cho đẳng thức trở thành đúng, sử dụng mỗi chữ số từ 1 đến 6 đúng một lần. (Giải thích: $AB^{C}$ là số có hai chữ số gồm các chữ số A và B, lũy thừa C. Chỉ cần đưa ra một phương pháp thay thế là đủ.) E. Bakaev

2. Cho tam giác ABC và 10 đường thẳng nằm trên một mặt phẳng, không có đường thẳng nào song song với nhau. Hóa ra mỗi đường thẳng cách đều hai đỉnh của tam giác ABC. Chứng minh rằng có ít nhất ba đường thẳng này cắt nhau tại một điểm. S.Markelov

3. Có 100 số khác 0 được viết trong một vòng tròn. Giữa hai số liền kề, tích của chúng được viết và các số trước đó bị xóa. Số lượng các số dương không thay đổi. Số số dương tối thiểu có thể viết được ban đầu là bao nhiêu? B.Frenkin

4. Xem bài toán 4 phương án khó dành cho lớp 8–9 của vòng mùa xuân của Giải đấu Thành phố XXXVIII (xuất bản trong «Kvant» Số 4).

5. Giáo viên cho điểm theo thang điểm từ 0 đến 100. Ở phần giáo dục, họ có thể thay đổi giới hạn trên của thang thành bất kỳ số tự nhiên nào khác, tính lại điểm theo tỷ lệ và làm tròn thành số nguyên. Số không nguyên được làm tròn đến số nguyên gần nhất; nếu phần phân số bằng 0,5 thì phần giáo dục có thể chọn chiều làm tròn bất kỳ, riêng cho từng lớp. (Ví dụ: điểm 37 trên thang điểm 100, sau khi tính lại theo thang điểm 40 sẽ thành $37 \cdot ( 40 100 ) = 14,8$ và sẽ làm tròn thành 15.) Học sinh Petya và Vasya nhận điểm a và b khác 0 và 100. Chứng minh rằng phần huấn luyện có thể thực hiện nhiều phép tính lại để Petya

là lớp b, và Vasya là lớp a (cả hai lớp đều được tính lại cùng một lúc). B. Vysokanov, N. Medved, V. Bragin

6. Xem bài toán M2460 “Bài toán Kvant”.

lớp 9

1. Tìm số tự nhiên lớn nhất, tất cả các chữ số thập phân của nó đều khác nhau và bị giảm đi 5 nếu bạn gạch bỏ chữ số đầu tiên. M. Evdokimov

2. Xem bài toán 1 phương án khó dành cho lớp 8–9 của vòng mùa xuân của Giải đấu Thành phố XXXVIII.

3. Xem bài toán 2 phương án khó dành cho lớp 8–9 của vòng mùa xuân của Giải đấu Thành phố XXXVIII.

4. Tìm tất cả các cặp số tự nhiên a và k sao cho với mọi số tự nhiên n, n nguyên tố cùng nhau với c a thì số $a^{k} +^{1} - 1$ chia hết cho n. A. Menshchikov

5. Xem bài toán 4 phương án khó dành cho lớp 10–11 của vòng mùa xuân của Giải đấu Thành phố XXXVIII.

6. Xem bài toán 5 phương án khó dành cho lớp 10–11 của vòng mùa xuân của Giải đấu Thành phố XXXVIII.

lớp 10

1. Tam thức bình phương $x^{2} + bx + c$ có hai nghiệm thực. Mỗi hệ số trong số ba hệ số của nó (bao gồm cả hệ số tại $x^{2} )$ đều tăng thêm 1. Phải chăng cả hai nghiệm của tam thức cũng tăng thêm 1? M. Evdokimov

2. Tất cả các số tự nhiên, đơn vị lớn, được tô bằng hai màu - xanh lam và đỏ - sao cho tổng của hai số xanh bất kỳ (kể cả những số giống nhau) là xanh lam và tích

41

Thế Vận Hội

Hai màu đỏ bất kỳ (kể cả những màu giống hệt nhau) đều có màu đỏ. Được biết, cả hai màu đều được sử dụng để tô màu và số 1024 được sơn màu xanh lam. Con số 2017 có thể có màu gì? M. Evdokimov

3. Điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AOC cắt các cạnh AB và BC lần thứ hai tại các điểm E và F. Suy ra đường thẳng EF chia đôi diện tích tam giác ABC. Tìm góc B. M. Evdokimov

4. Vasya có một hòn đá (đồng nhất, không có lỗ rỗng bên trong) có hình khối đa diện lồi, chỉ có các mặt hình tam giác và lục giác. Vasya tuyên bố rằng ông đã đập viên đá này thành hai phần để chúng có thể được gấp lại thành một khối lập phương (không có khoang bên trong). Lời nói của Vasya có thể là sự thật? M. Evdokimov

5. Với những số tự nhiên n nào, với mọi số tự nhiên $k \ge n$, có số nào có tổng các chữ số k là bội số của n không? A. Kuznetsov, I. Losev

6. Xem bài toán 7 phương án khó dành cho lớp 10–11 của vòng mùa xuân của Giải đấu Thành phố XXXVIII.

lớp 11

Ngày đầu tiên

1. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất là bội số của 80, trong đó hai chữ số khác nhau của nó có thể được sắp xếp lại sao cho số thu được cũng là bội số của 80. A. Bắt đầu

2. Trên đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AC tại điểm S có điểm Q sao cho trung điểm của các đoạn AQ và QC cũng nằm trên đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh QS là phân giác của góc AQC. M. Vasiliev

3. Đặt $x_{0}$ là nghiệm dương của phương trình $x^{2017} - x - 1 = 0$ và $y_{0}$ là nghiệm dương

nghiệm thực của phương trình $y^{4034} - y = 3 x_{0}$.

a) So sánh $x_{0}$ và $y_{0}$. b) Tìm chữ số thập phân thứ mười của $x_{0} - y_{0}$. I. Sheypak

4. Ba người đi xe đạp cùng chiều trên một đường tròn dài 300m. Mỗi người trong số họ di chuyển với tốc độ không đổi của riêng mình, tất cả các tốc độ đều khác nhau. Nhiếp ảnh gia sẽ có thể chụp được một bức ảnh đẹp về những người đi xe đạp nếu tất cả họ đều dừng lại trên một đoạn đường dài d mét. Ở mức d tối thiểu nào thì nhiếp ảnh gia sớm hay muộn sẽ có thể chụp được một bức ảnh thành công? O. Kosukhin

5. Trên các mặt của khối lập phương đơn vị có 8 điểm được đánh dấu, đóng vai trò là các đỉnh của khối lập phương nhỏ hơn. Tìm tất cả các giá trị mà độ dài cạnh của khối này có thể nhận. M. Evdokimov

6. Xem bài toán 6 cho lớp 10.

Ngày thứ hai

1. Cho hai cấp số không đổi $( a_{n} )$ và $( b_{n} )$, một cấp số học và cấp số kia là cấp số học. Được biết, $a_{1} = b_{1}, a_{2} : b_{2} = 2$ và $a_{4} : b_{4} = 8$. Tỷ lệ $a_{3} : b_{3}$ có thể bằng bao nhiêu? D. Goryashin

2. Dunno chỉ quen thuộc với logarit thập phân và tin rằng logarit của tổng hai số bằng tích logarit của chúng và logarit của hiệu hai số bằng thương số logarit của chúng. Dunno có thể chọn ít nhất một cặp số mà cả hai đẳng thức này đều đúng cùng một lúc không? A. Bắt đầu

3. Thám tử Nero Wolfe đang điều tra vụ án. Vụ án có 80 người liên quan, trong đó một người là tội phạm, một người là nhân chứng của tội ác (nhưng không biết đó là ai). Mỗi ngày thám tử có thể mời một hoặc nhiều trong số 80 người này đến chỗ mình, nếu trong số những người được mời có nhân chứng nhưng không có tội phạm thì nhân chứng sẽ cho biết ai là tội phạm. Một thám tử có thể cố ý giải quyết một vụ án trong 12 ngày không? O. Kosukhin

4. Bên trong tam giác ABC lấy điểm D sao cho BD = CD, $\angle$ BDC $= 120 ^\circ$. Ngoài