Polara

VÒNG TRÒN TOÁN HỌC

Polara

D. SHVETSOV

HÃY BẮT ĐẦU BẰNG MỘT CÂU HỎI RẤT ĐƠN GIẢN: làm thế nào để dựng tiếp tuyến từ một điểm P đến một đường tròn cho trước $\omega$? Chúng ta hãy nhớ lại rằng cách xây dựng tiêu chuẩn ở đây như sau: chúng ta tìm tâm của đường tròn O (làm thế nào?), sau đó chúng ta dựng một đường tròn $\omega_{1}$ có đường kính OP, bây giờ là các điểm giao nhau của các đường tròn $\omega, \omega_{1}$ và đặt các tiếp tuyến (hình1).

các cát tuyến tùy ý cắt đường tròn tại các điểm A, B và C, D tương ứng. Giả sử các đường thẳng AC và BD cắt nhau tại điểm E, các đường thẳng BC và AD cắt nhau tại điểm Q (hình2). Bây giờ, cuối cùng, để đường thẳng QE cắt đường tròn $\omega$ tại các điểm $P_{1}$ và $P_{2}$, thì hóa ra các đường thẳng $PP_{1}$ và $PP_{2}$ là tiếp tuyến! Vì vậy, bạn có thể dựng các tiếp tuyến từ điểm P đến đường tròn $\omega$ chỉ bằng một thước. Lưu ý rằng các cát tuyến được chọn hoàn toàn tùy ý ở bước đầu tiên, tuy nhiên, cuối cùng vẫn thu được các tiếp tuyến, tức là vị trí của các điểm $P_{1}$ và $P_{2}$ không phụ thuộc vào việc chọn tứ giác ABCD. Chúng ta thấy rằng giao điểm của các đường chéo của tất cả các tứ giác như vậy nằm trên cùng một đường thẳng (hình3).

Hình 1

Việc xây dựng này dựa trên tính chất-ký cơ bản của một tiếp tuyến - bán kính được vẽ đến điểm tiếp tuyến vuông góc với tiếp tuyến, do đó, rất có thể việc xây dựng trông không có gì đáng ngạc nhiên. Nhưng nếu bạn từ chối sử dụng la bàn thì mọi thứ sẽ trở nên thú vị hơn nhiều. Vì vậy, hãy vẽ hai điểm qua một điểm P tùy ý bên ngoài đường tròn đã cho $\omega$

Hình 3

Tất cả những quan sát này có thể được phát biểu dưới dạng một định lý, chứng minh cơ bản của nó là chủ đề của bài viết này.$^{1}$ Định lý chính. Cho các phần kéo dài của các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn $\omega$ cắt nhau tại điểm P, phần kéo dài của các cạnh BC và AD tại điểm Q, các đường chéo AC, BD tại điểm E. Cho các tiếp tuyến kẻ từ P đến đường tròn $\omega$ chạm vào nó tại các điểm $P_{1}$ và

1 Một trong những bằng chứng tự nhiên nhất

Hình 2

Định lý chính sử dụng hình học xạ ảnh.

37

TOÁN HỌC

Hình 4

VÒNG TRÒN

Hình 6

$P_{2}$. Khi đó các điểm $P_{1}, P_{2}, E, Q$ nằm trên cùng một đường thẳng (hình4).

Bài toán Sharygina

Trở lại năm 1985, những người tham gia Olympic Toán học Quốc tế XXVI đã được đề nghị bài toán sau đây, tác giả của nó là nhà hình học xuất sắc Igor Fedorovich Sharygin (1937–2004). Bài toán. Cho các đường tròn ngoại tiếp các tam giác PAD, PBC cắt nhau lần thứ hai tại điểm M, như trong hình 5. Khi đó $\angle$ PMO $= 90 ^\circ$, trong đó O là som, ta đủ điều kiện chứng minh tứ giác PMYX là tứ giác nội tiếp. Lưu ý rằng $\angle$ MDP $= \angle$ MAP là các góc nội tiếp chắn bởi một cung MP, và tương tự $\angle$ MCP $= \angle$ MBP (hình7). Từ sự bằng nhau của các cặp góc suy ra sự đồng dạng của các tam giác MDC và MAB. Phần MX và

Hình 7

Hình 5

tâm đường tròn ngoại tiếp $\omega$ của tứ giác ABCD. Chứng minh điều đó. Lời giải. Phát biểu bài toán tương đương với việc điểm M nằm trên đường tròn có đường kính OP. Mặt khác, đường tròn có đường kính OP đi qua trung điểm của X, Y đoạn AB và CD, vì $OX \perp AB$ và $OY \perp CD$ (hình6). Lối này

MY là đường trung bình của các tam giác đồng dạng nên tam giác MYC và MXB đồng dạng. Từ sự giống nhau cuối cùng, suy ra rằng các góc bằng nhau: $\angle$ MYP $= \angle$ MXP, suy ra rằng tứ giác PMYX nội tiếp. Như vậy khẳng định bài toán đã được chứng minh.

Trục căn thức và chứng minh định lý chính

Chúng ta cũng hãy phân tích cách xây dựng bài toán của Sharygin, có tính đến ba đường tròn trục đẳng phương của chúng

39

TOÁN HỌC

VÒNG TRÒN

QE trùng với đường thẳng $P_{1} P_{2}$. Nhưng các điểm $P_{1}$ và $P_{2}$ rõ ràng là đối xứng với đường thẳng PO, do đó $P_{1} P_{2} \perp PO$. Vì vậy, $QE \perp PO$. Tương tự như vậy, $PE \perp QO$. Do đó, điểm E là giao điểm các đường cao của tam giác POQ (hay nói cách khác bộ tứ P, Q, E, O là trực tâm, tức là mỗi điểm này là trực tâm của một tam giác có ba đỉnh là ba điểm còn lại). Cụ thể là $OE \perp PQ$ (hình10).

Hình 10

Sự vuông góc của các đường thẳng OE và PQ được gọi là định lý Brocard.

Tiếp theo là gì?

Việc xây dựng định lý chính phổ biến đến mức một số đối tượng của nó đã có tên riêng. Do đó, điểm P được gọi là cực của đường $P_{1} P_{2}$, và bản thân đường $P_{1} P_{2}$ được gọi là cực của điểm P. Do đó, mỗi điểm (cực) được liên kết với một đường thẳng (cực) duy nhất của chính nó, sự tương ứng như vậy được gọi là cực. Kết hợp cực được ứng dụng rất rộng rãi trong việc giải quyết bài toán khó khăn nhất. Để giới thiệu chủ đề nhanh chóng và hiệu quả, chúng tôi khuyên bạn nên sử dụng bộ sưu tập bài toán [1], trong đó bạn có thể tìm thấy nhiều ví dụ thú vị. Điều đáng ngạc nhiên là hóa ra việc dựng một tiếp tuyến bằng một thước cũng tiến hành theo cách tương tự nếu chúng ta thay đường tròn bằng hình elip, hyperbol hoặc parabol (hình11). Thoạt nhìn có vẻ như chứng minh của chúng tôi vô dụng trong trường hợp này, tuy nhiên, trên thực tế, cả ba trường hợp được đề cập (elip, hyperbol và parabol) đều có thể rút gọn thành trường hợp đường tròn.

Hình 11

Bạn! Với mục đích này, cái gọi là phép biến đổi xạ ảnh được sử dụng. Bạn có thể đọc về chúng, ví dụ, trong một cuốn sách chi tiết [2]. Cuối cùng, chúng tôi lưu ý rằng cơ sở của toàn bộ cốt truyện là bài toán của Sharygina, một cách tiếp cận hoàn toàn khác, cũng như mối liên hệ của nó với những viên ngọc hình học khác, có thể được tìm thấy trong một bài viết tuyệt vời [3].

Văn học

1. P.A. Kozhevnikov. Kết hợp cực. (http://geometry.ru/persons/kozhevnikov/ cực.pdf) 2. I.Ya.Yaglom. Các phép biến đổi hình học. Tập 2. – M.: Nauka, 1955. (http:// www.math.ru/lib/files/djvu/yaglom/ tom2.djvu) 3. V. Protasov. Về hai người đi xe đạp và một hố anh đào. – «Kvant», 2008, Số 3. (http: //geometry.ru/articles/protasovbycicle.pdf)