Giải đấu thành phố XL

Thế Vận Hội

Giải đấu thành phố XL

MỤC ĐÍCH CỦA DU LỊCH XUÂN

Tùy chọn cơ bản

lớp 8–9

$1. (3)^{1}$ Một số số tự nhiên viết thành một hàng có tổng bằng 20. Không có số nào và không có tổng nào của nhiều số viết liên tiếp bằng 3. Có thể viết được nhiều hơn 10 số không? A. Shapovalov

2. (4) Có 2n + 1 đồng xu ngửa mặt thành hình tròn. Di chuyển theo chiều kim đồng hồ, họ thực hiện 2n + 1 lượt: họ lật một đồng xu, một đồng xu được chuyền và đồng xu tiếp theo được lật, hai đồng xu được chuyền qua và đồng xu tiếp theo được lật, ba đồng xu được chuyển qua và đồng xu tiếp theo được lật lại, v.v., cuối cùng, 2n đồng xu được chuyển qua và đồng xu tiếp theo được lật. Chứng minh rằng bây giờ có đúng một đồng xu ngửa. V. Rastorguev

3. (4) Tích của các số tự nhiên m và n chia cho tổng của chúng. Chứng minh rằng $m n d n^{2}$. B.Frenkin

4. (5) Các tam giác cân được nội tiếp trong hình chữ nhật ABCD với một góc D cho trước ở đỉnh đối diện với đáy sao cho đỉnh này nằm trên đoạn BC và các đầu của đáy nằm trên đoạn AB và CD. Chứng minh rằng trung điểm đáy của các tam giác đó trùng nhau. I. Zhizhilkin

5. (5) Ảo thuật gia và trợ lý biểu diễn trò ảo thuật. Có 12 ô trống đóng kín liên tiếp. Nhà ảo thuật rời đi, và khán giả, trong tầm nhìn toàn cảnh của người trợ lý, giấu một đồng xu vào hai hộp bất kỳ mà mình chọn. Sau đó, ảo thuật gia trở lại. Trợ lý

1 Số điểm được trao cho toàn bộ lời giải được ghi trong ngoặc đơn sau số bài toán. Kết quả được tổng hợp cho ba nhiệm vụ đạt được kết quả tốt nhất (điểm của một bài toán được tổng hợp).

mở một hộp trong đó không có đồng xu. Tiếp theo, ảo thuật gia chỉ vào 4 chiếc hộp và chúng được mở đồng thời. Mục tiêu của ảo thuật gia là mở được cả hai hộp tiền xu. Đề xuất cách để ảo thuật gia thương lượng với trợ lý để trò lừa luôn thành công. K.Knop

lớp 10–11

1. (4) Khoảng cách từ một điểm nhất định bên trong một hình lục giác đều đến ba đỉnh liên tiếp của nó lần lượt là 1, 1 và 2. Cạnh của hình lục giác này là gì? M. Evdokimov

2. (4) Các số tự nhiên a và b sao cho $a^{n} 1 b^{n} 1$ chia hết cho $a^{n} b^{n}$ cho vô số các số tự nhiên n khác nhau. Vậy có cần thiết cho a = b không? B.Frenkin

3. (4) Chứng minh rằng một tam giác bất kỳ có thể cắt thành các tứ giác 2019, mỗi tam giác đó vừa nội tiếp vừa ngoại tiếp. N. Sedrakyan

4. (5) Xem bài toán 5 cho lớp 8–9, chỉ có 13 ô trống được đóng liên tiếp. 5. (5) Viết được một số số tự nhiên có tổng bằng 2019. Không có số nào và không có tổng của nhiều số viết liên tiếp bằng 40. Số lớn nhất viết được là bao nhiêu? A. Shapovalov

Tùy chọn phức tạp

lớp 8–9

1. (5) Nhà vua triệu tập hai nhà thông thái và giao cho họ một nhiệm vụ: người thứ nhất nghĩ ra 7 số tự nhiên khác nhau có tổng là 100, bí mật kể cho nhà vua và chỉ nói với nhà thông thái thứ hai chỉ là số lớn thứ tư trong số này, sau đó người thứ hai phải đoán các số đã nghĩ ra. Không có cách nào để những người khôn ngoan đi đến thỏa thuận. Có thể khôn ngoan

46

KV A NT 2019/№5

Các rets có được đảm bảo để đối phó với nhiệm vụ không? M. Evdokimov

2. (7) Xem bài toán M2558 “Bài toán Kvant”.

3. (7) Xem bài toán M2559a “Bài toán Kvant.

4. (8) Mỗi ​​đoạn có các đầu ở các đỉnh của một hình 100 đều được tô màu đỏ nếu có số đỉnh giữa các đầu của nó là chẵn, và nếu không thì có màu xanh lam (đặc biệt, tất cả các cạnh của hình 100 đều có màu đỏ). Các số có tổng bình phương bằng 1 được đặt ở các đỉnh và tích của các số ở hai đầu được đặt trên các đoạn. Sau đó, từ tổng các số trên các đoạn màu đỏ, tổng các số trên các đoạn màu xanh được trừ đi. Số lớn nhất bạn có thể nhận được là gì? I. Bogdanov

5. (9) Trong các ô của bảng hình vuông $n u n, где^{n}$! 1, cần phải sắp xếp các số nguyên khác nhau từ $1 до^{n} 2$ sao cho cứ hai số liên tiếp thì ở các ô liền kề và cứ hai số có cùng số dư khi chia cho n sẽ ở các hàng khác nhau và các cột khác nhau. Vì cái gì mà điều này có thể xảy ra? A. Gribalko

6. (9) Bên trong tam giác cân ABC, đánh dấu điểm K sao cho CK = = AB = BC và góc KAC bằng 30q. Tìm góc AKB. E. Bakaev

7. (12) Có 100 đống đá, mỗi đống 400 viên đá. Trong lượt của Petya, anh ta chọn hai cọc, loại bỏ một viên đá khỏi mỗi cọc và nhận được số điểm cho việc này bằng mô đun chênh lệch số lượng đá trong hai cọc này. Petya phải loại bỏ tất cả những viên đá. Tổng số điểm lớn nhất mà anh ấy có thể nhận được là bao nhiêu? M. Didin

Chứng minh rằng tồn tại một số sao cho nếu gõ vào khoảng đã đánh dấu bao nhiêu lần thì kết quả là số chia hết cho 7. A. Galochkin

2. (6) Xem bài toán M2558 “Bài toán Kvant”.

3. (7) Xem bài toán M2559b “Bài toán Kvant.

4. (8) Xem bài toán 5 phương án khó dành cho lớp 8–9.

5. Hình chiếu trực giao của một tứ diện lên mặt phẳng một mặt của nó là hình thang có diện tích 1. a) (4) Hình chiếu trực giao của tứ diện này lên mặt phẳng mặt kia của nó có phải là hình vuông có diện tích 1 không? b) (4) Còn bình phương diện tích 1 2019 thì sao? M. Evdokimov

6. (8) Petya và Vasya đang chơi một trò chơi. Đối với mỗi năm biến khác nhau từ bộ $x_{1}$, … $, x_{10}$, có một thẻ duy nhất ghi kết quả của chúng. Petya và Vasya lần lượt lấy từng lá bài, Petya bắt đầu. Theo luật của trò chơi, khi tất cả các thẻ đã được sắp xếp, Vasya sẽ gán giá trị cho các biến theo ý muốn của mình, nhưng theo cách $0 d x_{1} d$ … $d x_{10}$. Vasya có thể được đảm bảo rằng tổng sản phẩm trên thẻ của anh ấy lớn hơn của Petya không? I. Bogdanov

7. (12) Xem bài toán M2561 “Bài toán Kvant”.

TOUR NÓI DÀNH CHO LỚP 11

lớp 10–11

1. Bảng n u n chứa tất cả các số nguyên từ $1 до^{n} 2$, mỗi số một ô. Trong mỗi hàng, các số tăng dần từ trái sang phải, trong mỗi cột - từ dưới lên trên. Chứng minh rằng tổng các số nhỏ nhất có thể có trên đường chéo chính đi từ trên cùng bên trái xuống dưới cùng bên phải là $1^{2} 2^{2}$ … $n^{2}$. B.Frenkin

2. (5) Một số tự nhiên chia hết cho 7 được in trên màn hình máy tính và con trỏ đánh dấu khoảng cách giữa hai chữ số liền kề.

3. Lunokhod cưỡi trên bề mặt hành tinh có hình quả bóng với chiều dài đường xích đạo là 400 km. Một hành tinh được coi là đã khám phá đầy đủ nếu tàu thăm dò mặt trăng đã ghé thăm