Bài toán M2562—M2565; F2569—F2572

NHIỆM VỤ CỦA NICK “QUANTA”

Bài toán trong toán học và vật lý

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán về toán học và vật lý từ số báo này nên được gửi đến các địa chỉ email: math@kvant.ras.ru và Phys@kvant.ras.ru, tương ứng hoặc đến địa chỉ bưu chính: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Gửi các điều kiện của từng bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này, tới cùng các địa chỉ. Bài toán M2562 – M2564, M2565a đã được cung cấp ở giai đoạn cuối của Olympic toàn Nga XLV dành cho học sinh môn toán. Bài toán F2569–F2572 đã được cung cấp tại Olympic Internet SUSC trong năm học 2018/19. Tác giả bài toán – S. Varlamov.

Bài toán M2562–M2565, F2569–F2572

M2562. Mỗi điểm A của mặt phẳng ứng với một số thực f(A). Biết rằng nếu M là giao điểm các đường trung tuyến của tam giác ABC thì f ( M ) = = f ( A ) + f ( B ) + f ( C ). Chứng minh rằng f ( A ) = 0 với mọi điểm A. A. Golovanov

M2563. Pasha và Vova chơi ván tiếp theo, thay phiên nhau thực hiện các nước đi. Pasha bắt đầu. Ban đầu, các cậu bé có một miếng nhựa lớn trước mặt. Chỉ bằng một động tác, Pasha có thể cắt bất kỳ mảnh nhựa nào có sẵn thành ba phần. Vova tự mình chọn hai mảnh bất kỳ và ghép chúng lại với nhau. Pasha thắng nếu tại một thời điểm nào đó trong số các mảnh nhựa có sẵn có 100 mảnh có cùng khối lượng. Vova có thể ngăn Pasha chiến thắng không? R. Efremov, D. Belov

M2564. Cho tam giác nhọn ABC, trong đó AC < BC (Hình 1). Đường tròn đi qua các điểm A và B rồi cắt các đoạn CA và CB lần lượt tại các điểm $A_{1}$ và $B_{1}$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và $A_{1} B_{1} C$ lại cắt nhau tại điểm P. Các đoạn thẳng $AB_{1}$ và $BA_{1}$ cắt nhau tại điểm S. Điểm Q và R đối xứng với S so với đường thẳng

Cơm. 1

CA và CB của chúng tôi. Chứng minh rằng các điểm P, Q, R và C cùng thuộc một đường tròn. D. Prokopenko

$M2565^{*}$. a) Cho n đồng xu có khối lượng từng cặp khác nhau và n cái cân hình chảo, n > 2. Mỗi lần cân, bạn được phép chọn một trong các chiếc cân, đặt một đồng xu lên đĩa cân, nhìn số chỉ trên cân rồi lấy đồng xu ra. Một số cân (không rõ là cân nào) bị hỏng và có thể ngẫu nhiên đưa ra cả kết quả đúng và sai. Số lần cân tối thiểu có thể là bao nhiêu

22

KVA NT 2019/Số 6

có thể được quan sát và hát đi hát lại bởi các nhà thơ, và bức xạ radio, IR, UV, X-ray và gamma được các nhạc cụ ghi lại một cách tự tin. Tuy nhiên, thuyết tương đối rộng (GR) cũng dự đoán sóng hấp dẫn sẽ phát sinh khi hình dạng của các ngôi sao lớn dao động. Về cơ bản, việc học cách ghi lại những làn sóng này là điều quan trọng và thực tế. Thật vậy, về nguyên tắc, chẳng hạn, bất kỳ sinh viên nào di chuyển nhanh chóng từ giảng đường đến nhà ăn sẽ làm thay đổi sự phân bố khối lượng trong Vũ trụ. Trong gần một trăm năm, nhân loại đã nghiên cứu khả năng ghi nhận sóng hấp dẫn trên Trái đất đến với chúng ta từ ngoài vũ trụ. Các máy dò được J. Weber sử dụng (những năm sáu mươi của thế kỷ trước) có thể “cảm nhận” được sự biến dạng của thiết bị thu với độ chính xác $10^{16}$ m - nhỏ hơn mười lần so với bán kính của proton! Trong các thí nghiệm của V.B. Braginsky (cuối quá khứ - đầu thế kỷ này), ngưỡng nhạy cảm của mật độ dòng năng lượng đạt tới $10^{9}$ W $м^{2}$. Và tương đối gần đây, hệ thống theo dõi đã ghi lại sóng hấp dẫn từ một lỗ đen kép có tổng khối lượng gần gấp một trăm lần khối lượng Mặt trời của chúng ta, nằm cách chúng ta 400 megaparsec (1 parsec = 3 $10^{16}$ m). Tất nhiên, cả hai phần của nó đều quay xung quanh một khối tâm chung (ví dụ như Trái đất và Mặt trăng) với tốc độ cực lớn và ngày càng tăng theo tốc độ ánh sáng (“trật tự” không có nghĩa là “bằng nhau”). Và do khoảng cách giữa chúng thay đổi, nên xuất hiện sự biến dạng thủy triều mạnh của những ngôi sao này và không gian xung quanh, dẫn đến phát sinh sóng hấp dẫn (Hình 2). Và nếu sự rung động của một giọt nước không chỉ được đặc trưng bởi một tập hợp tần số mà còn bởi hình dạng - chúng ta có thể mong đợi điều gì từ các ngôi sao! Trong quang phổ của các rung động này, các dạng tứ cực đóng một vai trò quan trọng. Kết quả của sự hợp nhất, một lỗ đen duy nhất được hình thành với khối lượng $62 0_{⊙}$ (trong đó $0_{⊙} 2$ $10^{30}$ kg là khối lượng của Mặt trời), $3 0_{⊙} c^{2}$ năng lượng được sử dụng để phát ra sóng hấp dẫn (trong đó c 3 $10^{8}$ m s là tốc độ ánh sáng) và giá trị tối đa của “độ sáng” hấp dẫn đạt tới 3,6 $10^{49}$ W, tương đương với $200 0_{⊙} c^{2}$ jo-power

Cơm. 2. Sự hợp nhất của một cặp lỗ đen. Hàng trên cùng là các giai đoạn liên tiếp của quá trình. Trung bình – sự dao động tương ứng về cường độ của sóng hấp dẫn (đơn vị tùy ý), thu được nhờ các nghiên cứu số dựa trên thuyết tương đối rộng. Bên dưới - sự thay đổi theo thời gian về khoảng cách r giữa các ngôi sao và tốc độ tương đối của chúng ’ v (so với tốc độ ánh sáng)

tổ ong mỗi giây. Tất nhiên, chỉ có một “âm thanh” rất yếu truyền đến Trái đất. Một trong những nhà nghiên cứu đã so sánh khó khăn trong việc tách biệt các tín hiệu phù hợp với việc cố gắng nghe một người bạn thì thầm ở đầu bên kia của một quán cà phê ồn ào. Có lẽ sự so sánh này chưa đủ rõ ràng - việc “nghe thấy” tín hiệu hấp dẫn bằng một máy dò thậm chí còn khó khăn hơn. Vì vậy, hai máy dò đã được lắp đặt tại hai điểm ở Hoa Kỳ ở khoảng cách khoảng 3000 km với nhau. Sóng hấp dẫn đáng lẽ phải truyền đi theo đường này trong khoảng 10 micro giây, giả sử tốc độ của nó bằng tốc độ ánh sáng. Dựa trên điều này, từ rất nhiều loại nhiễu, có thể tách ra hai tín hiệu tương tự nhau, dịch chuyển theo thời gian so với nhau bởi một độ trễ đã biết (Hình 3). Tần số dao động được ghi lại nằm trong khoảng 35–250 Hz. Đồng thời, độ tin cậy của thí nghiệm được coi là rất cao: xác suất xảy ra báo động sai được ước tính là một sự kiện cứ sau 203 nghìn năm.