Lời giải bài toán M2594—M2597; F2601—F2604

18

KVAN T 2020/Số 6

F2613. Để nghiên cứu cơn bão đang di chuyển về phía bắc với tốc độ trung bình 20 km/h, hai máy bay không người lái (UAV) với các nhiệm vụ bay khác nhau đã được gửi từ cùng một sân bay. Mỗi thiết bị được cho là ở khoảng cách 20 km theo chiều ngang tính từ tâm lốc xoáy và di chuyển với tốc độ không đổi so với không khí xung quanh là 20 m/s ở một độ cao nhất định (như nhau đối với cả hai thiết bị), để bay quanh tâm lốc xoáy. Một thiết bị theo chiều kim đồng hồ (khi nhìn từ trên xuống) và thiết bị thứ hai ngược chiều kim đồng hồ. Tại thời điểm phóng, khoảng cách từ sân bay đến tâm bão đúng 20 km. Sau 15 giờ bay, cả hai chiếc UAV gần như đồng thời hạ cánh xuống cùng một sân bay, nằm ở phía bắc sân bay nơi chúng cất cánh và trong suốt chuyến bay, mỗi chiếc đều tuân thủ nghiêm ngặt chương trình bay được lưu trong bộ nhớ máy tính. Một trong các UAV đã tạo ra bao nhiêu vòng quanh tâm lốc xoáy nếu chiếc thứ hai luôn chuyển động theo đường thẳng so với mặt đất và không tạo thành một vòng tròn nào?

Nhiệt độ của bình bên trái thay đổi như thế nào trong cùng thời gian đó?

F2614. Các bình hình khối chứa đầy nước biển và nhiệt độ ban đầu của nước 0 q C trong cả hai bình là như nhau. Độ dài các cạnh của hình lập phương tỉ lệ 1:3. Các thành bên và đáy của mỗi bình có khả năng tỏa nhiệt rất nhỏ và không dẫn dòng điện - ngoại trừ các thành bên phải và bên trái. Và những bức tường bên trái và bên phải này được làm bằng những tấm đồng mỏng. Trong một thời gian ngắn, chìa khóa trong mạch (Hình 3) được đóng lại và mở lại. Trong bình bên phải, nhiệt độ của nước tăng 1 độ trong thời gian ngắn có dòng điện chạy qua.

Lời giải bài toán M2594–M2597, F2601–F2604

Cơm. 3

F2615. Một vôn kế được nối với một cục pin lý tưởng thông qua một điện trở thay đổi. Nó hiển thị điện áp U = 3V. Khi điện trở của biến trở giảm đi 3 lần thì vôn kế chỉ ra điện áp 2U = 6V. Vôn kế sẽ chỉ gì nếu điện trở của điện trở tăng gấp đôi?

F2616. Học sinh đã tạo ra một hệ thống liên lạc qua điện thoại bằng một sợi chỉ và hai chiếc cốc nhựa (Hình 4). Họ

Cơm. 4

sợi đã qua sử dụng số 20. Số lượng sợi (sợi) được xác định bằng số cuộn sợi có trong 1 kg sợi này với chiều dài sợi trong mỗi cuộn là 1000 m. Chiều dài đường dây điện thoại là L = 100 m. Lực căng của sợi dây là F = 10 N. Đường dây điện thoại đó hoạt động với độ trễ bao nhiêu trong thời gian truyền âm?

M2594. Biết rằng với một số x và y thì tổng sin x + cos y và sin y + cos x là các số hữu tỷ dương. Chứng minh rằng tồn tại các số tự nhiên m và n sao cho m sin x + n cos x là số tự nhiên. Giả sử sin x cos y a và sin y cos x b. Khi đó cos y a sin x và sin y b cos x. Hãy bình phương hai đẳng thức này và cộng chúng lại. Nhờ đồng nhất thức lượng giác chính, chúng ta thu được $1 a^{2} b^{2} 2 a$ sin x 2 b cos x 1, tức là 2 a sin x 2 b cos $x a^{2} b^{2}$. Gọi N là BCNN của mẫu số a và b; sau đó, nhân đẳng thức thu được với $N^{2}$, chúng ta thu được đẳng thức cần thiết. N. Agakhanov

M2595. a) Kolya và Dima chơi một trò chơi trên bàn cờ 8 ¥ 8, thay phiên nhau thực hiện các nước đi, Dima bắt đầu. Kolya vẽ cre-

32

KVAN T 2020/Số 6

Cánh cửa mở ra, Busenka và con gián Kuzka bước vào quán bar. “Tôi thích đi xe đạp,” Kuzka ngay lập tức khoe và cởi mũ bảo hiểm. - Bạn? Bằng xe đạp? – Chim gõ kiến ​​Spyatel không hiểu. “Anh ấy cao hơn bạn gấp trăm lần, làm sao bạn có thể cưỡi anh ấy được?” - Một cách dễ dàng! - Kuzka nói. – Tôi không thích quay bàn đạp mà là đạp xe. Tôi nhảy lên bánh xe và đi! Và Busenka quay bàn đạp. - Nhưng làm thế nào để bạn ở lại trên bánh xe? - Tôi đang cầm kim đan! Đây là một điểm thu hút thực sự. Nó quay tốt hơn tàu lượn siêu tốc! – Và những bức vẽ trở nên tuyệt vời! – Busenka nói thêm. “Đối với tôi, có vẻ như một trong số chúng tôi bị điên,” Ogryza ngạc nhiên. - Còn vẽ gì nữa? – Tôi vừa đạp xe vừa vẽ! Có được những đường nét đẹp. Ogryza nắm lấy đầu cô ấy. “Nó rất đơn giản,” Busenka giải thích, “Tôi cẩn thận đạp xe dọc theo bức tường, và Kuzka ngồi trên vành xe, cầm một chiếc bút dạ và xoay bánh xe, vẽ các đường trên tường!” Hóa ra

Cơm. 1

rất tuyệt. Nhìn này, tôi đã chụp một bức ảnh. Đây được gọi là cycloid (Hình 1)! “Ồ, thật là một câu thoại hay,” Ogryza kêu lên, “thật tiếc là bạn đã không cho tôi xem sớm hơn.” Giá như tôi có một tấm nệm sọc cycloidal thì tốt. “Có vẻ như ai đó đã phát điên,” Kuzka nói. “Mọi thứ đều ổn,” chim gõ kiến ​​Spyatel giải thích. “Ogryza vừa nói với tôi rằng cô ấy sẽ làm một tấm nệm và lấp đầy mùn cưa vào đó.” Cô ấy đã khâu bìa rồi nhưng lại không có mùn cưa nào cả. – Bạn có cần nhiều mùn cưa không? – Busenka hỏi. Ogryza nói: “Tôi nghĩ 10 kg là đủ. – Mùn cưa không có bán thì chúng tôi tự chặt! – Chim gõ kiến ​​Spyatel đột nhiên đứng dậy. – Bạn có tình cờ có thêm một tủ quần áo không? “Tôi sẽ không,” Ogryza nói.

– Đồng nghiệp của Sproodle có ván ép tuyệt vời! – Busenka nhớ lại. - Tươi, mùi thật tuyệt vời. Anh ta đang cải tạo sòng bạc của mình và dự định chặn hành lang bằng một bức tường gỗ dán. Có vẻ như đây là những gì chúng ta cần. “Không thể đối phó với đồng nghiệp Sproodle của tôi được,” Ogryza kiên quyết phản đối. - Anh ta sẽ đánh lừa bạn, đè nặng bạn, và sau đó thay vì củ cải, anh ta sẽ ném cho bạn một rutabaga thối! - Và cuối cùng bạn vẫn sẽ nợ anh ấy! – Kuzka đồng tình. “Đúng vậy,” Woodpecker Spyatel đồng ý. “Nhưng… chúng ta sẽ không hành động thẳng thắn như vậy đâu.” Nếu bạn thực sự quan tâm đến đồng nghiệp Sproodle của mình, thì mọi thứ sẽ diễn ra như bạn đã nói, chỉ với sự cân bằng có lợi cho chúng tôi! “Anh ấy sẽ không phong tỏa hoàn toàn sòng bạc của mình,” Busenka gợi ý, “sẽ chỉ có một ô cửa… Hoặc một mái vòm…” “Một mái vòm!” - chim gõ kiến ​​Spyatel kêu lên. – Chúng tôi sẽ đề nghị anh ta cắt một lỗ hở theo hình vòm cycloid trên bức tường mới! Anh ấy sẽ không chống cự! Busenka nhặt lên: “Chúng ta cần tính toán diện tích để có thể cắt được lượng mùn cưa cần thiết từ phần đã cắt ra. “Tôi sẽ tính toán ngay bây giờ,” sự nhạy bén trong kinh doanh của Ogryza thật đáng kinh ngạc. – Một tấm ván ép dán tường 1,5 m u 1,5 m có khối lượng 32 kg, tức là chúng ta cần, bây giờ, bây giờ… $0,7 м^{2}$ ván ép. Tất cả những gì còn lại chỉ là chuyện vặt - hãy chọn một cycloid có diện tích vòm bằng $0,7 м^{2}$. Tôi sẽ chọn một bánh xe đạp phù hợp để vẽ đường cycloid từ nguồn cung cấp của mình. Kuzka nhận xét: “Bánh xe càng lớn thì càng thú vị khi lái. - Không cần nữa. Chúng tôi không phải là một nhà máy sản xuất chất thải! Chúng tôi sẽ tính toán mọi thứ một cách chính xác. “Bạn không nhớ sao,” chim gõ kiến Spyatel vô tư hỏi Busenka, “công thức nào được sử dụng để tính diện tích vòm cycloid được vẽ bằng bánh xe $радиуса^{r?}$ “Một hình vuông có bao nhiêu thời đại,” Busenka trả lời. – Nó được tìm thấy vào thế kỷ 17. Nhưng tôi đã quên rồi. Bạn sẽ phải cấp lại nó. Busenka tiến đến gần bức tường. – Hãy tưởng tượng rằng có một bánh xe. $радиуса^{r.}$ Tâm của bánh xe nằm ở điểm C, và tại điểm K của vành bánh xe này có Kuzka (Hình 2). Anh ấy giữ chặt nan hoa CK. Bây giờ chúng ta sẽ lăn bánh xe và Kuzka sẽ vẽ.

33

TOÁN HỌC

Cơm. 2

Có một cycloid trên tường. Chiều rộng của vòm cycloid (khoảng cách KL) bằng chu vi, tức là 2 Sr. Và điểm cao nhất của cycloid đạt được tại thời điểm bánh xe di chuyển đến khoảng cách $S^{r}$. Hãy xem xét thời điểm bánh xe di chuyển được một đoạn, đạt đến điểm X và nan hoa mà Kuzka đang giữ đã chuyển sang góc M (Hình 3). Trong trường hợp này, chiều dài cung $KX равна^{rM}$ – và nó cũng bằng khoảng cách, đó là Hình 3 bầy đàn đã vượt qua bánh xe, tức là $OX^{r} M$. Vẽ một đường ngang đi qua điểm K, để nó cắt đường tròn lần thứ hai tại điểm K c. Hãy xếp ai vào $точку^{K} c...$? Chúng ta cần thêm một tình nguyện viên nữa. Ai muốn đi một chuyến? “Tôi đề nghị đặt Akzyuk, bạn của Kuzka vào thời điểm này,” chim gõ kiến ​​Spyatel nói. – Akzyuk là loại gì vậy?! – Kuzka không hiểu. – Tôi không biết Akzyuk nào cả! “Tất nhiên,” Busenka kêu lên, “tôi có thể tự mình đoán được.” Akzyuk nakarat! Vì vậy, tại điểm K, Kuzka đang ngồi trên vành xe, và tại điểm K c, Akzyuk đang ngồi trên nửa còn lại của vành xe. - Tại sao anh ấy lại ngồi? - Ogryza can thiệp. - Đây là Kuzka đang ngồi. Và Akzyuk, để luôn ở một điểm đối xứng với Kuzka, sẽ phải chạy trên một bánh xe quay! “Chà, hãy để anh ấy chạy,” Busenka đồng ý, “anh ấy chỉ là tưởng tượng với chúng tôi.” Dù vậy, Kuzka cùng với điểm K mô tả một đường cycloid và điểm K c chuyển động cùng với điểm K, do đó Akzyuk cũng mô tả một đường thẳng nhất định. “Tôi nghĩ tôi đã nhìn thấy dòng này ở đâu đó,” Kuzka nói một cách không chắc chắn.

ĐỂ ROUGE OK

• Tất nhiên là tôi đã nhìn thấy nó. Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn cách chúng tôi vẽ bức tranh. Thực tế, chúng tôi đặt $отрезок^{OX} длиной^{rM}$ ở bên phải $точки^{O,}$, đặt một đường tròn lên điểm X, vẽ đường kính thẳng đứng XX c và đặt một góc XCK bằng M từ bán kính CX. Điểm K kết quả nằm trên cycloid. Trong hình ảnh của chúng tôi $‘^{K} c^{CX} c ‘^{KCX} c S M$. Chúng ta hãy biểu thị bằng O c điểm cao nhất trên cycloid của chúng ta. Khi đó khoảng cách O c X c bằng $S_{r}^{r} S M.$ Hóa ra chúng ta có thể dựng điểm K c như thế này: đặt một đoạn nằm ngang $O c X c длиной^{r} S M$ từ điểm O c, treo một bánh xe từ điểm X c, rồi đặt vào bánh xe của chúng ta góc X c CK c bằng S M. – Điều này có nghĩa là điểm K c di chuyển dọc theo một đường cycloid, kết quả này thu được nếu bạn lăn bánh xe nằm bên dưới nó sang trái dọc theo đường thẳng chấm chấm! - Chim gõ kiến ​​Spyatel đoán. - Tôi hiểu! - Kuzka kêu lên, - “Akzyuk” là “Kuzka” ngược lại! - Đúng! Bây giờ chúng ta tính diện tích. Hãy vẽ các cycloid mà Kuzka và Akzyuk đã di chuyển dọc theo, chúng ta sẽ có được một hình dạng cánh hoa. Rõ ràng là diện tích của vòm hoàn chỉnh của cycloid bằng diện tích của hình chữ nhật trong đó một nửa vòm được đặt, cộng với diện tích của cánh hoa (Hình 4).

Cơm. 4

Ogryza nói: “Mọi thứ đều rõ ràng với một hình chữ nhật, diện tích của nó là $2 S^{r} 2$.” Làm thế nào để tìm diện tích của cánh hoa? – Để làm được điều này, chúng ta sẽ sử dụng phép thuật thời trung cổ thực sự! Để tôi nhắc bạn rằng tại điểm K trên vành bánh xe có Kuzka, và tại điểm K c ở phần bên kia của vành bánh xe có Akzyuk. Khi bánh xe quay, điểm K tăng lên cao hơn và đoạn thẳng KK c cũng di chuyển lên trên. Cánh hoa giữa các cycloid bao gồm tất cả các đoạn có thể có KK c, được xây dựng cho tất cả các vị trí của điểm K trên nhánh đi lên của cycloid. Chà, hãy vẽ một bánh xe đứng yên ở đâu đó sang một bên và cẩn thận di chuyển tất cả các đoạn KK c theo chiều ngang sao cho các đầu của chúng nằm